ОПТИМІЗАЦІЯ СТРУКТУРИ ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ З ВИКОРИСТАННЯМ СЕМІВАРІАЦІЇ ЯК МІРИ РИЗИКУ
Даний підхід [43] будується на твердженні, що інвестор, ба-жаючи вкласти вільні грошові ресурси в корпоративні цінні па-пери, зустрічається з трьома альтернативами: 1) вкласти кошти в акції найнадійніших емітентів; 2) інвестувати в найприбутковіші акції; 3) вибрати проміжну позицію між надійністю і прибутковістю акцій. Існують різні методики, дотримання яких приводить до вирі-шення поставлених цілей і задач. Але найпоширенішою та най-частіше використовуваною у практичній діяльності і теоретичних дослідженнях, як вже зазначалось, є модель, запропонована Гаррі Марковіцем. У своїх дослідженнях як основний економічний по-казник, що характеризує динаміку зміни ціни (котирування) ак-ції, він використовував норму прибутку акції, яка у дискретному випадку розраховується за формулою: , (7.81) де Rk(t) — норма прибутку акції k-го виду в момент часу t; Ck(0), Ck(t) — ціна акції k-го виду відповідно у початковий момент (t = 0) та на кінець t-го періоду часу; Dk(t) — дивіденди, виплачені на кінець t-го періоду; k = 1,...,N, N — кількість акцій, за якими здій-снюються спостереження та які прогнозуються щодо включення їх у портфель цінних паперів (ПЦП); t = 1,…,T, T — кількість пе-ріодів, в які здійснювались спостереження за цінами (котируван-ням) акцій. При визначенні структури портфеля акцій, оптималь-ного з погляду інвестора, Марковіц скористався дещо спрощеним підходом. По-перше, він додержувався концепції, що норма при-бутку акції k-го виду (k = 1,…,N) є стаціонарним випадковим процесом, більше того — впродовж T періодів випадкові величи-ни Rk(t; ω), t = 1,…,T, w О W (W — множина елементарних по-дій) мають одну й ту саму функцію розподілу ймовірності (ця функція не залежить від часу). Тому спостереження за випадко-вими величинами Rk(t; ω) у момент часу t = 1,…,T можна розгля-дати як реалізації випадкової величини Rk(ω). У своїй моделі Марковіц використовував такі кількісні ха- рактеристики випадкових величин Rk(ω) (k = 1,…,N): сподівана норма прибутку mk = M(Rk(ω); дисперсія середньоквадратичне відхилення коваріація , де k = 1, …, N, j = 1, …, N. Крім того, Марковіц вважав, що будь-які відхилення норми прибутку акції від її сподіваного значення відображають дію чинників ризику щодо цієї акції і є однаково небажаними для ін-вестора. Тому як вимірювач величини ризику, що пов’язаний з придбанням цієї акції, він використовував величину дисперсії чи середньоквадратичною відхилення. Сутність розглядуваної концепції полягає у тому, що трак-тування відхилень норми прибутку від її сподіваного значення (чи певного фіксованого порогового значення) у сторону пере-вищення (сприятливі відхилення) як джерела ризику нічим не виправдане, оскільки протягом відповідних періодів акції мо-жуть забезпечити прибуток, обсяг якого є не меншим заплано-ваного рівня. На нашу думку, лише відхилення норми прибут-ку у сторону зменшення (несприятливі відхилення) відносно сподіваної норми прибутку можна розглядати як джерело ри-зику акції. Оцінкою величини ризику k-ї акції, що базується на зазначе-ній основі, є семіваріаційна характеристика: , (7.82) де величина є умовною дисперсійною харак-теристикою випадкової величини відносно наперед заданого порогового значення с* (с > 0), отже, враховуються лише несприят-ливі для суб’єкта ризику (інвестора) відхилення, тобто . Ця умовна дисперсійна характеристика обчислюється за формулою: (7.83) де
Тут — функція розподілу, — умовна функція розподілу випадкової величини . Надалі для зручності введемо позначення щодо подій: , . Очевидно, що події та утворюють повну групу, а тому повну дисперсійну характеристику випадкової величини відносно порогового значення с можна знайти за формулою: (7.84) Якщо для фіксації несприятливих відхилень щодо випадкової величини скористатись випадковою величиною (індикато-ром несприятливих відхилень):
а для фіксації сприятливих явищ — випадковою величиною (ін-дикатором сприятливих відхилень)
то ; . Розглянемо тепер випадкову величину, що відображає норму прибутку портфеля акцій: , (7.85) де хk — частка акцій k-го виду у портфелі (хk О [0; 1]); Х = (х1; ...; хN) — вектор, що задає структуру портфеля, Якщо ввести до розгляду індикатор несприятливих відхилень
