Оцінка адекватності операційної математичної моделі
Модель прогнозування вважається адекватною, якщо вона враховує істотну закономірність досліджуваного процесу, в іншому випадку її не можна застосовувати для аналізу і прогнозування. Закономірність досліджуваного процесу знаходить висвітлення в наявності визначених статистичних властивостей залишкового компонента, а саме: а) незалежності рівнів динамічного ряду; б) випадковості рівнів динамічного ряду; в) відповідності нормальному законові розподілу; г) рівності нулеві середньої помилки. Процедура визначення й аналізу перерахованих властивостей (а, б, в, г) залишкового компонента досить тривала. Тому як спрощений варіант визначення адекватності моделі в першому наближенні можна використовувати оцінку й аналіз першої властивості залишкового компонента — незалежності рівнів динамічного ряду. Незалежність залишкового компонента означає відсутність автокореляції між залишками (уі – уТі). Очевидно, важливо мати критерій, що дозволяє встановлювати наявність автокореляції. Таким критерієм є критерій Дарбіна-Уотсона, відповідно до якого обчислюється статистика d:
d=
∑[(yi − yTi )− (yi−1 − yTi−1)]2 i=2
n
∑(yi − yTi ) i=1
n
,
(6.15)
2
де
уi; уi–1 — рівні фактичного динамічного ряду; уТі; уТі–1 — теоретичні (прогнозні) рівні динамічного ряду; n — загальна кількість часових інтервалів (або кількість точок замірів).
330
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
Можливі значення статистики лежать в інтервалі 0 ≤ d ≤ 4. Відповідно до методу Дарбіна та Уотсона існує верхня dв і нижня dн межі значимості статистики d. Ці критичні значення залежать від рівня значимості α , обсягу вибірки n і числа визначаємих коефіцієнтів моделі m (наприклад, для моделі лінійного тренду m = 1). Обчислене значення d порівнюється з граничними dн і dв , які знаходяться за табл. 6.4. Таблиця 6.4 Статистичні таблиці критичних рівнів першого коефіцієнта автокореляції, нижнього і верхнього рівнів d-критерія Дарбіна-Уотсона для одно-(m = 1) і двопараметричної (m = 2) моделі Кількість спостережень (n) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ... ra табл.
Примітка. При нагоді, якщо обсяг вибірки n менше 15, для d не існує критичних значень dн і dв. У цьому випадку для оцінки незалежності рівнів ряду можна використовувати коефіцієнт автокореляції rа. Даний показник приблизно можна обчислити за наступною формулою:
d . (6.16) 2 Розрахункове значення rа порівнюють з табличним rа табл. [3]. За умови, якщо rа ≤ rа табл. — рівні динамічного ряду незалежні, а значить обрана (чи розроблена) модель є адекватною. ra = 1 − 331
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
При цьому слід керуватися наступними правилами: 1) dв ≤ d ≤ 4 − dв — приймається гіпотеза: автокореляція відсутня (обрана модель адекватна); 2) 0 ≤ d ≤ dн — приймається гіпотеза про існування позитивної автокореляції залишків ряду; 3) dн ≤ d ≤ dв і 4 − dв ≤ d ≤ 4 − dн — при обраному рівні значимості не можна прийти до визначеного висновку; 4) 4 − dн ≤ d ≤ 4 — приймається гіпотеза про існування негативної автокореляції залишків ряду. Для перевірки випадковості рівнів ряду можна використовувати критерій «поворотових точок», який називають ще як критерій «піків» і «западин» [17]. Згідно з цим критерієм кожний рівень ряду порівнюється з двома сусідніми. Якщо він більше або менше їх, то ця точка вважається поворотною. Далі підраховується сума поворотових точок К. У випадковому ряду чисел повинна виконуватися строга умова:
(2 ⋅ n − 1) 29 К > − 2 ⋅ 16 ⋅ n − . 3 90
(6.17)
Відповідність ряду залишків нормальному закону розподілу важливо з точки зору правомірності побудови довірчих інтервалів прогнозу. Основними властивостями ряду залишків є їх симетричність відносно тренду і перевага малих по абсолютній величині помилок над великими. У цьому зв'язку визначається близькість до відповідних параметрів нормального закону розподілу коефіцієнтів асиметрії Ас і ексцесу Ек. Фізично коефіцієнт асиметрії є мірою «скошеності», а коефіцієнт ексцесу — мірою «скупченості» вивчаємих випадкових величин визначеного процесу. Коефіцієнти асиметрії Ас і ексцесу Ек визначаються за наступними формулами: 332
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
1 n 1 n Ac = ⋅ (yi − yTi )3 : ⋅ (yi − yTi )2 ; n i=1 n i=1
3
∑
∑
(6.18)
2 n 1 n 4 1 2 ⋅ (y − y ) : ⋅ (y − y ) Ек = i Ti i Ti − 3. n n i=1 i=1
∑
∑
(6.19)
Якщо коефіцієнти Ас і Ек близькі до нуля або дорівнюють нулю, то ряд залишків розподілений згідно з нормальним законом. Для оцінки ступеня їх близькості до нуля визначають середньоквадратичне відхилення: Sa = 6 ⋅ (n − 2) , (n +1)⋅(n + 3)
(6.20)
SE =
(n +1)2 ⋅ (n + 3)⋅ (n + 5) Ac ≤ 1,5 ⋅ S a ,
24 ⋅ n(n − 2)⋅ (n − 3)
.
