Завдання транспортного типу у вирішенні виробничих проблем
Діяльність операційного менеджера передбачає також розгляд широкого кола завдань виробничого й економічного спрямування. Математична постановка і методи розв’язання їх цілком збігаються зі способами вирішення транспортного завдання. Розглянемо деякі сфери, де операційні менеджери можуть повноцінно використовувати їх. Це докладно подається Б. Лисициним [7] і його колегами. Ознайомимося з деякими аспектами з [7]. А. Відкрита модель транспортного завдання. Подамо деякі узагальнення транспортного завдання. Наприклад, наявна кількість продукту перевищує потреби:
∑ i=1
m
ai >
∑bj . j=1
n
(7.22)
У цьому випадку розглядається відкрита модель транспортного завдання на відміну від закритої. Причому стандартна система рівнянь замінюється нерівністю
∑ xij ≤ j=1
n
ai , i = 1, 2, …, m…
(7.23)
Відкрита модель зводиться до закритої, завдяки чому можна застосувати всі методи її, у тому числі і метод потенціалів. Введемо (n + 1)-й фіктивний пункт споживання Bn+1, для якого приймаємо Bn+1 =
∑ i=1
m
ai –
∑bj . j=1
n
(7.24)
Вартість перевезення з кожного пункту відправлення у фіктивний пункт дорівнюватиме 0. 385
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Будь-який припустимий план вирішення відкритого завдання визначає кількість продукту, що залишається в кожному пункті відправлення. Якщо будемо вважати, що загалом кількість його вивозиться у фіктивний пункт, то одержимо припустиме вирішення закритого завдання. Точно так довільний план замкнутої моделі визначає кількість продукту, що вивозиться у фіктивний пункт із кожного пункту відправлення. Ліквідуємо фіктивний пункт і зазначену кількість вантажу залишимо в пунктах відправлення; у підсумку одержимо відкритий план завдання. Будь-яка пара відповідних планів відкритого і закритого завдання має однакову вартість, бо вартість перевезення у фіктивний пункт дорівнює 0. Отже, для одержання оптимального плану відкритого завдання необхідно ввести фіктивний пункт призначення, вирішити відповідне закрите завдання, а вантажі, призначені для перевезення у фіктивний пункт, залишити в пунктах відправлення. Відкрита модель транспортного завдання може бути застосована для обчислення необхідних запасів у пунктах відправлення. Оптимальний план установлює, з яких саме пунктів та який обсяг вантажів доцільно вивозити. В багатьох випадках виявляється, що кількість продукту, що вивозиться з деяких пунктів відправлення, відповідно до оптимального плану дорівнює 0. Це означає, що використання даних пунктів у транспортній мережі з позицій мінімальної вартості перевезень недоцільне. Б. Заборона перевезень. Ще одним різновидом транспортного завдання є випадок, коли сумарна потреба перевищує сумарні запаси продукту. Тут вводиться фіктивний пункт відправлення Am+1 з обсягом продукту аm+1 = 386
∑
n
bj –
j=1
∑ ai . i=1
m
(7.25)
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
Вартість перевезень з фіктивного пункту в місця призначення, потреби яких є вищими, встановлюється значно більшою щодо кожної вартості перевезення за розв’язуваним завданням. Таким чином результат складеного в такий спосіб закритого транспортного завдання дає змогу скласти план перевезень, за яким постачання в пункти з пріоритетом на одержання продукту будуть здійснюватися з реальних пунктів відправлення. Оптимальний план вирішення заданого відкритого завдання може бути отриманий як вирішення закритого завдання виключенням перевезень з фіктивного пункту відправлення. Цей прийом називається «прийомом заборони перевезень», або «блокуванням клітинок». В. Завдання оптимального закріплення за верстатами операцій по обробці деталей. Умова: підприємство має m видів верстатів, максимальний час роботи яких відповідно складає ai(i = 1, 2, …, m) годин. Кожний з них може виконувати n видів операцій. Сумарний час виконання кожної операції відповідно bj(j = 1, 2, …, n) годин. Продуктивність i-го верстата за виконання j-й операції дорівнює cij деталей за годину. Потрібно визначити, скільки часу хij має працювати i-й верстат, виконуючи j-ту операцію (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), щоб обробити максимальну кількість деталей: z=
