Первоначальное название System Dynamics не совсем точно отражает сущность метода, так как при его использовании ими тируется поведение моделируемой системы во времени с учетом внутрисистемных связей. Поэтому в ряде зарубежных работ в последние годы метод все чаще называют System Dynamics Simulation Modeling, и мы будем также называть его более пра вильно - имитационное динамическое моделирование (ИДМ). Основные принципы и понятия ИДМ. Любую систему можно представить в виде сложной структуры, элементы которой тесно связаны и влияют друг на друга различным образом. Связи меж ду элементами могут быть разомкнутыми и замкнутыми (или кон турными), когда первичное изменение в одном элементе, пройдя через контур обратной связи, снова воздействует на этот же эле мент. Так как реальные системы обладают инерционностью, в их структуре имеются элементы, определяющие запаздывание пере дачи изменения по контуру связи. При использовании ИДМ строится модель, адекватно отража ющая внутреннюю структуру моделируемой системы; затем пове дение модели проверяется на ЭВМ на сколь угодно продолжитель ное время вперед. Это дает возможность исследовать поведение как системы в целом, так и ее составных частей. ИДМ использует специфический аппарат, позволяющий отразить причинно-след ственные связи между элементами системы и динамику изменений каждого элемента. Модели реальных систем обычно содержат зна чительное число переменных, поэтому их имитация осуществляет ся на ЭВМ. Описывают ИДМ с помощью специализированного языка моделирования DYNAMO, формальное описание которо го приведено в [1]. Символика, принятая здесь, соответствует ос новным обозначениям этого языка. При построении ИДМ исполь зуются следующие понятия и определения. Диаграмма причинно-следственных связей - графическое изоб ражение причинно-следственных связей между элементами, со ставляющими моделируемую систему. Причинно-следственная связь отражает отношения между отдельными элементами систе мы, как между причиной и следствием. Она обозначается стрел кой, направленной от причины к следствию. Связь может быть 212 положительной (когда изменение причины вызывает аналогич ное изменение следствия) и отрицательной (изменение причины вызывает противоположное изменение следствия). Полярность связи обозначается знаком «+» или «-» у соответствующей стрел ки (рис. 1). Рис. 1 Две последовательно соединенные отрицательные связи обра зуют в итоге положительную связь, то есть А -^ ~В -^ ~С анало гично (в смысле связи между А и С) А -^"^С, а связь А -^ "^5 —> ~С аналогична А -^ ~С Причинно-следственные связи могут образовывать замкнутые однонаправленные контуры, то есть контуры положительной или отрицательной обратной связи. Например, рассмотрим левый контур на рис. 2. с 1(+) В Z 2(+) Y Рис.2 Увеличение А вызывает рост С, а рост С, в свою очередь, вы зывает рост А и т.д. Другой пример положительной обратной связи - правый контур на том же рисунке. Увеличение X вызыва ет уменьшение У. Это, в свою очередь, вызывает увеличение Z, так как связь Y-^Z отрицательная, а рост Z вызывает дальней шее увеличение X. Полярность контура обозначена знаком «-+-» в скобках внутри контура. Примеры контуров отрицательной об ратной связи приведены на рис. 3. В левом контуре 1 увеличение А вызывает уменьшение В. Уменьшение В вызывает уменьшение С, так как они связаны положительной связью, при которой из менение (уменьшение) в причине (В) вызывает аналогичное из менение (уменьшение) в следствии (С). Аналогично уменьшение С вызывает уменьшение А, т.е. реакция контура направлена на то, чтобы компенсировать начальное увеличение А. Подобным же образом прослеживается поведение второго контура. 