Основоположниками ТИ являются Дж. фон Нейман и О. Мор- генштерн [14]. Они попытались математически описать характер ные для экономики явления как некоторую игру. Например, они ставили задачу оптимизации поведения субъектов рынка. В последующем ТИ стала рассматриваться как теория приня тия решений, реализующих поставленные цели в условиях неопределенности информационной ситуации. Однако в ТИ рас сматриваются и игры с полной информацией (т.е. в условиях оп ределенной ситуации). Разумеется, ТИ, как и любая другая мате матическая теория, не охватывает все разнообразные задачи в конфликтных ситуациях. Она рассматривает ситуации, характе ризующиеся определенной системой правил-ограничений и име ющих некоторую формальную структуру. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения (выбирает стратегию действий), которые, как он полага ет, обеспечивают ему наибольший выигрыш или наименьший про игрыш, причем этому участнику игры ясно, что результат зависит не только от него, но и от действий партнера (или партнеров). Особое место среди условий, в которых приходится прини мать решения, занимают условия конфликта. Конфликтом есте ственно называть всякое явление, применительно к которому имеет смысл говорить, кто и как в этом явлении участвует, како вы его возможные исходы, кто в этих исходах заинтересован и, наконец, в чем состоит эта заинтересованность. В рамках ТИ принимаемые решения выступают как достаточ но упрощенные и идеализированные схемы реальных явлений. ТИ есть теория математических моделей. Для формального описания игры необходимо, чтобы были определены: • множество возможных ходов М. для каждого игрока и.; • платежная функция (функция полезности) F, определенная для заключительной ситуации b или для каждой точки Z?. из мно жества заключительных ситуаций; • правила выделения множеств Mf из множества М.дяя каж дой ситуации Ь. и игрока и. (правила выбора ходов). Наиболее развита теория матричных позиционных игр двух лиц, основные положения которой изложены, например, в [2-7, 10-17]. Геометрически такую игру можно представить на рисунке в виде «де рева» игры. Узлы этого «дерева» соответствуют возможным ситуацргям в игре, а заключительным ситуациям - «закрашенные» узлы. Номер иг рока, делающего ход, при данной ситуации указан внутри каждого из узлов. Множества Л/, изображаются множеством ветвей, выходящих из данного узла. Около заключительных ситуаций написано распределе ние выигрышей и проигрышей между игроками после окончания игры. +10 -10 +2 -8 -10 Любая последовательность ходов, сделанных игроками в процессе игры, определяет партию игры. Число различных партий равно числу заключительных ситуаций и является важным признаком при исследо вании игр. Выбор игроком и^ того или иного хода на данном шаге игры называ ется ходовой альтернативной стратегией игрока, а набор указаний, ко торый позволяет игроку в любой ситуации игры (точнее, при любой информации об игре) выбирать ход - полной стратегией игры, или про сто стратегией игрока и.. При обозначении ходовых стратегий на рисунке верхний индекс ука зывает номер игрока, которому принадлежит эта стратегия, нижний - 723 порядковый номер ходовой стратегии в множестве стратегии данного игрока. Пунктирной линией на рисунке обведены вершины «дерева», кото рые игрок по правилам игры не может различать на данном шаге. На пример, на третьем шаге игрок /, если он выбрал на первом шаге ход /,', знает, что игрок 2 может выбрать либо /,^, либо i-^, но не может знать, какой именно из ходов выбрал игрок 2, т.е. игрок 1 не знает, в какой из этих двух возможных ситуаций, ограниченных пунктиром, находится в данный момент игра. Совокупность ситуаций, попавших внутрь пунк тирной линии, называется информационным множеством. В играх с пол ной информацией такие множества состоят из одной ситуации. Стратегия выбирается игроком на основе некоторой решающей фун кции, определенной на множестве стратегий. Эта функция может быть представлена, например, в виде платежной матрицы, которая называет ся матрицей игры. Для игры, «дерево» которой приведено на рисунке, матрица имеет вид таблицы, где S.' =/, \ /. *; S 1 = / I ~ '2 ' ^2 ~ последовательности ходов игрока u^\S^^ = /j^; 5*2^ = /'2 ~ после довательности ходов игрока «2. s\ s\ s\ s\ sf "+10 -10 +6 +2 s! +2 -2 -6 -10 Положительные элементы матрицы соответствуют выигры шам игрока Wp отрицательные - выигрышам игрока Uy Действия игрока направлены на поиск стратегии, при кото рой его выигрыш максимален. Для игрока и^ полная стратегия оптимальна при max{mina..