∑∑ cij xij = max. i=1 j=1
m
n
(7.26)
Завдання зводиться до закритої моделі, якщо всі коефіцієнти cij помножити на –1 і знайти мінімальне значення виразу (7.26) для цільової функції z. Г. Завдання вибору. Припускаємо, що є n видів робіт, які варто розподілити між n виконавцями, причому кожний з них має виконувати тільки один вид роботи. Ефективність виконання j-ї роботи i-м виконавцем cij (за довільних одиниць). 387
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Потрібно окреслити характер розподілу видів робіт між виконавцями таким чином, аби сумарна ефективність була найбільшою. Оскільки число виконавців дорівнює кількості видів робіт і кожний з виконавців може забезпечувати тільки один вид робіт, величини xij дорівнюють тільки двом значенням: одиниці, якщо i-й виконавець призначається для виконання j-ї роботи, або нулю, якщо i-й виконавець не призначається для виконання j-ї роботи. Тому
∑ i=1
n
xij = 1
∑ xij =1. За призначення i-ї особи на j=1
n
j-ту роботу ефект виражається величиною cij xij. Дане завдання формулюємо так. Слід знайти значення xij, що відповідають рівнянням
∑ xij =1, i = 1, 2, …, n; i=1 n
n
(7.27)
∑ xij =1, j = 1, 2, …, n, j=1
обмеженням на знак xij = 0; i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n і відповідному максимальному значенню цільової функції z =
∑∑ cij xij. i=1 j=1
n
n
(7.28)
Цю умову можна подати у виді, що відповідає закритому транспортному завданню, якщо знайти у разі додержання умов (7.27) і обмежень на знак значення перемінних xij, що утворять z’ = 388
∑∑ (–cij ) xij. i=1 j=1
n
n
(7.29)
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
Д. Завдання розподілу заяв між каналами обслуговування. Таке завдання має саме широке застосування. Нехай існує n типів каналів обслуговування Вj (j = 1, 2, …, n) і m різних класів Аi заяв (i = 1, 2, …, m). Вартість обслуговування заяви i-го класу каналом обслуговування j-го типу складає величину cij. Необхідно знайти оптимальний план обслуговування, що забезпечить мінімальну його вартість. Величина cij може являти час обслуговування заяви i-го типу каналом j-го типу. У цьому випадку мета — побудова оптимального плану, що забезпечує мінімальний сумарний час обслуговування. Зазначена модель широко застосовується для оптимальної організації роботи в промисловості, на транспорті, у торговельній мережі, на підприємствах суспільного харчування. 7.2.6 Нелінійне і динамічне програмування в операційному менеджменті Операційним менеджерам практично досить часто доводиться зустрічатися з завданнями нелінійного програмування, до яких зазвичай відносять завдання виду f(x1, x2, …, xn) → max за обмежень pk(x1, x2, …, xn) = 0; gj(x1, x2, …, xn) = 0, (7...31) де k = 1, 2, …, К — обмеження – рівності; j = 1, 2, …, m — обмеження – нерівності. Функції f(xi), pk(xi), gj(xi) — це дійсні нелінійні функції дійсних перемінних. При цьому може вирішуватися як завдання максимізації цільової функції, так і її мінімізації, а обмеження можуть бути у формі нерівностей, що містять як знак ≤, так і ≥. 389
(7...30)
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Як один з найбільш простих прикладів завдань нелінійного програмування розглянемо один з різновидів транспортного завдання, коли вартість cij перевезення вантажу від пункту Аi до пункту Вj залежить від обсягів хij вантажу, перевезеного за цим маршрутом. Нехай така залежність носить лінійний характер і cij = kij xij + c’ij. (7.32) Тоді загальна вартість перевезення хij одиниць вантажу від Аi до Вj складає cij xij = (kij xij + c’ij) xij = kij x2ij + c’ij xij, а цільова функція z= m n
(7.33)
∑∑ ( kij x2ij + c’ij xij). i=1 j=1
(7.34)
Обмеження, які у випадку закритого транспортного завдання подаємо системою нерівностей
∑ xij = j=1
n
ai ,
i = 1, 2, …, m;
(7.35)
∑ xij = b j , i=1
m
j = 1, 2, …, n.
