Математичні моделі, що складають абстрактну частину спектра (див. рис. 6.3), для зручності використання в різних сферах, у тому числі і в менеджменті, класифікують за шістьма провідними ознаками (рис. 6.6): N спосіб одержання моделі; N спосіб подання чи презентації об’єкта чи його властивостей; N спосіб формалізації об’єкта чи його властивостей; N приналежність до ієрархічного рівня; N ступінь масштабності подання об’єкта або його властивостей; N ступінь складності подання об’єкта чи його властивостей. За способом одержання моделі поділяють на теоретичні, нейронні (персептрони) й емпіричні. Теоретичні моделі виводяться математично на основі знання первинних законів класичної механіки, електродинаміки, хімії тощо. Моделі, одержувані з реального життя на основі статистичного оброблення результатів спостережень, формують групу емпіричних моделей. Проблема побудови такої емпіричної моделі включає і вибір відповідної форми, а також прийнятного ступеня її складності, сумісних з наявними експериментальними даними. 309
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
СПОСІБ ОДЕРЖАННЯ МОДЕЛІ
Теоретичні К Л А С И М А Т Е М А Т И Ч Н И Х Алгебраїчні
Нейронні (персептрони)
Емпіричні К Л А С И Ф І К А Ц І Й Н І О З Н А К И
СПОСІБ ПОДАННЯ ОБ’ЄКТА Математичного програмування Імовірнісно-статистичні
Сітьові
(мережеві)
Регресійнокореляційні
ХАРАКТЕР ВІДОБРАЖУВАЛЬНИХ ОЗНАК ОБ’ЄКТА
Структурні
Функціональні
СПОСІБ ФОРМАЛІЗУВАННЯ ОБ’ЄКТА
Аналитичні М О Д Е Л Е Й
Алгоритмічні
Імітаційні
НАЛЕЖНІСТЬ ДО ІЄРАРХІЧНОГО РІВНЯ
Мікрорівня
Макрорівня
Метарівня
СТУПІНЬ МАСШТАБНОСТІ ПОДАННЯ ОБ’ЄКТА
Сублокальні
Локальні
Глобальні
СТУПІНЬ СКЛАДНОСТІ ПОДАННЯ ОБ’ЄКТА
Надпрості
Прості
Складні
Рис. 6.6 Класифікація математичних моделей, використовуваних в операційному менеджменті 310
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
В останні роки в галузі моделювання економічних процесів усе більшого значення набувають нейронні моделі (персептрони), що складаються з бінарних нейроподібних елементів і прості за топологією. Найпростіший персептрон містить у собі матриці бінарних входів (сенсорні нейрони або сітківки, куди подаються вхідні образи), комплект бінарних нейроподібних елементів з фіксованими зв’язками до підмножин сітківки, бінарного нейроподібного елемента зі зв’язками, що модифікуються до цих предикатів (вирішальний елемент). Персептрон, як правило, використовувався для автоматичної класифікації, що загалом є поділом простору ознак між заданою кількістю класів. Сьогодні в умовах на рівні нейронних мереж під час вирішення проблем менеджменту щодо прогнозування (моделювання) ситуації формалізується через завдання розпізнання образів. Розглянемо приклад. Маємо дані про поточний попит на продукцію фірми за шість років (k = 6): 71; 80; 101; 84; 60; 73. Для формалізації завдання використовуємо метод вікон. Задаємо розміри вікон n = 3, m = 1 і рівень порушень нейроподібного елемента s = 1. Далі за допомогою методу вікон із уже фіксованими параметрами n, m, s для нейронної мережі генеруємо наступну навчальну вибірку: 71 80 101 → 84 80 101 84 → 60 101 84 60 → 73. Як бачимо, кожний наступний вектор враховує результат зрушення вікон Wi і W0 вправо на один елемент (s = 1). При цьому передбачається наявність схованих залежностей у тимчасовій послідовності як численність спостережень. Нейронна мережа, навчаючи на цих спостереженнях і відповідно будуючи свої коефіцієнти, намагається віднайти ці закономірності і в 311
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
результаті сформувати необхідну функцію прогнозу, тобто створити архітектоніку моделі. Прогнозування здійснюється за тим самим принципом, що і формування навчальної вибірки. За способом подання об’єкта моделі підрозділяють на: алгебраїчні; лінійного і математичного програмування (Л і МП); мережеві (сітьові); статичні^-статичні=імовірнісно-статичні, що поєднують у собі моделі теорії черг, моделі запасів і статистичні моделі; регресійно-кореляційні. Алгебраїчні моделі використовуються під час розв’язання таких завдань, як аналіз «критичної точки» і «витрати — прибуток». Моделі лінійного і математичного програмування усе ширше використовуються для вирішення проблем виробничого