}, где а.. - элементы матрицы игры; / = \,2,..., I'J = 1, 2,... w; / - число полных стратегий игрока иг, т - число полных стратегий игрока Uj. (1) Оптимальная стратегия для игрока «2 будет достигнута при min{maxa..}, J i где i = \, 2,... J-J- 724 1,2,...ш. +10 -5 -10 +5 Эти оптимальные стратегии называются максиминной и ми нимаксной соответственно. Если выполняется равенство (теорема о минимаксе) max {min aij} = min {max a у}, (2) / j j i TO говорят, что игра имеет седловую точку, и элемент матрицы, определяемый на основании (2), называется ценой игры. Игры с седловой точкой называются играми с чистыми стра тегиями. Такие игры заканчиваются, как только игроки, произведя полный анализ матрицы игры, выберут свои оптимальные стра тегии. Однако в матрице игры может не быть седловой точки. Например, для игры с матрицей max {min а-.} = -5; min {max ал} = 5. (3) i j ^ j i В этих случаях игрокам при выборе стратегии следует избе гать какой-либо закономерности, так как на основе анализа его игры противник может разгадать принятую закономерность и пользоваться случайным набором полных стратегий (выбор мо жет определяться законом распределения полных стратегий). Иными словами, игры, в матрице которых нет седловой точки, не могут быть описаны в рамках аналитических представлений, для их описания требуется привлекать вероятностные оценки. Стратегия, определяемая последовательным выбором полных стратегий на основе закона распределения этих стратегий, назы вается смешанной. В отличие от нее стратегии, рассмотренные ра нее, называют чистыми стратегиями. Цена игры в играх со смешанными стратегиями определяется в виде математического ожидания, которое характеризует мак- симинную смешанную стратегию игрока и^ и минимаксную сме шанную стратегию игрока «2- Возможность минимаксных и максиминных стратегий (чис тых и смешанных) определяется фундаментальной теоремой ТИ, доказанной Дж. фон Нейманом в 1928 г., - теоремой о мини максе [14]: «Для антагонистических игр двух лиц всегда существуют оп тимальные смешанные стратегии для игроков и^ и «2» и оптималь- 725 пая смешанная стратегия для и^ является его смешанной мини максной стратегией». Смысл принципа минимакса можно выразить следующим образом: стремление «противника» максимизировать наши ми нимальные потери равнозначно нашему стремлению минимизи ровать наши максимальные потери. В наиболее простом случае речь идет о противоборстве толь ко двух противников (например, двух конкурентов, борющихся за рынок сбыта). В более сложных случаях в игре участвуют мно гие, причем они могут вступать между собой в постоянные или временные коалиции, союзы. Игра двух лиц называется парной. Когда в игре участвуют Л^ игроков - это игра Л^ лиц, а в случае образования коалиций игра называется коалиционной. Имеются исследования, распространяющие основные поло жения классической матричной ТИ двух лиц на игры с числом участников больше двух. В частности, в 1951 г. Дж. Кэш доказал аналогичную теореме Дж. фон Неймана для матричных игр теорему о существовании ситуаций равновесия в смешанных стратегиях для безкоалицион- них игр. Однако общей теории для игр с произвольным числом участ ников N, большим, чем 2, не существует. Наиболее развиты для игр с большим числом игроков мето ды коалиционных игр, в которых участники в процессе игры мо гут образовывать временные или постоянные коалиции с дого ворным распределением выигрыша. Здесь принимающему решения субъекту приходится считать ся не только со своими собственными целями, но также с теми целями, которые ставят перед собой его партнеры. Помимо это го он должен учитывать, кроме известных ему обстоятельств кон фликта, еще и те решения, которые принимают его противники и которые ему самому неизвестны. Формальную модель для этого класса игр можно представить следующим образом.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ТЕОРИЯ ИГР (ТИ)» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