(7.36)
Таким чином у даному випадку нелінійність завдання породжена тим, що пошукувані перемінні xij входять до цільової функції не тільки на першому, але і на другому ступені. За більш складних взаємозв’язків між сij і xij вираз для z ускладнюється. У загальному випадку z = 390
∑∑ϕij (xij ), i=1 j=1
m
n
(7.37)
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
де ϕij — задані нелінійні функції одного аргументу. Це нелінійний тип транспортного завдання. Якщо нелінійні функції пошукаваних перемінних входять не тільки до виразу для цільової функції, але й до обмежень, то процес ще більше ускладнюється. На основі апарата вирішення завдань лінійного програмування в ряді випадків розроблені рішення так званих класичних завдань оптимізації, де система обмежень включає тільки рівняння, а умови незаперечності і «цілочисленності» перемінних відсутні, функції ж, що входять в обмеження, як і цільова функція, неперервні і мають похідні, принаймні, до другого порядку включно. Прикладами завдань, що вимагають використання методів нелінійного програмування, можуть бути вирішення проблем: N створення бензинових сумішей, де є нелінійне обмеження на октанове число пального; N підбору інгредієнтів легких олій, де також існує нелінійне обмеження на основні вихідних властивостей продукту; N керування виробництвом деяких особливих категорій, наприклад, металургійних комбінатів; N керування виторгом від реалізації продукції; N визначення рівня страхових запасів і керування ними. В усіх цих завданнях лінійного і нелінійного програмування розглядалися випадки, коли ні вихідні дані, ні пошукувані величини не залежали від часу. У таких задачах оптимальний план визначається для одного етапу планування; тому вони одержали назву одноетапних, або однокрокових. Розглянемо завдання динамічного програмування. Динамічне програмування — розділ математичного програмування, у межах якого вивчаються багатокрокові процеси пошуку рішень. У ході реалізації динамічного програмування визначається ряд рішень, що забезпечують оптимальний розвиток усього досліджуваного процесу, що залежить від часу, загалом. 391
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Головна ідея методу динамічного програмування полягає в тому, що пошук точок оптимальних рішень цільової функції багатьох перемінних замінюють багаторазовим пошуком точок екстремуму одної перемінної або невеликого числа їх. Тому процес вирішення багатьох завдань математичного програмування може бути спрощений, якщо розгорнути процес поетапно. З огляду на зазначене, дамо більш точне формулювання: динамічне програмування є поетапним плануванням багатокрокового процесу ухвалення рішення, коли на кожному етапі оптимізують виключно один крок. Процес економічного розвитку називають керованим, якщо можна впливати на хід його розвитку. Керування — сукупність рішень, прийнятих на кожному етапі з урахуванням стану системи і сформульованої кінцевої мети. У загальному вигляді завдання динамічного програмування може бути подано як: керована система S знаходиться в початковому стані S0. Протягом певного проміжку часу стан системи змінюється, наприкінці спостерігається стан Sk. Необхідно так організувати процес функціонування системи, аби заданий чисельний критерій W досяг оптимального значення. Наприклад, до початку розглянутого періоду на автотранспортному підприємстві налічуються визначене число автомобілів, система технічного обслуговування, фінансування, зокрема, фонд заробітної плати тощо. Впродовж заданого проміжку часу потрібно забезпечити максимальний обсяг вантажів, що перевозяться автомобілями підприємства. У разі застосування динамічного програмування заданий проміжок розподіляється на етапи, на кожному з яких передбачається ряд заходів, таких, як своєчасний ремонт автомобілів, заміна зношених машин новими тощо. Планування цих заходів має забезпечити максимальний обсяг перевезень за весь період. 392
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
Розглянуті в даному розділі методи математичного програмування не є єдиними й обов’язковими в прийнятті рішень в операційному менеджменті. На сьогоднішній день у спеціальній літературі математичної й економічної спрямованості викладене досить велике число методів, що використовують найрізноманітніші підходи і математичний апарат, що можуть і повинні застосовуватися операційними менеджерами у своїй практичній діяльності.