213 - X С 1(-) В Z 2(-) У Рис. 3 Можно предложить следующее правило определения поляр ности контуров обратной связи. Если в контур входит четное число отрицательных причинно-следственных связей или их во обще нет в нем, то это контур положительной обратной связи; если в контур входит нечетное число отрицательных причинно- следственных связей, то это контур отрицательной обратной свя зи. При этом полярность причинно-следственной связи между двумя элементами контура определяется реакцией элемента-след ствия на изменение элемента-причины независимо от их связей с другими элементами. На основе диаграммы причинно-следственных связей моде лируемой системы строится диаграмма потоков и уровней - гра фическое изображение ИДМ в виде уровней и связывающих их потоков (рис. 4). Информационный • поток " Материальный поток ^ RT LEV.X Рис. 4 Уровень - элемент, характеризующий накопление потока. Достигнутый уровень - это, например, уровень числа рабочих, занятых на предприятиях; объем произведенной продукции, хра нящейся на складе, и т.п. Уровень изображается прямоугольником, внутри которого помещают его обозначение LEV.X и номер уравнения, описыва ющего динамику уровня. Индекс X соответствует моменту вре мени, для которого берется значение уровня X-\-J, К, L. Значение уровня в настоящий момент времени К равно его значению в пре- 214 дыдущий момент J плюс (или минус) изменение уровня за период от момента J до момента К. Поток, вливаясь в уровень или вытекая из него, определяет изменение уровня. Обычные потоки являются материальными (например, поток рабочей силы, поток готовой продукции, по ток корреспонденции и т.п.). Кроме того, различают информа ционные потоки, с помощью которых принимается решение (оп ределяется значение темпа потока на следующий интервал времени KL). Обычные потоки обозначаются непрерывными стрелками, информационные - пунктиром. Поток измеряется тем пом потока, характеризующим количество переносимого пото ком ингредиента в единицу времени. В общем случае темп пото ка обозначается RT. Принимается, что темп, определенный в момент J (или АГ), остается неизменным до момента К (или L). Так как темп дей ствует на протяжении временного интервала DT, время его дей ствия обозначается двумя индексами, соответствующими началу и концу временного интервала (например, RT.JK- темп, действу ющий на протяжении времени от J до К). Число уровней определяет порядок И ДМ. При построении ИДМ возникает необходимость введения различных промежуточ ных, вспомогательных по своему назначению элементов, отобра жающих как промежуточные этапы в процедуре определения уровней и темпов, так и отдельные параметры (например, усред ненные величины, запаздывания и т.п.), влияющие на поведение моделируемой системы. Вспомогательные переменные обознача ются окружностью, и их вводят в модель по мере необходимости при построении ИДМ. Шаг моделирования - это интервал времени, через который вычисляются все параметры модели. Он обозначается DT\ мо мент, предшествующий настоящему, - L, расстояние между ними - /)Г(рис. 5). < ^ ^ .н^^!^ Ось ^ ^ времени Рис.5 На протяжении интервала ВТвсе переменные модели счита ются неизменными, определенными в момент времени J и прини- 215 мающими новые значения скачкообразно в момент времени К. Так как некоторые переменные (например, темп потока) харак теризуют принятие решений, интервал времени £) Г иногда назы вают интервалом принятия решений, т.