МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ НЕОКЛАСИЧНОЇ ТЕОРІЇ ПОРТФЕЛЯ
У рамках класичної теорії портфеля спираються, зокрема, на статистичну (вибіркову) сукупність даних, які характеризують динаміку відповідних економічних показників ефективності (на-приклад, норми доходу, прибутку). Класичний підхід, як очевид-но з викладеного, ґрунтується на гіпотезі стаціонарності норми доходу. Тобто вважають, що випадкова величина, якою є норма доходу (прибуток чи інший базовий показник), має незмінне в часі математичне сподівання, а також що коливання норми дохо-ду відносно сподіваної величини теж є стаціонарною величиною. Але ці гіпотези в загальному випадку, як уже зазначалося в розд. 1, далеко не завжди є правомірними (про це йдеться в ряді праць, зокрема в [73, 81, 168, 314, 339, 350]). Отже, рівень часо-вого ряду постійно змінюється, змінними в часі є дисперсія, ко-варіація. Окрім того, використовувана в класичній теорії портфе-ля гіпотеза, що коливання норми доходу портфеля в обидві сторони від сподіваної величини однаково небажані, теж не є не-заперечною. Цілком слушна, зокрема, така раціональна гіпотеза, згідно з якою власника портфеля цінних паперів не влаштовує лише зниження норми доходу відносно сподіваної величини (чи відносно іншої величини, обраної за базу). І власне це є одним з видів ризику, яким обтяжений інвестор. У літературі пропонуєть-ся низка альтернативних оцінок (мір) ризику, деякі з них запро-поновані в [53, 73, 78] та подані в розд. 3 цього дослідження. Якщо, зокрема, за міру ризику портфеля обирається семіквад-ратичне відхилення норми доходу портфеля, то оптимальну структуру портфеля можна обчислити, максимізуючи функцію (7.22) при виконанні обмежень (7.2) і (7.16), де — сподівана вели-чина норми доходу портфеля, — норма доходу цінних папе-рів з фіксованим відсотком, — семіквадратичне відхилення норми доходу портфеля. Оптимізувати структуру портфеля можна, мінімізуючи також показник W, пов’язаний з асиметрією (а), який обчислюється за формулою: (7.23) на базі величини l, де l розраховується за формулою: (7.24) Використовується також середньогеометрична норми доходу портфеля [73, 78]. Оптимальну структуру портфеля в цьому разі можна обчислити, максимізуючи функцію (7.25) при врахуванні обмежень (7.2) і (7.16), де RGП — середньогеометрична норми доходу портфеля, SSRGП — семіквадратичне відхи-лення норми доходу портфеля відносно середньогеометричної. У [168] запропоновано кілька альтернативних підходів. Ризик рекомендується оцінювати показником, що виражається квадратним коренем з середнього квадрата сукупної (загальної) вартості (цінності) портфеля. Цей показник об’єктивніше характеризує нестаціонарні коливання норми доходу портфеля, ніж середньоквадратичне відхилення від сподіваного значення, що притаманне класичному підходу. Середній квадрат різниці сусідніх у часі значень норми доходу портфеля можна подати за формулою: (7.26) де Т + 1 — кількість минулих періодів (роки, місяці, дні), Rit — норма доходу від і-го виду цінних паперів, що мала місце у t-му періоді, (7.27) а риска вгорі означає усереднення за часом. Функція, яку в [168] пропонується максимізувати, має вигляд: (7.28) де — шукані параметри щодо структури оптимального портфеля. Функція (7.28) аналогічна за своєю структурою до функції (7.10) і пошук оптимальної структури портфеля (ендогенних змінних ) здійснюється аналогічно тому, як це робилося в п. 7.1. Показник ризику портфеля , який обчислюється за форму-лою (7.26), не пов’язаний з математичним сподіванням норми доходу, але він спирається на операцію усереднення за часом. Слід зазначити, що в ряді випадків немає даних відносно стійкос-ті (стаціонарності) середніх величин з плином часу. Якщо усереднення квадратів приростів норми доходу та їх попа-рних добутків відбувається на певному часовому інтервалі, то при переміщенні по часовій осі цей інтервал можна зсувати, відкидаючи найстарші (найвіддаленіші в часі) значення, залишаючи його шири-ну (вікно) постійною. Тож буде логічним, якщо поступово