Методом прямого счета, как это было показано в § 5.1, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользоваться более компактными формулами. Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания существа дела, вероятно, достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик лишь для некоторых из них. В этом и следующем параграфах анализируются ренты постнумерандо. Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая — годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке / % годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R , а срок — п. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются п — 1 год, на второй п — 2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит: Л(1 + /Г"1, Л(1 + 0я"2, ..., ЛО + 0, Л Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + I) и первым членом Л. Число членов прогрессии равно п. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии. Откуда (1+/Г-1 (И-У-1 S R (l + 0-l / (5"4) Обозначим множитель, на который умножается Л, через sn4, нижний индекс n;i указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки (часто в литературе можно встретить 100
обозначение sny). В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1: пА< \/ (i + 'T-i г-о ' Таким образом, S=Rsn;i. (5.6) Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением значения каждого из этих параметров его величина растет. При / = О имеем S= Rn. Значения коэффициента легко табулировать (см. табл. 6 Приложения). ПРИМЕР 5.3. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Поскольку в таблице коэффициентов наращения Приложения нет такого значения ставки, то необходимую величину определим по формуле (5.4). Величина фонда на конец срока составит о л л 0+0,185)5-1 ООЛ s = 4 х S5;18,5 = 4 х ^85 = МЛН РУ Для расчета наращенной суммы можно воспользоваться пакетом Excel БЗ (FV), который следует применять только в тех случаях, когда р = т. Последовательность действий и пример применения этой программы показаны ниже — там, где речь идет о таких рентах. Полезно проследить взаимосвязь коэффициентов наращения, относящихся к последовательным интервалам времени. Для случая, когда общий срок определяется как п = /i, + nv получим Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Пусть как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако 101
проценты теперь начисляются т раз в году. Число членов ренты равно пт. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке): Л, Л(1 +y//w)w, Л(1 +у/т)2/я, ..., Л(1 +y//w)<'|-,>/w, где у — номинальная ставка процентов (см. § 3.3). Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической профессией. Первый член прогрессии равен Л, знаменатель — (1 +<///w)w. Сумма членов этой прогрессии составляет (1 + j/m)mn - 1 5" Л(1+у/т)--1 " **«*" (58) ПРИМЕР 5.4. Несколько изменим условия примера 5.3. Пусть теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году. Имеем j/m = 18,5/4, тп = 20: (1 + 0,185 /4)20- 1 S = 4- 1 '—Ч = 29,663 млн руб. (1 + 0,185 / 4)4 - 1 ' му Как видим, переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму. Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов /ьсрочной ренты постнумерандо при условии, что /и = 1,/и=/>и/и*/>. Рента /^-срочная (т = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна /?, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p , знаменатель — (1 + I){/P. Сумма членов этой прогрессии s р х о + о'/>-1 R P[(i + ,y/>- и Ki- (59) 102
ПРИМЕР 5.5. Вернемся к условиям примера 5.3. Допустим, платежи выплачиваются поквартально: Я/р=1 млн руб., общее число платежей равно 20. Наращенная сумма составит 1.1855- 1 S = 4 4(1,18514-1) = 30'834 МЛН РУб* Рента ^-срочная (р = т). На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: р = т. Для получения необходимой формулы воспользуемся (5.4), в которой / заменено нау//и , а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты пр, член ренты равен R/p. Поскольку р = /и, то в итоге получим R (1 + 7/т)™-1 (1 +7//ЯГ-1 о = — х " = К : . (5.10) т j/m j Полученные выше формулы (5.4) и (5.5) могут применяться и для определения наращенной суммы /ьсрочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов, в свою очередь / является ставкой за период. Например, пусть рента постнуме-рандо выплачивается по полугодиям. Тогда в формуле (5.4) под п следует понимать число полугодий, а под / — сложную ставку за полугодие. Для расчета наращенной суммы для этого случая можно воспользоваться программой БЗ (FV) пакета Excel Эта программа помимо потока постоянных платежей учитывает единовременный взнос (имеющиеся средства) в начале срока. Расчет производится по формуле S = Rsml+ Н3(1 + О", где R — член ренты, НЗ — единовременный взнос, sn;i — коэффициент наращения постоянной ренты, п — число' периодов выплаты ренты и начисления процентов, / — процентная ставка за период.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо» з дисципліни «Фінансова математика»