спрямування. Мережеві (сітьові) моделі відносяться до теорії керування великими системами — до теорії мережевих методів планування і керування — і базуються на ідеї критичного шляху (метод СРМ), оцінюванні і засобах аналізу (наприклад, система РЕRТ– Program Evalution Research Task). Імовірнісно-статистичні моделі засновані на фенологічних явищах і гіпотезах. Вони можуть бути детермінованими чи схоластичними. Так, наприклад, залежність У = j(X), установлювана за результатами спостережень випадкових величин Х та У за методом найменших квадратів, є детермінованою моделлю. Якщо ж врахувати випадкові відхилення експериментальних точок, що спостерігаються в результаті дослідів від кривої y = j(х) і написати залежність У від Х в вигляді У = ϕ(X) + Z, (6.1)
(де Z — деяка випадкова величина), то вийде стохастична модель. При цьому величини Х та У можуть бути як скалярними, так і векторними. Функція ϕ(х) може бути як лінійною комбіна312
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
цією даних функцій, так і даною нелінійною функцією, параметри якої визначаються за методом найменших квадратів. Кореляційні моделі, що є узагальненням екстраполяційних та статистичних моделей, використовуються для подання специфіки описуваного об’єкта або його властивостей. Узагальнена характеристика моделей, що класифікуються за способом подання об’єкта, наведена в табл. 6.1. У табл. 6.1 зазначені найефективніші сфери застосування даних моделей з попередньо оціненою точністю одержуваних оцінок. Дана інформація корисна операційним менеджерам на етапі побудови моделей або їхнього вибору для розв’язання виниклої проблеми. За характером відображуваних властивостей об’єкта моделі класифікуються на структурні і функціональні, що сукупно відбивають взаємозв’язок і взаємовплив окремих елементів на процеси, що протікають в об’єкті під час його функціонування (виготовлення). Структурні моделі призначені для відображення структурних властивостей об’єкта: складу, взаємозв’язку і взаєморозташування, а також форми компонентів. Функціональні моделі призначені, в основному, для відображення процесів, що протікають в об’єкті за його функціонування (виготовлення) і, як правило, містять алгоритми, що зв’язують фазові перемінні, внутрішні, зовнішні чи вихідні параметри. За способом формалізації об’єкта за складності справжніх фізичних ситуацій потрібне спрощене подання за допомогою аналітичних і алгоритмічних моделей, що відповідно «абстрагують» обрані «істотні» властивості об’єктів і ситуацій. Комп’ютерна імітація реальних об’єктів — це важливий інструмент для аналізу складних систем сервісу, політики обслуговування й інвестиційного вибору. 313
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Таблиця 6.1 Характерні ознаки математичних моделей Моделі Алгебраїчні Л і МП Ефективна сфера використання Загальні операційні проблеми: аналіз процесу «витрати > прибуток» тощо Планування виробництва, розподіл робочої сили, аналіз розміщення, змішування інгредієнтів у продуктах та ін. Традиційно: дослідницькі та конструкторські роботи, розробка виробничих проектів Оцінювання систем сервісу Керування активами фірми, підприємства У різних сферах з достатньою часткою невизначеності У сферах керування, виробництва Відносна точність розрахунку, % 90–95% 75–80%
Мережеві (сітьові) Імовірнісностатистичні: Моделі теорії черг Моделі запасів Статистичні Регресійнокореляційні
До 75%
До 80% 70–75% До 70% 85–95%
Розподіл об’єктів за ієрархічними рівнями призводить до визначених рівнів моделювання, ієрархія яких визначається як складністю об’єктів, так і можливістю засобів керування. Тому відповідно до приналежності до ієрархічного рівня математичні моделі поділяються на мікро-, макро- і метамоделі. Відмінність даних моделей в тому, що на більш високому рівні ієрархії компоненти моделі приймають вигляд досить складних сукупностей елементів попереднього рівня. Цими ж аспектами визначається і поділ моделей за ступенем масштабності і складності подання об’єкта. 314
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
Дана класифікація моделей має допомогти операційним менеджерам у більш прискореному і правильному прийнятті рішень з метою здійснення місії організації.