та невпинно знижувати питому вагу даних з урахуванням їх старіння, дисконтуючи їх. Величина, обчислювана за формулою (7.29) є середньозваженою норми доходу і-го цінного папера на момент t. Тут приймається, що 0 < a < 1, a = 1 – b. З [261] відомо, що експоненційну середню можна обчислити за формулою: . (7.30) За міру ризику портфеля пропонується також обирати корінь квадратний з експоненційної середньої квадратів приростів нор-ми доходу на момент t, яка обчислюється за формулою: (7.31) де Параметр a, який фігурує в (7.29) та (7.30), і параметр α1, що фігурує в (7.31), пов’язують між собою таким співвідношенням: (7.32) Функція, яку необхідно максимізувати при оптимізації струк-тури портфеля, має вигляд: . (7.33) Якщо параметр адаптації (коефіцієнт дисконтування) a зада-но, то функція (7.33) залежить лише від коефіцієнтів xi (i = 1, …, n). На відміну від попереднього, позитивним у (7.33) є те, що експоненційні середні можна коригувати (поновлювати) при ко-жному збільшенні t на одиницю і цільова функція (7.33) оновлю-ється на кожному кроці у разі просування по осі часу (наявності нових даних) [168]. Відповідно модифікуються й оцінки структу-рних параметрів хі. Розглянуту процедуру можна назвати адапти-вною оптимізацією структури портфеля. Залишається проблема з вибором параметра дисконтування a. Англійський вчений Р. Г. Браун як задовільний для практичних цілей компроміс пропонує обирати a число, що набуває значення на відрізку [261]. Вважаємо за доцільне обирати низку значень a з цього відріз-ку і, надаючи їм відповідних вагових коефіцієнтів на підставі «м’якої» (експертної) інформації (або, коли це має сенс, прийма-ючи їх вагові коефіцієнти однаковими), обчислювати інтегроване значення відповідних структурних параметрів xi (i = 1, …, n). Обираючи низку значень a на відрізку 0,1 Ј a Ј 0,3, можна засто-сувати описаний у п. 5.5 ІРМАІ, використовуючи при цьому різні доречні критерії, і таким способом обчислювати раціональну структуру портфеля, оптимізуючи ступінь ризику, яким цей портфель обтяжений. Управління портфелем цінних паперів — це планування, ана-ліз і регулювання структури портфеля, його формування та під-тримка з метою досягнення поставлених цілей при збереженні допустимого рівня його ризику та мінімізації витрат. Конкретний перелік операцій, які входять у поняття «управ-ління портфелем», наведений, зокрема, в [202, 275]. Основними цілями інвестування в цінні папери в класичному економічному аналізі є: 1) одержання прибутку; 2) збереження капіталу; 3) забезпечення приросту капіталу (на підставі зростання кур-сової вартості цінних паперів). Розрізняють різні типи портфелів залежно від ступеня ризику. Наприклад, якщо метою є одержання якомога більшого відсотка, то пріоритет віддають «агресивним» портфелям, які складаються з низьколіквідних та високоризикованих цінних паперів молодих компаній і які здатні, якщо цьому сприятимуть обставини, прине-сти високі відсотки. І, навпаки, якщо найважливішим для інвес-тора (менеджера) є забезпечити збереження і приріст капіталу, то в портфель будуть залучені цінні папери, що мають вищу ліквід-ність, емітовані відомими фірмами та державою, з невеликими ризиками і заздалегідь очікуваними сподіваними (середніми), хо-ча й невеликими відсотковими сплатами (доходами). За умов сучасного економічного стану в Україні система цілей портфеля може бути іншою, зокрема такою [275]: 1) збереження і приріст капіталу; 2) придбання цінних паперів, які за умовами обертання мо-жуть замінити готівку; 3) доступ через придбання цінних паперів до дефіцитної про-дукції (сировини) та послуг, майнових і немайнових справ; 4) розширення сфери впливу та перерозподіл власності, ство-рення холдингових і ланцюгових структур; 5) спекулятивна гра на коливаннях курсів в умовах нестабіль-ного, ненасиченого ринку цінних паперів; 6) похідні цілі (зондування ринку, страхування від надлишко-вих ризиків тощо). Ризик портфеля — це міра (ступінь) можливості того, що на-стануть обставини, за яких інвестор може понести збитки, спри-чинені