е. имеется в виду, что ре шения, принятые в момент / (или К), определяют значения переменных, которые уже не меняются до момента К (или L). Аппарат имитационного динамического моделирования. Рас смотрим более подробно основные элементы, применяющиеся при построении И ДМ, их формальное описание и характеристи ки. Обозначения соответствуют общим обозначениям ИДМ. ^ • • ' ч^ г ^ ^ к А- 6 С ^ W LEV.X Рис.6 Контур пололсителъной обратной связи. Диаграмма потоков и уровней для элементарного одноуровневого контура положи тельной обратной связи приведена на рис. 6. Единственный по ток с темпом /?Г собирается в уровне LEV. Темп потока прямо пропорционален уровню, С - константа пропорциональности. В соответствии с приведенными правилами и обозначениями сис тема описывается уравнением LEV.K^ LEV.J+ DT- RT.JK, (1L), где LEV.К - величина уровня в момент К; LEV J - величина уровня в момент У; RT.JK - темп потока, вливающегося в уровень в течение интервала DT (от момента У до момента К). Цифра 1 в нумерации уравнения (1L) означает, что это пер вое уравнение, а буква L - что это уравнение уровня. Зададимся начальными условиями LEV=\. Уравнение темпа RT.KL = С' LEV.К, 216 с = 0,2, DT^ 1. Проведя численное моделирование, получим экспоненциаль ный рост уровня и темпа (поэтому контур положительной обрат ной связи иногда называют контуром экспоненциального роста). Темп постоянно увеличивается, так как он пропорционален уров ню. Приращение уровня на каждый интервал времени Z) Г также увеличивается, поскольку оно пропорционально темпу. Значения темпа и уровня экспоненциально растут (рис. 7). Рис.7 Аналитически эту систему можно описать следующим образом: LEV.K = LEV J + DT' RTJK или LEV.L = LEV,K+DT' RT.KL, HO RTJK = LEV J + DT^ RTJK, Подставляя это выражение в предыдущее, получаем LEV.K-LEVJ=CDT'LEVJ 111 и при DT-^ о имеем d(LEV{t)) = C'LEV(0'dt или d(LEV(0)/LEV(t) = C-dt. Заменяя / на т и интегрируя в пределах от нуля до Г, получим 1ЕУ{0) ^ ^ ^ ( ^ ) О Т.е. L£K(/) = L£'K(0)e^^ Кривая экспоненциального роста характеризуется временной постоянной Г= 1/Си временем удвоения Г^. Временная постоян ная - это время, за которое значение уровня увеличивается в е раз. Она показывает, как быстро происходит рост в системе с положительной обратной связью. Время удвоения Г^ - это вре мя, за которое начальное значение уровня увеличивается вдвое: Т^= Г ^ 2 = 0,69. Поведение системы с положительной обратной связью легко понять из графика зависимости темпа RTот уровня LEV (рис. 8). RT3 RT2 • 3 / 'Y iX ly^g) : lga = C = 1/Г • LE\/1 1ЕУ2 LEV3 LEV Рис.8 218 Любое начальное значение уровня LEVI, отличное от нуля, дает положительное значение темпа RTI (точка 7). За интервал времени Z)Г поток, величина которого определяется этим тем пом, вливается в уровень и увеличивает его значение до LEVI (точка 2). Но этому значению уровня соответствует темп RT2. За следующий интервал времени 7) Г уровень вновь увеличивается из-за влившегося в него потока с темпом RT2 и т.д. Таким образом, любое начальное возмущение системы с по ложительной обратной связью вызывает ее рост. В реально су ществующих системах рост длится до тех пор, пока система мо жет подавлять силы, замедляющие рост. Следовательно, в реальных системах, имеющих контуры положительной и других обратных связей, с течением врсхмени усиливается влияние конт ролирующих обратных связей так, что они подавляют экспонен циальный рост. Системы с отрицательной обратной связью. Их можно пред ставить как системы, стремящиеся к цели GL; при этом чем даль ше система от цели, тем большее усилие нужно приложить для ее достижения. Рассмотрим в общем виде элементарный контур от рицательной обратной связи, изображенный на рис. 9. ^ RT 2 Я Т 1 Г о- С GL о GL Рис.9 В отличие от контура положительной обратной связи здесь темп потока зависит от разности между фактическим и желае мым состояниями системы DISC. В нашем примере желаемое со стояние - цель - определяется экзогенно (извне). 219 Модель описывается следующими уравнениями: LEV.