та індикатор сприятливих відхилень
то випадкова величина, що описує несприятливі відхилення нор-ми прибутку портфеля відносно порогового значення с, визнача-ється співвідношенням , (7.86) а сприятливі відхилення — співвідношенням . (7.87) Зафіксуємо структуру портфеля акцій. Тоді з урахуванням структури випадкової величини отримуємо: . (7.88) Розглянемо множину , для всіх елементів якої має місце оцінка: . (7.89) Але невід’ємні значення, що їх набуває випадкова величина не заперечують можливості одночасного співісну-вання під знаком суми у правій частині (7.89) як додатних, так і від’ємних доданків для усіх , що належать деякій підмножині . При цьому наявність від’ємних доданків гарантує існування непустої підмножини такої, що для усіх та матиме місце оцінка: . (7.90) Співвідношення (7.90) вказує на те, що наявність несприятли-вих відхилень щодо акцій (хоча б на обмеженій множині ) слід розглядати як потенціальне джерело ризику портфеля акцій. Тому при оцінці ризику портфеля акцій необхідно враховувати всі можливі несприятливі відхилення стосовно кожного виду ак-цій, що є його складовими, незалежно від його структури, навіть у разі сприятливих відхилень норми прибутку цього портфеля. Як уже зазначалось, випадкова величина (7.91) описує сприятливі відхилення стосовно норми прибутку портфе-ля. До складу сприятливих входять і безризикові ситуації, харак-терною ознакою яких є те, що незалежно від струк-тури портфеля. Це можливо лише у разі, коли одночасно для усіх k = 1,…,N мають місце оцінки і тоді . (7.92) Якщо розглянути подію , то безризикова ситуація матиме місце у тому випадку, коли вектор . Усі інші допустимі комбінації щодо норм прибутків акцій об-тяжені ризиком (відхилення норми прибутку хоча б однієї акції є несприятливим). Позначивши через подію, що їх охоплює, і враховуючи, що та утворюють повну групу подій, отри-муємо: (7.93) Наведені міркування вказують на те, що за міру ризику порт-феля цінних паперів доцільно використовувати величину . (7.94) Враховуючи, що (7.95) отримуємо формулу для обчислення міри ризику портфеля згідно зі зазначеною концепцією: . (7.96) У формулі (7.96): — семіковаріаційна ха-рактеристика випадкових величин та , що обчислю-ється за формулою: (7.97) — коваріаційна характеристика випадкових величин та що обчислюється за формулою: (7.98) де — середньозважені (сподівані) норми прибутку відповідно k-го та j-го видів цінних паперів, тобто , , . Якщо за цільову використати функцію (7.96), то структура портфеля, що має мінімальний ризик згідно із зазначеною концепцією, є розв’язком оптимізаційної задачі: . (7.99) Якщо для оцінки ризику щодо несприятливих відхилень вико-ристовувати семіваріацію (коли за пороговий рівень при визна-ченні несприятливих відхилень використовувати не наперед за-дану константу с, а середньозважені (сподівані) значення відповідних норм прибутків акцій чи портфеля), критерій (7.96) набуває вигляду: (7.100) У формулі (7.100): — семіковаріація ви-падкових величин та , що обчислюється за фор- мулою: , (7.101) множина сприятливих відхилень норми прибутку портфеля цін-них паперів
mП — середньозважена (сподівана) норма прибутку портфеля об-числюється за формулою: (7.102) Якщо за цільовий використати критерій (7.100), то оптималь-на структура портфеля цінних паперів буде рішенням оптиміза-ційної задачі: ; (7.103) . (7.104) За наявності статистичних даних для наближеного обчислення величин, наведених у формулах (7.96) та (7.100), використовують їх оцінки. Так, структура портфеля з мінімальним ризиком є розв’язком оптимізаційної задачі (7.99), але при цьому у формулі (7.98) використовуються оцінки сподіваних значень відповідних норм прибутку, дисперсії та відповідних коваріацій. Зазначимо, що при цьому оцінка здійс-нюється за формулою: (7.105) Використання зазначеної концепції в практичній діяльності дає позитивні результати. Зменшення ризикованості портфеля цінних паперів завдяки відкиданню безризикових ситуацій до-зволить побудувати портфель з більшою нормою дохідності, ніж отриманий з використанням методу Г. Марковіца.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ОПТИМІЗАЦІЯ СТРУКТУРИ ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ З ВИКОРИСТАННЯМ СЕМІВАРІАЦІЇ ЯК МІРИ РИЗИКУ» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