(6.21)
Якщо будуть виконуватися умови: (6.22) (6.23)
Ek ≤ 1,5 ⋅ S E ,
то можна вважати, що розподіл ряду не суперечить нормальному законові. А коли Ac > 2 ⋅ S a ,
(6.24) (6.25)
або Ek > 2 ⋅ S E ,
то розподіл ряду не відповідає нормальному закону розподілу, і побудова інтервалів прогнозу неправомірна. 333
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
У випадку попадання Ас і Екв зону невизначеності (між 1,5 і 2,0 середньоквадратичними відхиленнями) може бути використаний RS-критерій:
Emax − Emin , (6.26) S де Еmах — максимальний рівень ряду залишків (уі – уТі); Еmin — мінімальний рівень ряду залишків (уі – уТі); S — середньоквадратичне відхилення залишків. Значення RS-критерію для заданого n повинно знаходитися в межах граничних табличних значень (табл. 6.5). RS = Таблиця 6.5 Статистичні значення критичних рівнів RS-критерію в залежності від кількості спостережень Кількість спостережень (n) 10 15 20 25 30 ... ra табл.
Границя RS-критерію нижня верхня 3,69 4,14 4,49 4,71 4,89 ...
0,360 0,328 0,300 0,276 0,257 ...
2,67 2,96 3,18 3,34 3,47 ...
Якщо значення цього критерія попадає між табульованими граничними межами з заданим рівнем значимості, то гіпотеза про нормальний розподіл ряду залишків приймається. Рівність нулеві середньої помилки (математичне дожидання випадкової послідовності) перевіряють за допомогою t-критерія Стьюдента:
tp = 334
n 1 n ⋅ (yi − yTi ) ⋅ . n i=1 S
∑
(6.27)
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
Гіпотеза рівності нулеві середньої похибки відхиляється, якщо tp більше табличного рівня t-критерія з f1 = (n – 1) ступенями свободи і обраним рівнем значимості α . 6.8.2 Оцінка точності операційної математичної моделі Задача оцінки точності операційної математичної моделі формулюється наступним чином. З придатних для опису тенденції часового ряду вибрати ту функцію, яка дасть найвищий ступінь близькості прогнозованих значень до фактичних даних. В статистичному аналізі відома велика кількість характеристик точності операційних математичних моделей — це: 1) середнє абсолютне відхилення емпіричних (фактичних) даних від теоретичних (обчислених по формулі); 2) оцінка стандартної похибки; 3) середня відносна похибка оцінки; 4) середнє лінійне відхилення. З курсу математичної статистики відомі наступні формули для розрахунку перерахованих характеристик точності. Середнє абсолютне відхилення емпіричних даних від теоретичних:
dсер =
∑(уi − yTi ) i=1
n
n
.
(6.28)
Модель буде вважатися більш точною, якщо dcp → 0. Оцінка стандартної похибки:
S1, f (x) =
∑[yi − yTi ] i=1
n
2
n− p
,
(6.29)
де р — число визначаємих коефіцієнтів моделі. 335
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Середня відносна похибка оцінки: ma = 1 n yi − yTi ⋅ ⋅100 %. n i=1 yTi
∑ n
(6.30)
Середнє лінійне відхилення:
ЛВ =
∑ yi − yTi i=1
n ⋅ (n − 1)
.
(6.31)
Кращою з точки зору точності визнається та операційна модель, у якої усі перераховані характеристики мають найменшу величину. Примітка. Практика визначення точності операційних математичних моделей показує, що перераховані вище показники по-різному відображають ступінь точності досліджуємої моделі, а тому нерідко дають суперечливі висновки. Таким чином, для ухвалення однозначного рішення про точність операційної математичної моделі дослідник повинний користуватися або одним основним показником, або узагальненим критерієм.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оцінка адекватності операційної математичної моделі» з дисципліни «Операційний менеджмент»