К = LEV J -^ DT' RTJK, где LEV - уровень (единиц); RT- темп (1/время); RT.KL^C- DISC.K, где С- константа пропорциональности, характеризующая чувствительность системы (1/время); DISC - разность между целью и уровнем; DISC.K=^GL-LEV.K. Для понимания поведения системы рассмотрим график «темп - уровень» (рис. 10). Начальному значению уровня LEVI (точка 7 на графике) соответствует большое значение темпа RT\. По ток, темп которого равен RT\, вливаясь в уровень в течение ин тервала времени DT, увеличивает его до значения LEV2 (точка 2 на графике). Этому уровню соответствует темп RT2. В следую щий интервал времени /) Г уровень возрастает на меньшую вели чину, так как RT2 < RTI, и достигает значения LEV3 (точка 3 на графике). Этому уровню соответствует темп /?73 и т.д. По мере приближения уровня к цели GL его приращения за каждый сле дующий интервал времени Z) Г будут все меньше и меньше. Хотя теоретически они никогда не будут равны нулю, но практически при LEV-GL можно считать LEV-GL и RT=0, т.е. система дос тигнет устойчивого состояния (цели) и останется в нем. Что про изойдет, если систему вывести из этого состояния? Пусть в ре зультате какого-то внешнего воздействия уровень увеличится до значения LEV4 (точка 4 на графике). Этому значению соответствует поток с темпом RT4, причем темп отрицательный, т.е. имеет место поток, исходящий из уровня. В результате за время £)Г уровень уменьшится на какую-то величину и будет уменьшаться до тех пор, пока система вновь не достигнет равновесия в точке GL, Выведем аналитический вид уравнения для LEV{t)\ LEV.K = LEV J 4- DT' RTJK; LEV.K-LEVJ = DT' С - (GL - LEV.J). 220 RT i RT^ RT2 RTZ RT4 i LEV^ Х^г LEV2 ^ 4 ^ L E V 3 ^ ^ LEV4 4 ^ ^ LEV Рис. 10 При /)Г—> О получим d(LEV(t)) •C'dt. GL-LEV(t) Меняя г на т и интегрируя в пределах от О до t, имеем: . LEV{t) = GL + (LEViO) ~GL)'Q "^^; LEViO) + {GL - LEVrn • (1-е "^0- График поведения элементов контура отрицательной обрат ной связи во времени представлен на рис. И. Характеристикой поведения такого контура является времен ная постоянная Т = 1/С. За время, равное Г, уровень увеличива ется на (1-1/е) разности между целью GL и достигнутым значени ем уровня (см. рис. 11): 0,632(GL''LEV(T)) Рис. 11 221 LEV(T) = LEV(0) + iGL-LEV(0) • (1-е ^) - - LEV{0)-^-0fi632{GL-LEV{0)). 3a время 3 Г значение уровня приблизительно равно 0,95GL, т.е. за это время система с отрицательной обратной связью при мерно достигает своей цели. Характер поведения контура отрицательной обратной связи зависит от величины цели и начального значения уровня. Приве денный на рис. 11 график справедлив для случая, когда GL > LEV{0)\ если GL < LEV(0), то график будет иметь вид, показан ный на рис. 12. RT, LEV LEV GL Рис. 12 Когда GL=0, вид контура причинно-следственных связей и диаграмма «поток-уровень» меняются (рис. 13). LEV ш) RT + ^' Ъ<^ RT 2,R 4 '•0 с W LEVX 1.L ч Рис. 13 Эта система описывается следующими уравнениями: LEV.K = LEV J + DT' RT.JK\ 222 RT.KL^-C' LEV.K, Графики «темп-уровень» и зависимости темпа и уровня от вре мени для такой системы приведены на рис. 14. RTJL Рис. 14 Аналитическое уравнение уровня для данного случая имеет вид LEV{t) = LEVm ' Q~^^ = LEV{0) • e-'^^, где Т~ временная постоянная. За время Г уровень уменьшается в у раз от начального зна чения. Кроме временной постоянной такая система характеризуется временем полужизни Tj^ - это время, за которое начальное значе ние уровня уменьшается вдвое, т.