7.3 Приклади вирішення ситуаційних завдань Для відпрацьовування навичок розв’язання операційних завдань різної проблематики, де є необхідність формалізації через подання математичних операційних моделей, розглянемо ряд умов прикладного плану. Вони стосуються загальних проблем різних видів операційних систем — виробничих, освітніх, банківських, з якими в більшості випадків зустрічаються операційні менеджери у практичній діяльності. Головним чином всі ці завдання спрямовані на коригування й оптимізацію функціонування операційних систем за окремими показниками з метою підтримки високої ефективності та досягнення максимально можливого прибутку організації. Приклад 1. Цегельний завод спеціалізується на виготовленні будівельної цегли трьох видів: червона оздоблювальна, біла силікатна звичайна і червона звичайна. Відповідно до звітної документації заводу прибутковість кожного виду продукції складає, грн./тис.шт.: цегла червона оздоблювальна цегла біла силікатна звичайна цегла червона звичайна 240 150 100 393
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Таблиця 7.1 Витрати праці і сировинних ресурсів на кожну тисячу одиниць продукції залежно від її виду Цегла червона оздоблювальна Витрати праці, год/тис. шт. робітників службовців Витрати сировини, т/тис. шт. Цегла біла силікатна звичайна Цегла червона звичайна
1,0 2,0 1,0
1,0 2,0 0,4
1,0 6,0 0,5
Виробничі потужності, структура цегельного заводу і чисельність штату такі, що впродовж робочого дня можна використовувати 100 годин праці робітників, 300 годин праці керівників (службовців) і 60 т сировини. Операційному менеджерові поставлено завдання: визначити для заданих умов, за яких працює виробнича операційна система, оптимальну виробничу програму з подальшою оптимізацією усього виробничого процесу. Рішення. Цегельний завод вважається виробничою операційною системою, що є центральною ланкою даного підприємства з виробництва цегли. З умов завдання виходить, що входом даної системи є праця робітників і керівників, а також сировина, а виходом — готова продукція (цегла). Менеджер може вдаватися до операційної моделі, що фактично формалізує функціонування виробничої операційної системи у заданих умовах. Але, перш ніж будувати операційну модель, йому слід визначити параметри ситуаційного завдання, що оптимізується, як перший крок його вирішення. Для даного прикладу це такі параметри: 394
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
х1 — кількість червоної оздоблювальної цегли, яка щодня випускається, тис. шт.; х2 — кількість білої силікатної звичайної цегли, яка щодня випускається, тис. шт.; х3 — кількість червоної звичайної цегли, яка щодня випускається, тис. шт. Другий крок вирішення полягає у складанні якісної моделі ситуаційного завдання. Застосовано словесне послідовне подання всіх основних вимог вирішуваного завдання. 1. Чисельність штату робітників заводу така, що у разі випуску усіх видів цегли протягом робочого дня не може бути використано більше 100 годин їхньої праці. 2. Чисельність штату службовців на заводі така, що за випуску усіх видів цегли протягом робочого дня не може бути використано більше 300 годин управлінської праці. 3. Виробничі потужності цегельного заводу такі, що протягом робочого дня можна використовувати не більше 60 т сировини. Параметри х1, х2, х3, що оптимізуються мають відповідати перерахованим вимогам, забезпечуючи максимальний сумарний прибуток, що відповідно до вимог завдання визначимо як цільову проектну функцію. Третій крок вирішення завдання складається в математичному поданні кожної з вимог. 1. Сумарні витрати фізичної праці за умови виробництва трьох видів цегли х1, х2, х3 (тис. шт.) не можуть перевищувати 100 годин: 1,0 Ч х1 + 1,0 Ч х2 + 1,0 Ч х3 = 100. 2. Сумарні витрати управлінської праці за умови виготовлення трьох видів цегли х1, х2, х3 (тис. шт.) не можуть перевищувати 300 годин: 2,0 Ч х1 + 2,0 Ч х2 + 6,0 Ч х3 = 300. 395
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
