Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления {running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став-ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам: Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.), S — наращенная сумма на конец срока ссуды, п — срок, число лет наращения, / — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(\ + /). К концу второго года она достигнет величины Р(\ + /) + Р(1 + /)/' = = Р(\ + О2 и т.д. В конце л-го года наращенная сумма будет равна 43
S= P(\ + i)n.
(3.1)
Проценты за этот же срок в целом таковы: /= S- Р = P[(l + i)n- 1]. (3.2) Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет 1р = Р[(\ + /Г - (1 + л/)]. (3.3) Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р9 а знаменатель — (1 + /). Последний член прогресии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам представлена на рис. 3.1.
А 1* /, п1 пг О п On Рис. 3.1 Рис. 3.2 Величину (1 + 0я называют множителем наращения (compound interest factor) по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Фрагмент такой таблицы приведен в табл. 2 Приложения. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.). Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ ACT.
44
ПРИМЕР 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (3.1) находим S = 1 000 000(1 + 0.155)5 = 2055464,22 руб.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров -/ил. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.1 Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667 х 109 раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3 % годовых. Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмысленным. Например, уже при / = 120% (а такая инфляционная ставка не столь уж давно наблюдалась в России, правда для краткосрочных ссуд) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множитель наращения (1 + 1,2)10 = 2656. Формула наращения по сложным процентам (3.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях / означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), ая- число таких периодов. Например, если i — ставка за полугодие, то п — число полугодий и т.д. Формулы (3.1)—(3.3) предполагают, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке /, а проценты на проценты — по ставке г * / В этом случае S = Р + А[1 + (1 + г) + (1 + г)2 +...+ (1 + г)"""1]. Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + г). В итоге имеем (3.4) ( (I + г)" - О S= Р 1 + /^ -1 -
1 См.: Томас Д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
45
Начисление процентов в смежных календарных периодах. Выше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко сформулировать на основе графика, построенного для двух смежных календарных периодов (см. рис. 3.2). Общий срок ссуды делится на два периода п{ и пт Соответственно, /=/, + /2, где /, = />[(1 + 0*| - 1)]; /2 = Р(\ + /ц[(1 + Оъ - 1] = = />[(1 + /)« - (1 + /)/!,]. ПРИМЕР 3.2. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 1998 г. по 1 мая 2000 г. Размер ссуды 10 млн руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка 14% ACT/ACT) по календарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс. руб.): 2± за период с 1 мая до конца года (244 дня): 10 000(1,14365 - 1) = = 915,4; Л± за 1999 г.: 10 000 х 1.14365 х 0,14 = 1528,2; 1 244 наконец, с 1 января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10 000 х 1,14 365 х 121 х (1,14365 - 1) = 552,4. Итого за весь срок — 2996 тыс. руб. Такой же результат получим для всего срока в целом: 10 000х(1,142-1) = 2996. Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать "классическую" схему, например, с помощью применения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет 46
на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда изменения размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е. 5-/>(1 + /1)Я'(и/2)Я2...(1+/,)Л4, (3.5) где /,, /2,..., ik — последовательные значения ставок; nv я2>—> пк — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки. ПРИМЕР 3.3. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит q = (1 + 0,125)2(1 + 0.1275)3 = 1,81407. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При 4этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов: £=/>(1 +/)<(1 + */), (3.6) где л = а + Ъ — срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года. Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц. При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедливо соотношение 1 + л/ > (1 + /)Л. Наибольшая разница наблюдается при Ъ = 1/2. 47
ПРИМЕР 3.4. Кредит в размере 3 млн руб. выдан на 2 года и 160 160 дней (п = 3 -г^ = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. 365 Сумму долга на конец срока определим по формуле (3.1): S = 3 000 000 х 1.1653'43836 = 5071935,98 руб., в свою очередь, смешанный метод дает S = 3 000 000 х 1,1653 х (1 + 0,43836 х 0,165) = 5086595,98 руб.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Начисление сложных годовых процентов» з дисципліни «Фінансова математика»