6.6 Загальний метод побудови операційних математичних моделей Для вивчення процесів функціонування і керування, властивих кожній з операційних систем, часто використовують моделювання, тобто експериментування на робочих фізичних чи математичних моделях, що з деяким наближенням мають властивості досліджуваних систем і їх процесів. Основне призначення моделювання — вибір оптимальної стратегії пошуку найкращого з можливих варіантів, тобто одержання оптимального об’єкта проектування, що має найбільш важливі властивості. Така постановка завдання може бути формалізована у вигляді етапу математичного програмування. При цьому передбачувана цільова функція відбиває основну мету, а обмеження, що накладаються, регламентують додержання усіх вимог щодо об’єкта. Сформовані традиції і синтез різних підходів до формалізації досліджуваних процесів дають змогу визначити єдиний метод побудови математичних моделей і запропонувати її операційним менеджерам як своєрідний інструмент. Цей алгоритм побудови операційних математичних моделей наведений на рис. 6.7. Відповідно до нього технічне завдання (перелік основних експлуатаційних, технологічних, економічних і інших вимог і значень, яким має відповідати проектований об’єкт на всіх етапах існування), є вихідним моментом для побудови якісної моделі. Якісна модель проектованого об’єкта — семантичне подання вимог, що забезпечують дієздатність на всіх етапах існування об’єкта. До таких вимог, у першу чергу, відносяться: 315
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
ТЕХНІЧНЕ ЗАВДАННЯ ЯКІСНА МОДЕЛЬ ОБ'ЄКТА
Вимоги до матеріалів
Вимоги до конструкцій
Вимоги до збуту
Вимоги до торгівлі
Вимоги до експлуатаційних характеристик
Вимоги до системи
Дослідження Вибір критерію оптимізації
МАТЕМАТИЧНЕ ПОДАННЯ МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ОБ'ЄКТА
Дослідження
Накладання системи обмежень
Коригування моделі
Імітаційне моделювання на комп'ютері Дослідження на комп'ютері
Метод оптимізації
ЕТАП АПРОБАЦІЇ
ЗАНЕСЕННЯ ДО БАНКУ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ВПРОВАДЖЕННЯ (РЕАЛІЗАЦІЯ)
Рис. 6.7 Алгоритм побудови операційних математичних моделей 316
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
N конструктивно-технологічні; N експлуатаційні; N економічні, що включають вимоги до збуту, торгівлі й організаційної системи. Подання цих вимог математичними вираженнями, системою графів, матрицями або семантичними алгоритмами дає змогу встановити на конкретний момент певний зв’язок між параметрами, що оптимізуються. Об’єктивне математичне подання проектованого об’єкта можливе за проведення обраного обсягу досліджень. Зрозуміло, що вони стануть джерелом одержання достовірної і необхідної для моделювання інформації. Маючи масиви достовірної інформації, обирають критерії оптимізації. На основі обраного критерію (критеріїв) і обмежень, записаних у вигляді рівнянь чи нерівностей, складається цільова функція Z = f(x1, x2, x3, …, xn), яка і формує операційну математичну модель. Отримана модель використовується для імітаційного моделювання на комп’ютері з метою її перевірки і доведення. Цей етап називають ще етапом іспиту, у ході якого в разі потреби модель може бути скоригована на рівні формування якісної моделі або математичного її подання. Після іспиту на комп’ютері модель апробується під час аналізу реальної ситуації і далі може бути занесена до банку математичних моделей системи автоматизованого проектування, якщо така є в організації. Розроблена і випробувана модель надалі приймається до практичної реалізації розв’язуваних проблем, що виникають у середовищі операційної системи. Розглянемо реалізацію наведеного алгоритму побудови операційної математичної моделі на практичному прикладі. Приклад. Промислове підприємство виготовляє два види продукції — А та В. Прибуток на одиницю продукції, що випускається, складає відповідно 15 і 18 грн. На випуск одиниці 317
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