3. Сумарні витрати сировини за умови виготовлення трьох видів цегли х1, х2, х3 (тис. шт.) не можуть перевищувати 60 т: 1,0 Ч х1 + 0,4 Ч х2 + 0,6 Ч х3 = 60. Відповідно до основної мети ситуаційного завдання будемо формалізувати цільову функцію Ф, що відбиває сумарний прибуток заводу від виробленої продукції: Ф = 240 Ч х1 + 150 Ч х2 + 100 Ч х3. Для коректності формалізації ситуаційного завдання щодо всіх перерахованих вимог варто включити таку вимогу незаперечності всіх оптимізованих параметрів х1 – х3, оскільки обсяги виробництва продукції не можуть бути негативними: х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0. Сформалізовано цільова функція Ф и система обмежень складають математичну модель ситуаційного завдання. Дана математична модель формалізує проектне завдання у вигляді завдання математичного програмування — пошук екстремального значення цільової функції Ф серед численності її можливих значень, обумовлених деякими обмеженнями, заданими системою лінійно залежних нерівностей (рівностей): Ф = 240 Ч х1 + 150 Ч х2 + 100 Ч х3, х1 + х2 + х3 = 100, 2х1 + 2х2 + 6х3 = 300, х1 + 0,4х2 + 0,5х3 = 60, х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0. Розв’язавши систему нерівностей, одержимо наступний результат, що визначає оптимальні параметри виробничої програми виробництва цегли: N червоної оздоблювальної х1 = 29,17 тис. шт.; N білої силікатної звичайної х2 = 45,83 тис. шт.; N червоної звичайної х3 = 25 тис. шт. 396
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
Причому прибуток заводу складе Ф = 16,3753 тис. грн. За умови максимізації цільової функції (Ф → max) підприємство буде виходити лише зі своїх можливостей і зиску, а не з огляду на суспільні потреби у вигляді мінімально необхідної кількості цегли певного виду. Тоді можна вирішувати завдання за допомогою комп’ютера, використавши обчислювальний пакет MERCURY. Одержимо наступне: N виробництво червоної оздоблювальної цегли х1 = 33,3 тис. шт.; N виробництво білої силікатної звичайної цегли х2 = 66,7 тис. шт.; N виробництво червоної звичайної цегли не є рентабельним, тобто х3 = 0. Цегельний завод матиме максимальний прибуток, що складе Фmax = 17,997 тис. грн., що на 1,6217 тис. грн. більше, ніж за оптимального випуску всіх трьох видів цегли, тобто за можливого максимального обліку потреб споживача. Таким чином операційний менеджер, одержавши два крайніх оптимальних рішення ситуаційного завдання, має прийняти найбільш придатну альтернативу для наявної або запроектованої виробничої операційної системи. У разі його ухвалення операційний менеджер має враховувати, що в цій системі чітко реалізується операційна функція, тобто сукупність дій щодо переробки ресурсів, одержуваних із зовнішнього середовища, і видачі результатів (продукції + послуг) у зовнішнє середовище (дана обставина повинна особливим чином обумовлюватися при підбитті підсумку вирішення ситуаційного завдання такого типу). Приклад 2. Цегельний завод випускає три види цегли: червона оздоблювальна, біла силікатна звичайна і червона звичайна. Відповідно до звітної документації заводу прибутковість за випуск одиниці продукції складає, грн./шт.: цегла червона оздоблювальна цегла біла силікатна звичайна цегла червона звичайна 10 8 20 397
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Таблиця 7.2 Витрати сировини на виробництво одиниці продукції Цегла червона оздоблювальна Витрати сировини на випуск одиниці продукції, одиниць А В С Цегла біла силікатна звичайна Цегла червона звичайна
0,8 0,6 2,0
1,4 2,0 0,42
2,0 1,0 0,0
Витрати сировинних ресурсів на випуск одиниці продукції залежно від її виду наведені в табл. 7.2. Таким чином у наявності маються наступні запаси категорій сировини, одиниць: А = 200; В = 100; С = 400. Операційному менеджерові поставлено завдання: визначити число одиниць продукції зазначених типів, у разі випуску яких заводові забезпечується максимальний прибуток. Рішення. Вирішення завдання аналогічне попередньому. Перший крок: виділяємо оптимізаційні параметри х1 — обсяг виробленої цегли червоної оздоблювальної, од.; х2 — обсяг виробленої цегли білої силікатної звичайної, од.; х3 — обсяг виробленої цегли червоної звичайної, од. Якісна модель ситуаційного завдання подається так: 1. Запаси сировини категорії А такі, що у разі виготовлення всіх трьох типів продукції можна використовувати не більше 200 одиниць. 2. Запаси сировини категорії В такі, що у разі виготовлення всіх трьох типів продукції можна використовувати не більше 100 одиниць. 3. Запаси сировини категорії С такі, що у разі виготовлення всіх трьох типів продукції можна використовувати не більше 400 одиниць. 398
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
1)
Математично кожна з вимог подається так: сумарні витрати сировини категорії А у разі виготовлення всіх трьох типів продукції х1, х2, х3 (од.) не можуть перевищувати 200 одиниць: 0,8 Ч х1 + 1,4 Ч х2 + 2,0 Ч х3 = 200;
2)
сумарні витрати сировини категорії В у разі виготовлення двох видів продукції х1 і х3 (од.) не можуть перевищувати 100 одиниць: 0,6 Ч х1 + 0 Ч х2 + 2,0 Ч х3 = 100;
3)
сумарні витрати сировини категорії С у разі виготовлення двох видів продукції х1 і х2 (од.) не можуть перевищувати 400 одиниць: 1,2 Ч х1 + 1,0 Ч х2 + 0 Ч х3 = 400.
