Пусть, например, z =f(x, у) – функция двух переменных. Е zx – коэффициент эластичности z по х показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении х на один процент. Е zу – коэффициент эластичности z по у показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении y на один процент. Из определения вытекают следующие формулы:
.)(ln),( ,)(ln),( yyzy xxzx zyz z y yxE zxz z x yxЕ ′=′= ′=′= (1.1.2)
Пример 1.1.2 . Найти коэффициенты эластичности по х и по у
21 функции z= xy в точке (2;3). Согласно формулам (1.1.2) имеем Еzx ( х , у ) = x (ln z )' x = x ( y ln x )' x= у , Ezy ( x , y ) = y (ln z )' y = y ( y ln x )' y = у ln х . Следовательно, Еzx (2,3) =3, Еzy (2;3) = 3ln 2. Формулы (1.1.2) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1 – 3 эластичности в 1.1.2. Поэтому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Четвертое и пятое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Остановимся подробнее на этих свойствах. Свойство 4 '. Для функций z = f ( x , у ), х = ϕ( t ) и у = ψ( t ) эластичность z no t в точке t 0 находится по формуле
Еzt = ЕzxЕxt + ЕzyЕyt , (1.1.3) где Еzx , Еzy
– эластичности z по х и у в точке (ϕ( t 0), ψ( t 0)), а Еxt , Еyt – эластичности х и у по t в точке t 0. Для любой пары функций у 1= f 1( х 1, х 2 ), y 2 =f 2 (x 1 , x 2 ) имеем 4 коэффициента эластичности, которые запишем в матрицу размера 2х2: . 2212 2111 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = хуху хуху ухЕЕ ЕЕ Е
Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называются перекрестными коэффициентами эластичности.
Свойство 5' . Пусть х 1= g 1( y 1, y 2), x 2= g 2( y 1, y 2) – пара обратных функций для функций у 1= f 1( х 1, х 2 ), y 2 =f 2 (x 1 , x 2 ) . Тогда матрица коэффициентов эластичности Еxy является обратной к матрице Еyx . Коэффициенты эластичности используются при анализе функций спроса при любом числе различных товаров. В качестве примера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть хi
– количество i -го товара, рi – его цена ( i = 1,2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (например, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каждый товар зависит от обеих цен р 1 и р 2: х 1= D 1( p 1, p 2), x 2= D 2( p 1, p 2) (1.1.4) Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напро- тив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (1.2.4) можно разрешить относительно р 1 и р 2 в следующем виде:
p 1= p 1( х 1, х 2), p 2 =p 2 (x 1 , x 2). (1.1.5) Системы (1.1.4) и (1.1.5) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластичности
22 цен по спросу может быть найдена как обратная матрица коэффициентов эластичности спроса по цене. Пример 1.1.3. Пусть х 1=10 p 1 -1.2 p 2 0.8, x 2=12 p 1 -0.9 p 2 -0.7. ( x 1 – маргарин, x 2 – масло) . Коэффициенты эластичности составят матрицу . 2.19.0 8.07.0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− − = ухЕ
Спрос на маргарин неэластичный, на масло – эластичный, перекрестные коэффициенты эластичности показывают, что маргарин заменяет масло – повышение цены на масло на 1% ведет к повышению спроса на маргарин на 0.8%. Чтобы получить коэффициенты эластичности цены по спросу Еху ,
достаточно найти обратную матрицу Еуx -1. . 7.09.0 8.02.1 56.1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Перекрестные коэффициенты эластичности» з дисципліни «Математична економіка»