інвестиціями в портфель, а також нераціональними опе-раціями по залученню ресурсів до формування портфеля. Портфельний ризик — агреговане об’єктивно-суб’єктивне поняття, яке, в свою чергу, містить багато видів ризиків: ліквід-ності, кредитний, капітальний, селекції тощо. Зрозуміло, що кінцевою метою управління портфелем є при-бутковість, тобто перевищення доходів від інвестицій у цінні па-пери над затратами на залучення грошових ресурсів, необхідних для цих вкладень, за умови забезпечення певного (оптимального) ступеня ліквідності та ризику портфеля. Як зазначається у ряді праць, зокрема в [81], однією з перших ознак збільшення ступеня ризику та руху до банкрутства є зниження прибутковості підпри-ємства (компанії), яка стає нижчою від вартості його (її) капіталу. Може виникнути криза ліквідності, і компанія ввійде в стан «технічної неплатоспроможності». Цей рівень спаду може роз-глядатися як банкрутство. Зниження норми доходу, котра стає нижчою від суми зобов’язань перед кредиторами, означає, що акціонерний капітал зникає. Може статися, що ліквідація компа-нії стане доцільнішою, ніж її експлуатація. Таким чином, рух, який починається з відносного зниження норми доходу, може призвести певну компанію до банкрутства. Динаміка рядів економічних показників у загальному випадку складається з чотирьох компонентів: · тенденції, яка характеризує довготривалу основну закономі-рність і яку можна подати у вигляді певної функції часу f (t) — тренду; · періодичного компонента, пов’язаного з впливом сезонності розвитку досліджуваних об’єктів (проектів, процесів); · циклічного компонента, котрий характеризує циклічні коли-вання, що притаманні багатьом економічним процесам (об’єктам); · випадкового компонента — наслідку впливу множини випа-дкових чинників. Тенденцію норми доходу від і-го виду цінних паперів (діяль-ності) можна подати у вигляді функції fi(t), навколо якої розкида-ні фактичні значення норми доходу Rit. Існує ряд методів переві-рки гіпотези щодо існування тенденції, найбільш відомий серед яких метод, розроблений Ф. Фостером і А. Стюартом [261]. За-пропоновано також ряд способів, які дозволяють обрати криву, досить добре апроксимуючу дійсний розвиток. Це — поліноми різних степенів, експоненційні криві тощо. Формуючи портфель, доречно розглядати його норму дохо-ду в контексті майбутнього. Існує цілий ряд методів прогнозу-вання (класифікація їх подана, зокрема, в [261]). Одним з най-поширеніших методів прогнозування економічних показників (процесів) є екстраполяція, тобто поширення на майбутнє ми-нулих і теперішніх закономірностей розвитку, зв’язків і спів-відношень. Екстраполяцію норми доходу можна подати у вигляді фун-кції , (7.34) де Rt + L — значення ряду динаміки, яке прогнозується, L — пері-од випередження, Rt — рівень ряду, взятий за базу екстраполяції, ak — параметр рівняння тренду. Найефективнішими, на нашу думку, є адаптивні методи про-гнозування, в яких значущість рівнів динаміки спадає в міру їх віддалення від теперішнього моменту. Послуговуючись наведе-ними вище міркуваннями, можна обчислити відповідні парамет-ри й одержати модель прогнозу, тобто аналітичний вираз функції (7.34), на підставі якого, власне, здійснюється прогнозування. Як міру відхилення від середнього значення прогнозованих величин використовують довірче значення d відхилень від середнього прогнозованого (тренду): , (7.35) де V — вибіркова варіація (дисперсія); kv(γ) — значення коефіці-єнта, пов’язане з критерієм Стьюдента (обирається з відповідних таблиць [261]), котре залежить від кількості ступенів свободи n, визначається обсягом вибірки, величиною періоду випередження, а також згідно з апріорно заданим рівнем ризику (1 – γ) (довірчої ймовірності). Як правило, g вибирають рівним 0,9 або 0,95, або 0,99, зважаючи на міру несхильності суб’єктів прийняття рішень до ризику, тощо. Відтак, для кожного і-го виду цінних паперів, який може бути залучений до портфеля, визначаються згладжене значення тепе-рішньої величини норми доходу та спрогнозоване значення (норми