Накладаємо обмеження на знак — обсяги продукції, що випускається, не можуть бути негативними числами, тобто х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0. Цільова функція Ф, що відбиває сумарний прибуток, запишеться як Ф = 10 Ч х1 + 8 Ч х2 + 20 Ч х3. Таким чином отримана математична модель, що складається з цільової функції і системи обмежень, що формалізує нашу ситуацію (проблему) у вигляді завдання лінійного математичного програмування: Ф = 10 Ч х1 + 8 Ч х2 + 20 Ч х3 → max 0,8х1 + 1,4х2 + 2х3 ≤ 200, 0,6х1 + 2х3 = 100, 399
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
1,2х1 + х2 = 400, х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0. Для вирішення завдання лінійного програмування застосуємо симплекс-метод. Розглянемо цільову функцію Ф = –Ф* і зведемо умову до мінімізації значення перемінної Ф = –10 · х1 – 8 · х2 – 20 · х3. За допомогою додаткових перемінних х4, х5, х6, для яких також дотримується вимога незаперечності (х4 ≥ 0, х5 ≥ 0, х6 ≥ 0), приведемо завдання до стандартного виду. Для цього обернемо систему нерівностей у канонічну систему рівнянь: х4 + 0,8х1 + 1,4х2 + 2х3 = 200; х5 + 0,6х1 + 2х3 = 100; х6 + 1,2х1 + х2 = 400. Одержавши канонічну систему рівнянь, усю гаму перемінних х1 – х6 розподілимо на базисні (х4, х5, х6) і небазисні (х1, х2, х3). Результати даної процедури оформимо у вигляді симплекс-матриці (табл. 7.3). Таблиця 7.3 Симплекс-таблиця базисних і небазисних перемінних Базисні перемінні Вільний член BI’ у правій частині Коефіцієнти ДІ за небазисних перемінних рівняння
х1 х2 х3 Ф 400
200 100 400 0
х1 0,8 0,6 1,2 –20
х2 1,4 0 1 –10
х3 2 2 0 –8
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
Далі приймаємо, що небазисні перемінні дорівнюють нулю, й одержуємо перше базисне рішення: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 200, х5 = 100, х6 = 400,
яке, мабуть, є опорним і йому відповідає значення цільової функції Ф = 0. Але, оскільки у виразі Ф = –10х1 – 8х2 – 20х3 є негативні коефіцієнти (–10; –8; –20), то дане опорне рішення не є оптимальним. Таким чином переходимо до другого етапу вирішення завдання, для якого характерне те, що позабазисну перемінну х3 (коефіцієнт у виразі для Ф — найбільший за модулем) приводимо до базисної. У стовпці коефіцієнтів при х3 знаходимо рядок, у якому позитивне відношення вільного члена Bi’ до коефіцієнта за х3 є найменшим. Цю умову задовольняє другий рядок: В2 I 100 = = 50 . Д 23 2
Виходить, коефіцієнт Д23 і другий рядок приймаємо як такі, що дозволені. Таким чином одержуємо нову симплекс-таблицю (табл. 7.4). Друге опорне рішення х1 = 0; х2 = 0; х3 = 50; х4 = 100; х5 = 0; х6 = 400. Значення цільової функції знизилося до Ф = –1000, однак оптимальне рішення не досягнуте, тому що у вираз для Ф входять два негативних коефіцієнти. На третьому кроці в базисні переводимо перемінну х2, а як такі, що дозволені, приймаємо перший рядок і коефіцієнт а 12. Будуємо симплекс-таблицю третього кроку (табл. 7.5). 401
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Таблиця 7.4 Симплекс-таблиця базисних і небазисних перемінних Базисні перемінні Вільний член BI’ у правій частині Коефіцієнти ДІ за небазисних перемінних рівняння
х1 х2 х3 Ф
100 50 400 –1000
х1 0,2 0,3 1,2 –4
х2 1,4 0 1 –8
х3 –1 0,5 0 –10
Одержуємо нове значення Ф = –1571,44, але через те, що коефіцієнт за х1 у виразі для Ф є негативним (–2,856), реалізуємо четвертий крок симплекс-методу. Симплекс-таблиця четвертого кроку має інший зміст (табл. 7.6). Для четвертого кроку опорним рішенням є: х1 = 166,7; х2 = 47,61; х3 = 0; х4 = 0; х5 = 0; х6 = 152,4. Оскільки всі перемінні відповідають заданим обмеженням, коефіцієнти при них у виразі для Ф є ненегативними величинами, дане рішення є оптимальним.
