Геометрическая реализация расширенной ортогональной группы
Аксиальные векторы инвариантны относительно инверсии, а значит, и построенный из них аксиальный векторный базис обладает этим свойством (см. § 23). Ввиду этого всем ортогональным преобразованиям аксиального векторного базиса соответствуют ортогональ- о о ные матрицы || ерь II с положительным определителем det || Ci>k 11=1. Ортогональные же матрицы с отрицательным определителем не соответствуют каким бы то ни было ортогональным преобразованиям. 470 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ. VIII Определим действие инверсии времени Г на аксиальные векторы следующим образом: инверсия времени /' меняет на обратное направление обхода всех аксиальных векторов. Этому преобразо- о ванию будет соответствовать матрица d>k (/') = —8i>k. Ввиду инвариантности аксиальных векторов относительно инверсии то же действие на все аксиальные векторы оказывает пространственно- временная инверсия (антиинверсия) 7' и ей соответствует точно такая о — же матрица Cck (/') = — 8^. Вообще всем операциям, содержащим инверсию времени, — антиоперациям — соответствуют ортогональ- о • о ные матрицы || cc>k || с определителем det || ci>k || = —1. Введенное определение имеет прозрачный физический смысл: определенные таким образом аксиальные векторы совпадают по трансформационным свойствам с вектором напряженности магнитного поля Н — это тоже аксиальные векторы, меняющие знак при инверсии времени. Тогда полярным векторам естественно приписать трансформационные свойства вектора напряженности электрического поля Е, который не меняет своего направления при инверсии времени. Построенный из полярных векторов полярный векторный базис также инвариантен относительно инверсии времени. Поэтому при любых — простых и инверсионных — антиповоротах полярный векторный базис преобразуется посредством той же ортогональной матрицы || d>k || , что и при соответствующих поворотах. Таким образом, определен закон преобразования полярных (#,) о и аксиальных (et) базисных векторов под действием любой операции g", входящей в расширенную ортогональную группу оо оо 1Г: ev=ct>k(g)ek. if=in{g)ek, G1Л) При этом каждой операции g е оо оо ТГ соответствуют две рав- о ные или отличающиеся лишь знаком матрицы || c^k (g) || и || ci<k (g) ||. В расширенную ортогональную группу входят операции четырех родов: собственные повороты R, инверсионные повороты 7/?, антиповороты l'R и инверсионные антиповороты /'/?. Если собственному повороту R соответствует матрица || r^k ||, то матрицы || а*и (g) II и II Ci>k (g) || для любых операций расширенной ортогональной группы определяются таблицей: T l'R ~ ri'k g ci>k R ri>k ri>k ri>k VR ri>k — rin Совместив полярный и аксиальный базисы так, чтобы совпали о о о направления одноименных векторов ег и el9 e2 и е2, еъ и е3, получим § 71] РАСШИРЕННАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА 471 комбинированный базис. Матрица || a>k || действует на его полярную о часть, а || d>k || — на аксиальную. Операции R поворачивают его как целое, поэтому достаточно рассмотреть действие на него инверсий. Пространственная инверсия переворачивает полярные базисные векторы, не изменяя аксиальных. В результате правая тройка полярных векторов превращается в левую, а левая — в правую. Кроме того, наименование винта, образованного совмещенными полярными аксиальным векторами, при этом также изменяется на обратное. Поэтому комбинированный базис, который был согласованным (несогласованным) до инверсии, останется таковым и после нее (ср. § 23). Инверсия времени /', напротив, изменяет направление обхода аксиальных базисных векторов на обратное, не изменяя направлений полярных векторов. При этом тройка полярных векторов сохраняет наименование, но винты, образованные совмещенными полярным и аксиальным векторами, изменяют наименование на обратное; таким образом, согласованный базис превращается в несогласованный, а несогласованный — в согласованный. Наконец, пространственно-временная инверсия Г меняет на обратные как направления полярных векторов, так и направления обхода векторов аксиальных. Поэтому правая тройка полярных векторов превращается в левую, а левая — в правую, но наименование винта, образованного совмещенными полярным и аксиальным векторами, не изменяется. В результате согласованный базис превращается в несогласованный, а несогласованный — в согласованный. В табл. 71.1 показано действие инверсий на комбинированные векторные базисы. Базисы называются в ней правыми или левыми, в зависимости от того, правую или левую тройку образуют полярные базисные векторы. В правых согласованных базисах совмещенные полярный и аксиальный векторы образуют правый винт, а в левых — левый. Напротив, в несогласованных базисах наименование этого винта противоположно наименованию базиса. Формальный признак согласованности базиса: обход вокруг первого базисного вектора производится от положительного конца второго вектора к положительному концу третьего; направления обхода вокруг остальных базисных векторов выводятся отсюда посредством циклической подстановки. У несогласованных базисов направление обхода обратное. Табл. 71.1 показывает, что различные операции, действуя на данный базис, преобразуют его в различные же базисы. Таким образом, зная «старый» и «новый» комбинированные базисы, можно совершенно однозначно указать, посредством какого именно преобразования второй получен из первого.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Геометрическая реализация расширенной ортогональной группы» з дисципліни «Основи кристалофізики»