продукції виду А витрачається 0,8 одиниць сировини I категорії, 0,6 одиниці — II категорії. Для виготовлення одиниці продукції В витрачається сировини I категорії 1,0 одиниця, а II категорії — 1,2 одиниці. На складі підприємства є запас сировини I категорії в кількості 100 одиниць і II категорії — 120 одиниць. Службі менеджменту слід визначити число одиниць продукції зазначених видів, у разі випуску яких підприємство матиме максимальний прибуток. Відповідно до описаного алгоритму вирішення завдання буде таким: 1. Визначаються оптимізовані параметри: N ХА — щоденне виробництво продукції виду А, од.; N ХВ — щоденне виробництво продукції виду В, од. Складається якісна модель завдання на основі умови, що і є технічною потребою: N загальна кількість сировини I категорії, що йде на виготовлення продукції видів А та В, не може перевищувати наявний запас 100 одиниць; N загальна кількість сировини II категорії, що необхідна для виготовлення продукції заданих типів, не може перевищувати наявний запас у 120 одиниць. Примітка. Параметри ХА і ХВ, що оптимізуються, обов’язково повинні відповідати всім вимогам і за заданих умов забезпечувати максимальний прибуток, який відповідно до умови завдання визначимо як цільову функцію Z = f(XA, XB) → max. (6.2)
Описуються математично кожна з представлених у якісній моделі вимог: N витрата сировини I категорії на виготовлення продукції видів А та В не може перевищувати 100 одиниць 318
Розділ 6 Прийняття рішень в операційному менеджменті
0,8XA + 1,0XB ≤ 100;
(6.3)
N витрата сировини II категорії на виготовлення продукції видів А та В не може перевищувати 120 одиниць 0,6XA + 1,3XB ≤ 120. (6.4)
При цьому цільова функція Z, що відбиває сумарний прибуток, запишеться як Z = 15XA + 18XB. (6.5) Формуючи загальне завдання лінійного програмування, слід ставити умову незаперечності всіх перемінних, тобто XA ≥ 0 і XВ ≥ 0, оскільки очевидно, що обсяг продукції, яка випускається, не може бути меншою за нуль. Таким чином у формалізованому вигляді розв’язувана проблема подаватиметься як завдання лінійного програмування Z = 15XA + 18XB → max 0,8XA + 1XB ≤ 100 0,6XA + 1,3XB ≤ 120 XA ≥ 0, XВ ≥ 0. Розв’язання системи рівнянь дає наступні оптимізаційні параметри виробничої програми: XA ≈ 28 од., XВ = 78 од. (6.6)
При цьому максимальний щоденний прибуток підприємства складає Z = 15 · 28 +18 · 78 = 1824 грн. Таким чином максимальний прибуток Z = 1824 грн. може бути отриманий за випуску 28 одиниць продукції виду А та 78 одиниць продукції типу В. 319
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Розглянутий приклад не є достатнім й об’єктивним щодо вирішення всіх обернених оптимізаційних завдань. Він, радше, демонструє один з можливих підходів і є переважно показовим для розв’язання простих оптимізаційних завдань з невеликою кількістю перемінних і обмежень. Реально постають проблеми з великою кількістю перемінних і обмежень, що накладаються. Тут одним з ефективних способів подання і побудови моделі є блокове моделювання. При цьому об’єкт моделювання розбивається на елементи (блоки), кожний з яких може бути задовільно поданий і самостійно змодельований. Загальна модель складається з моделей блоків, зв’язки між якими також моделюються. Якщо модель занадто складна, для того щоб її можна було відтворити на комп’ютері в повному обсязі, в об’єднаній моделі кожний блок замінюють більш простим поданням його зовнішніх характеристик, що одержують за допомогою натурного експерименту чи через моделювання. Порізному комбінуючи між собою блоки, можна створювати моделі різних передбачуваних структур і досліджувати їх. Кожний блок складеної моделі, у свою чергу, допускає блокове подання, тому процес побудови моделі ієрархічний (рис. 6.8). Значення блокового моделювання і його використання операційними менеджерами у своїй практичній діяльності переоцінити важко. Доказом цього є класичний, що став надбанням історії, приклад створення американськими операціоналістами моделі для визначення вартості проекту космічного корабля. Наведемо стисло його зміст за Б. Рашем, Дж. Бракеном, Ж. МакКорміком (1967 р.). Фірмою Локхід у 1960-х роках була розроблена емпірична математична модель для визначення загальних витрат на розробку, будування і запуск триступінчастої ракети. Б. Раш, Дж. Бракен, Ж. Мак-Кормік використовували її для оптимізування запуску космічного корабля. Виділимо тип цільової функції й обмежуючі рівняння, властиві такого роду моделям.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Класифікація математичних моделей» з дисципліни «Операційний менеджмент»