Таблиця 7.5 Симплекс-таблиця базисних і небазисних перемінних Базисні перемінні Вільний член BI’ у правій частині Коефіцієнти ДІ за небазисних перемінних рівняння
х1 х2 х3 Ф 402
71,43 50 328,61 –1571,44
х1 0,1429 0,3 1,057 –2,856
х2 0,7143 0,5 0,7143 5,714
х3 –1 0,5 0 4,286
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
Таким чином максимальний прибуток Ф’ = –Ф = 2048 грн. може бути отриманий за випуску 166,7 одиниці продукції першого типу і 47,61 одиниці продукції другого типу (зрозуміло, у разі випуску цегли зазначені цифри округляються до цілого числа). Відповідно до отриманих результатів (Ф = 10 · 166,7 + 8 Ч Ч 47,61 ≈ 2048 грн.) випуск цегли червоного звичайного є недоцільним з позицій одержання максимального прибутку (Ф > max). З метою реалізації оптимального плану випуску цегли типів х1 і х2 виробничу операційну систему необхідно «завантажити» оптимальною кількістю сировини. Тому з погляду раціоналізації вхідного в систему ресурсного потоку в кількісному відношенні операційний менеджер зобов’язаний попередньо обчислити (або скоригувати) потреби в сировині, диференційовано по кожній категорії її. Потреба в сировині категорії А VА = 0,8 Ч 166,7 + 1,4 Ч 47,61 ≈ 200 од. Потреба в сировині категорії В VВ = 0,6 Ч 166,7 ≈ 100 од.
Таблиця 7.6 Симплекс-таблиця базисних і небазисних перемінних Базисні перемінні Вільний член BI’ у правій частині рівняння Коефіцієнти ДІ за небазисних перемінних
х1 х2 х3 Ф
47,61 166,7 152,7 –2048
х1 0,4763 3,333 3,523 9,523
х2 0,7143 0 –0,7143 5,714
х3 –0,9525 1,667 1,473 4,047 403
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Потреба в сировині категорії Зі VС = 1,2 Ч 166,7 + 1 Ч 47,61 ≈ 247,7 од. Аналіз потреби сировини розрахункової і нормативної дає змогу зробити висновок про повне використання сировини категорій А, В та істотних надлишків (400 – 247,7 = 152,3 од.) сировини категорії С у випадку реалізації заводом запропонованого оптимального плану. Примітка. За великого числа перемінних реалізація симплекс-методу для вирішення подібних завдань може бути здійснена лише за допомогою обчислювальної техніки за використання відповідних обчислювальних пакетів. Приклад 3. Операційному менеджерові варто вибрати ремонтну базу для відновлення технічних об’єктів операційної системи. Завдання вибору ремонтної бази зводиться до наступного.
Методичні рекомендації щодо вирішення завдання Нехай для технічних об’єктів операційної системи мається раніше встановлена оптимальна періодичність заміни таких, що вийшли з ладу (відпрацьованих) елементів. Необхідно і виявляється можливим робити такі заміни на трьох наявних у регіоні ремонтних базах: А, В чи С. Очевидно, що техніко-економічні показники і якість ремонту при цьому будуть різними. Якщо робити заміну, наприклад, на базі А, збільшаться витрати на транспортування і безпосередньо на ремонт, тому що на даній базі буде доцільне повне розбирання, мийка, очищення елементів об’єкта. Однак у цьому випадку зменшаться витрати на поточне обслуговування і ремонт технічних об’єктів у процесі функ404
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
ціонування операційної системи внаслідок зменшення кількості відмов, бо кількість відновлених об’єктів на базі А шляхом заміни елементів, що вийшли з ладу, буде вище, ніж на базі В чи С. У випадку заміни елементів, що вийшли з ладу, на базі В, де повне розбирання об’єкта в більшості випадків не передбачається, витрати будуть меншими, ніж у разі ремонту за умов бази А. Однак витрати на поточне обслуговування і ремонт за наступної експлуатації даних технічних об’єктів будуть більшими внаслідок збільшення інтенсивності відмов їхніх елементів. Для заміни елементів технічних об’єктів, що вийшли з ладу, операційної системи в умовах бази С характерна менша величина витрат, ніж у разі замін на базі А, але більша, ніж у разі замін за умов бази В. Це пояснюється тим, що у разі ремонту на базі А буде виконуватися трохи більший обсяг робіт, пов’язаних з більш глибоким розбиранням, мийкою, очищенням і контролем. На базі В через більш високий рівень спеціалізації і кращу оснащеність, трудомісткість тих саме робіт буде трохи меншою, ніж у разі виконання їх в умовах бази С. Витрати на поточне обслуговування і ремонт після відновлення технічних об’єктів операційної системи на базі С будуть перевершувати поточні витрати після відновлення на базі А або на базі В в силу більш низької якості ремонту. Таким чином загальною тенденцією для всіх типів ремонтних баз, де можна замінити елементи, що вийшли з ладу, є така. Зі збільшенням витрат на заміну елементів, що залежать від глибини ремонту, знижуються витрати на поточне обслуговування і ремонт і, навпаки, зі зменшенням витрат на заміну елементів, що вийшли з ладу, витрати на останні зростають. Дана закономірність дає можливість операційному менеджерові розглядати завдання вибору ремонтної бази як оптимізаційне. Порівняння варіантів організації ремонту може бути виконане за різними показниками щодо: 405