доходу) , на L періодів (кроків) уперед, а також відповідні нижні і верхні межі довірчих інтервалів. Тут g виступає одним з коефіцієнтів ризику (ризик, що пов’язаний з межами довірчого інтервалу). Далі можна діяти, використовуючи кілька способів. Напри-клад, як у [73], користуючись обраним рівнянням тренду та довірчими інтервалами, можна обчислити песимістичні теоретичні (згладжені та прогнозовані) значення норм доходу цінних папе-рів і = 1, ..., п. У двовимірному просторі (рис. 7.4), де по осі абсцис відклада-ється час, а на осі ординат — песимістичні (згладжені) та спрог-нозовані значення норми доходу , слушно розглядати величину приймаючи довжину періоду прогнозування рів-ною L (L років, місяців, діб): (7.36) де αі — кут нахилу градієнта між сусідніми в часі прогнозовани-ми та згладженими (теоретичними) значеннями норми доходу і-го виду цінних паперів. Очевидно, що компанія (фірма) прагнутиме (див. рис. 7.4), щоб для сформованого портфеля кут нахилу градієнта αП був би не меншим, ніж α0 (задане значення). Тобто, щоб виконувалась умова: (7.37)
Рис. 7.4. Кут нахилу градієнта між сусідніми в часі нормами доходу портфеля Далі, вилучаючи значення тренду з відповідних вибіркових значень, можна розглядати лише несприятливі відхилення від згладжених значень:
За міру ризику можна обрати одну з величин, поданих у розд. 3, для кожного і-го виду цінних паперів, наприклад семі- квадратичне відхилення від згладжених значень :
Оптимальну (раціональну) структуру портфеля в такому разі можна знайти, максимізуючи функцію (7.38) при виконанні умов (7.2), (7.16) та (7.37). Можуть застосовуватись також інші показники ступеня ризи-ку, подані у п. 3.3. Формування структури портфеля цінних паперів можна моде-лювати також на підставі раціональної системи гіпотез, застосо-вуючи спектральний аналіз часових рядів, розкладаючи величини в ряд Фур’є. Тут додатково ще враховується циклічний компонент тощо. Раціональну структуру портфеля доцільно обирати, викорис-товуючи сценарний аналіз щодо станів зовнішнього економічно-го середовища (його параметрів) при врахуванні кількох критері-їв оптимальності, та коли частково відсутня необхідна числова інформація, але є можливість використовувати «м’яку» (вербаль-ну) інформацію, послуговуючись нечіткими (розпливчастими) оцінками [51, 73, 78]. Це можна здійснити, застосовуючи, зокре-ма, подану нижче багатокрокову процедуру [73]. Крок 1. Відбір (залучення) до портфеля тих видів цінних па-перів, для яких: (7.39) , (7.40) де , (7.41) (7.42) Тут — гранична величина (поріг), вибір якої здійснюється на підставі вербальних оцінок; обчислюються за формулою (7.36); — задане значення кута нахилу, вибір якого теж здійснюється на підставі вербальних (евристичних) правил. Крок 2. Побудова множини ефективних портфелів за допомо-гою однієї з наведених моделей і критеріїв (без урахування без-ризикових паперів RF). Крок 3. Розподіл множини ефективних портфелів на кілька підмножин (типів) [275]. Тут слушно застосувати один з методів багатовимірної класифікації, описаних, зокрема, в [261], а також запропонований у [78] та описаний у п. 5.5 ігровий розпливчас-тий метод аналізу ієрархій (IРМАІ). Крок 4. Відбір кількох портфелів (на підставі відповідних критеріїв, подібних до тих, що застосовуються на кроці 1) з виб-раних на попередньому кроці підмножин ефективних портфелів. Крок 5. Вибір оптимальної (раціональної) структури портфе-ля цінних паперів (видів діяльності, товарів) з множини альтер-нативних варіантів, одержаних на попередньому кроці, за допо-могою відповідно побудованої ієрархічної структури критеріїв, застосовуючи методологію та алгоритм, запропоновані в [78]. Необхідно зазначити, що існує широке поле для подальшої розбудови неокласичної теорії портфеля та її використання в різ-них сферах фінансово-економічної діяльності. Може йтися також про розбудову аксіоматичної неокласичної теорії портфеля.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ НЕОКЛАСИЧНОЇ ТЕОРІЇ ПОРТФЕЛЯ» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