е. LEV{T,) = -LEV{0) Рассмотрим теперь систему с отрицательной обратной свя зью, имеющую дополнительный постоянный поток с темпом R Т2, на который система не может оказать влияние. Диаграмма потоков и уровней для этого случая приведена на рис. 15. Система описывается следующими уравнениями: 223 RT2 4,R LEV ^.L\ CONST ZR hf— о CL Рис. 15 LEV.K = LEV J + DT- (RTIJK + RT2JK); RT\.KL = CDISC.K; RT2.KL= CONST; DISK.K=GL-LEV.K. Проанализируем поведение такой системы с помощью гра фика «темп-уровень» (рис. 16). Линия а (RTI) дает график для системы без RT2. Линия b {RTI) соответствует постоянному вхо дящему потоку 7?72. Линия с (чистый темп NTRT) соответствует нашей системе, в которой темп равен сумме RTI и RT2. RT '"•••.... NTRT LRri* •••.... GL ^ ^ RT2 ••.. NGL 1 • • - * ... a . . ^ LEV ' с Рис. 16 224 Предположим, что входящий поток RT2 начинает действо вать, когда значение уровня равно целевому. Уровень увеличи вается до значения LEVI, что вызывает исходящий поток RT\, так как LEV\>GL. Однако темп RT\, соответствующий LEVI, по абсолютному значению меньше Л 77, т.е. суммарный темп двух потоков будет больше нуля; в результате этого уровень возрас тает до LEVI и т.д. Так будет продолжаться до тех пор, пока темп исходящего потока RT\ не сравняется с темпом входящего пото ка RT1. Это произойдет, когда уровень достигнет значения но вой цели yVGL, т.е. NGL = GL + {MQ-RTl. Это будет новое равновесие состояния системы. Очевидно, что в данном случае система с отрицательной обратной связью ком пенсирует входящий постоянный поток при достижении нового равновесного уровня (отличного от прежнего), такого, что соот ветствующий ему исходящий поток, определяемый системой, ра вен по величине входящему. Структура S-образного роста. Общий вид кривой б'-образ- ного роста, называемой также логистической (или сигмоидаль- ной), показан на рис. 17. Кривая разбивается на две области: экс поненциального роста (типичную для положительной обратной связи) и асимптотического роста (типичную для отрицательной обратной связи). I X о IS 0) Q. О А О -0 с I о л ^ с: О со Асимптотический рост • Рис. 17 Характерным примером ^-образного роста является рост чис ленности биологических популяций на замкнутой территории или рост производительности однотипного оборудования по мере его 225 модернизации. Рост такого вида означает, что в системе вначале действует положительная, а затем - отрицательная обратная связь. Диаграмма потока и уровни элементарной структуры 5-06- разного роста приведена на рис. 18. ^ RT 2.R LEV 1,L {RTV\ Рис. 18 Поведение 5-образного характера в данном случае обеспечи вается специальным способом определения темпа. Величина тем па задается таблично в зависимости от значения уровня LEV. График «темп-уровень», обеспечивающий ^-образный рост (рис. 19), состоит из двух частей: прямой с положительным наклоном (типичная положительная обратная связь) и прямой с отрицатель ным наклоном (типичная отрицательная обратная связь). Внача ле (до точки перегиба) уровень и темп растут экспоненциально, т.е. как в системе с положительной обратной связью. После точ ки перегиба темп (хотя и остается сначала положительным) умень шается по абсолютной величине с ростом уровня. В итоге кривая роста начинает загибаться, асимптотически приближаясь к зна чению цели. Если значение уровня превысит значение цели, по является отрицательный поток, возвращающий систему в состо яние равновесия (к значению LEV = GL). Вообще говоря, структура ^-образного роста имеет две точки равновесия. Пер вая (при LEV = 0) - точка неустойчивого равновесия, так как любое отклонение уровня от нуля усиливается в силу того, что здесь действует положительная обратная связь. Вторая (при LEV - GL) - точка устойчивого равновесия, так как здесь откло нение уровня от цели в силу действия отрицательной обратной связи подавляется. 226 Область асимптотического роста LEV Рис. 19 Приведенная на рис. 18 система описывается следующими уравнениями: LEV.