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
витрат на ремонт; якості ремонту; тривалості простою під час ремонту тощо. Під час вибору критерію необхідно враховувати, що основна мета застосування того чи іншого варіанта складається у відновленні працездатності технічних об’єктів з мінімальними витратами. У якості узагальнювального оцінювального показника при порівнянні варіантів найчастіше застосовують наведені витрати: порівняння варіантів організації ремонту і їхня оцінка проводяться за поточними витратами на відновлення і підтримку дієздатності технічних об’єктів, що складаються з витрат на заміну елементів, які вийшли з ладу, і наступні поточні ремонти. Цей показник найбільш повно відбиває міру ефективності прийнятої стратегії ремонту, оскільки враховує якісну сторону ремонту — витрати на поточні ремонти, виконувані після заміни елементів, що вийшли з ладу. У разі оцінювання сумарних витрат на ремонт враховуються також втрати, пов’язані з простоєм під час ремонту за будь-яким варіантом. N N N Зразковий алгоритм вирішення ситуаційного завдання Заміну елементів виробів, що вийшли з ладу, можна здійснювати на k-й ремонтній базі. У даному випадку під ремонтними базами розуміються ремонтні майстерні А, В та С — бази ремонту, включені до аналізу у разі вибору оптимальної організації ремонту. У тих випадках, коли відомі витрати на профілактичні ремонти із заміною елементів Вп.р.ik , що вийшли з ладу, і поточні ремонти, пов’язані із Втр.ik з раптовими відмовленнями, то залежно від групи елементів та типу ремонтної бази k, де 406
Розділ 7 Економіко-математичні моделі і методи в операційному менеджменті
здійснюється заміна, критерій оптимального варіанта організації ремонту визначиться за умови ВN, K = min k
∑ ( Вп.р. i =1
N
ik
+ Втр.ік ).
(7.38)
Визначення витрат на профілактичні ремонти Вп.р.ik за умов на ремонтних базах
Витрати на проведення ремонтів на ремонтних базах складаються з багатьох складових: N заробітна плата робітників, які виконують заміну елементів, що вийшли з ладу, з нарахуваннями; N накладні витрати; N вартість запасних частин; N втрати від простою з урахуванням часу доставки; N витрати на транспортування. Отже, розглянемо складові витрат на заміну технічних елементів, що вийшли з ладу, для будь-якої розглянутої операційної системи. 1. Заробітна плата робітників, що виконують ремонт технічного об’єкта. 1.1. Основна заробітна плата робітників, що здійснюють заміну елементів, що вийшли з ладу (у грн.): Вik з.п.о
= α1k Ч t1k Ч Cгод ,
(7.39)
де α1k — коефіцієнт, що враховує зміну трудомісткості залежно від типу ремонтної бази; t1k — трудомісткість заміни елементів, людино-год.; Cгод — годинна тарифна ставка робітника, що виконує заміну елементів, що вийшли з ладу (у грн.). 407
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
1.2. Додаткова заробітна плата робітників (у грн.): Вik з.п.д
= α2 Ч Вik
з.п.о
/100,
(7.40)
де α2 — відсоток від додаткової заробітної плати. 1.3. Нарахування з соціального страхування (у грн.): Вik = α3 ( Вik c з.п.о
+ Вik
з.п.д
) / 100,
(7.41)
де α3 — відсоток від нарахувань з соціального страхування від основної і додаткової заробітної плати. 1.4. Повні витрати на заробітну плату робітником (у грн.) B1ik = Bik з.п.о
+ Bik
з.п.д
+ Bik .
c
(7.42)
2. Накладні витрати. Сума накладних витрат (у грн.) визначиться за формулою B2ik = α4 Ч Bik з.п.о
/ 100,
(7.43)
де α4 — відсоток від накладних витрат від основної заробітної плати робітників. 3. Витрати на запасні частини. Даний вид витрат визначиться (у грн.) як B3ik = Цз.ч. Ч nk,
(7.44)
де Цз.ч. — ціна комплекту запасних частин (за ринковим курсом), грн.; nk — кількість комплектів запасних частин, необхідних для відновлення працездатності технічного об’єкта, шт. 408
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Завдання транспортного типу у вирішенні виробничих проблем» з дисципліни «Операційний менеджмент»