К = LEV J +DT' RTJK; RT.KL = RTV.K; RTV.К = TABLE(RTT, LEV.K, X^, X,^, AX); RTT^ yr,/.../r,^. Уравнение /?ГКозначает, что /?Появляется табличной функ цией LEV, которая меняется в пределах от Х^ло Х^^ через АХ Соб ственно значения RTV приводятся в виде таблицы RTT, содер жащей последовательность значений К, где Y^ - значение RTV U^MLEV^ Х^, Y^ = RTVпри LEV =Х^, ..., Y^^ = RTVпри LEV = - X^j. Временная зависимость уровня и темпа приведена на рис. 20. Рис. 20 227 Необходимо отметить, что любая одноуровневая система, имеющая график «темп-уровень» с изменяющимся знаком накло на, показывает 5-образный рост. Запаздывания. В реальных системах всегда возникают запаз дывания, связанные с тем, что любое принимаемое решение реа лизовать мгновенно невозможно, а также с тем, что все процессы в природе, обществе, производстве и т.д. инерционны. Напри мер, от принятия решения о строительстве предприятия до его ввода в строй проходит определенное время, какое-то время про ходит и до выпуска первой продукции этим предприятием, ее пе ревозки к потребителям и т.п. Для отображения этих явлений в ИДМ вводятся специальные элементы запаздывания, упрощен но учитывающие такие процессы. Смысл запаздывания состоит в том, что любой входящий поток появляется на выходе не сразу, а через некоторое время. Графически это можно изобразить так, как показано на рис. 21. ^ о h- о с >s S 3" Оч ст о X со ,1 • 1 ,* 1 1 ; 1 1 ^ 1 1 ..* 1 Выходящий поток I 1 1 1 1 1 1 1 — ^ -10 -5 О 5 10 15 20 25 t о 3" & о X CQ г'' / Выходящий поток /* -^-^ • Рис. 21 В терминах ИДМ запаздывания изображаются так, как пока зано на рис. 22. В сжатой форме их можно представить в виде рис. 23. ^ < ^ » | LEVAI ^<^>\ LEV.2\ Ъ < Н IN RT^ OUT о* С о* С Рис. 22 228 IN - ^ LEV e DEL f D2 OUT w Рис. 23 Запаздывание описывается следующими уравнениями: DEL/2 LEV1.K = LEV\.J + DT- (INJK-RTl.JK); OUT.KL = b^^^; DEL/2 LEV2.K = LEV2.J + DT - (RTIJK- OUTJK). (1) (2) (3) (4) Общее количество потока материальных ресурсов, переме щающееся в запаздывании, составляет LEV.K = LEVI.К + LEV2.K = LEV J + DT • (INJK- OUTJK). (5) Уравнения (l)-(4) в сжатой форме записываются следующим образом: OUT.KL = DELA Y2{IN.J K.DEL). (6) Обозначения запаздывания на рис. 22 и 23 расшифровывают ся так: IN - входящий в запаздывание поток; LEV - общее коли чество потока, находящееся в запаздывании, оно описывается уравнением (5); DEL - общее время запаздывания, за которое тем пы входящего и выходящего потоков сравниваются, а количество материальных ресурсов, находящееся в запаздывании, становит ся постоянным; D2 - запаздывание второго порядка, то есть име ющее внутри себя два промежуточных уровня. Это же обознача ет и индекс 2 в уравнении OUT\ OUT.KL - выходящий из запаздывания поток, описываемый уравнением (6). 229 Приведенные уравнения описывают запаздывание второго порядка. При запаздывании другого порядка число уравнений изменится. Например, для запаздывания третьего порядка будет не четыре, а шесть промежуточных уравнений, а также общие уравнения для OUT vi LEV, т.е. всего восемь уравнений; для за паздывания четвертого порядка - десять и т.д. При этом в уравне ниях темпов в знаменателе будет стоять соответственно DEL/3, DELIA и т.д. Фактически запаздывание п-то порядка представля ет собой п последовательно соединенных запаздываний первого порядка, или пакет п уравнений. Кроме описанных элементов ИДМ имеются еще и такие, как усреднения, с различными типами которых, а также с различны ми модификациями описанных выше базовых элементов можно более детально ознакомиться в [2, 3, 4].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ИМИТАЦИОННОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
