Пространственные группы магнитной симметрии — шубниковские группы
Пространственные группы магнитной симметрии, названные в честь академика А. В. Шубникова, основоположника учения об антисимметрии, шубниковскими группами, — это дискретные подгруппы расширенной евклидовой группы. Таким образом, шубниковские группы — естественное обобщение федоровских групп, которые представляют собой дискретные подгруппы обычной евклидовой группы. 460 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ VIII В шубниковские группы входят, во-первых, те же преобразования, что и в обычные пространственные группы: трансляции, обычные инверсионные и винтовые повороты на углы я/2, я/3 и кратные им, зеркальные и скользящие отражения и инверсии, а во-вторых, те же преобразования, сопровождаемые инверсией времени: антитрансляции, обычные, инверсионные и винтовые антиповороты, зеркальные и скользящие антиотражения и антиинверсии. Наподобие того, как каждой пространственной группе соответствует одна и только одна точечная группа, определяющая класс кристаллов, обладающих данной пространственной группой, — наподобие этого и каждой шубниковской группе соответствует одна и только одна кристаллографическая точечная группа магнитной симметрии, которая определяет класс магнитной симметрии всех кристаллов, обладающих данной шубниковской группой. Заменив в преобразованиях, входящих в состав шубниковской группы, все трансляции отождествлением, а антитрансляции — антиотождествлением, получим точечную группу магнитной симметрии, соответствующую данной шубниковской группе. Каждому классу магнитной симметрии соответствует, вообще говоря, несколько шубниковских групп: классов магнитной симметрии немногим больше сотни, а число шубниковских групп превышает полторы тысячи. В число шубниковских групп входят прежде всего 230 обычных пространственных (федоровских) групп. Если рассматривать их как шубниковские группы, они оказываются группами, не содержащими никаких антиопераций, т. е. белыми, или полярными, группами; мы будем обозначать их символом Ф. Поскольку в составе этих групп не содержится никаких антиопераций, их не может оказаться и в составе точечных групп магнитной симметрии, соответствующих этим шубниковским группам. Таким образом, 230 белым, или полярным, шубниковским группам Ф соответствуют 32 белые же точечные группы G. В число шубниковских групп входят далее 230 групп, в со- став которых наряду с каждой операцией входит и соответствующая ей антиоперация: наряду с трансляциями — точно те же антитрансляции, наряду с поворотами — антиповороты того же рода и на те же углы, и так далее; мы будем называть их серыми, или нейтральными, и обозначать ФУ. Каждой из нейтральных шубниковских групп соответствует, очевидно, некоторая нейтральная же точечная группа магнитной симметрии, а всем 230 нейтральным шубниковским группам ФУ — 32 нейтральные точечные группы магнитной симметрии GV. Наконец, кроме перечисленных 460 шубниковских групп, получающихся, в сущности, без вывода, существуют еще шубниковские группы Ф' смешанной полярности, или черно-белые. В состав $ 69] ШУБНИКОВСКИЕ ГРУППЫ 461 каждой из них инверсия времени сама по себе не входит, но обязательно входят некоторые антиоперации. Эти группы вывели Замор- заев A957, 1967) и, независимо от него, Белов, Неронова и Смирнова A955, 1957). Таких групп оказалось 1191. Операции в группах этого типа никогда не соответствуют антиоперациям: если в группу Ф' входит поворот на некоторый угол или трансляция на некоторый вектор, то ни антиповорот на такой же угол, ни антитрансляция на такой же вектор в группу Ф' входить не могут. Обычные операции образуют федоровскую подгруппу F индекса 2 данной шубниковской группы Ф'. Если все антиоперации группы Ф' заменить соответствующими обычными операциями, получим федоровскую группу Ф; по отношению к ней F оказывается подгруппой индекса 2. Поэтому метод вывода черно- белых пространственных групп магнитной симметрии в принципе не отличается от вывода черно-белых точечных групп: нужно последовательно перебирать все подгруппы индекса 2 федоровских групп Ф. Оставив операции, входящие в подгруппу F, без изменения, заменяем остальные операции группы Ф соответствующими антиоперациями. Получившаяся в результате совокупность операций и антиопераций представляет собой шубниковскую группу Ф'. Так выводятся все шубниковские группы смешанной полярности. Шубниковские группы смешанной полярности распадаются на два типа, в соответствии с тем, что у федоровских групп Ф подгруппы F индекса 2 могут быть, вообще говоря, также двух типов. Пусть G — точечная группа, соответствующая пространственной группе Ф. Пространственной группе F может соответствовать либо а) точечная группа //, которая по отношению к точечной группе G является подгруппой индекса 2, либо б) та же точечная группа G, которая соответствует и пространственной группе Ф *). Если подгруппа F относится к типу а), то у нее вдвое меньше поворотных элементов, зато все трансляции, входящие в группу Ф, входят и в ее подгруппу F. Если же подгруппа F относится к типу б), то в ее состав входят те же поворотные элементы, что и в группу Ф, зато трансляций в группе F, грубо говоря, вдвое меньше, чем в группе Ф; это значит, что объем элементарной ячейки в группе F вдвое больше, чем в группе Ф. Перейдем теперь от федоровских групп Ф к соответствующим им черно-белым шубниковским группам Ф'. Если федоровская подгруппа F данной шубниковской группы Ф' относится к типу а), то черно-белой пространственной группе Ф' соответствует черно- белая же точечная группа G'. Действительно, если точечная груп- *) То же самое разделение подгрупп F индекса 2 на два типа можно опре* делить и по-другому: подгруппа F группы Ф относится к типу а),если ее подгруппа трансляций совпадает с подгруппой трансляций группы Ф, и к типу б) в противном случае. См. Boyle and Lawrenson A972), 462 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ. VIII па G соответствует федоровской группе Ф, а ее подгруппа Н — федоровской подгруппе F, ясно, что шубниковской группе Ф' соответствует черно-белая точечная группа С, для которой Н служит кристаллографической подгруппой *). Если федоровская подгруппа F группы Ф' относится к типу б), то черно-белой шубниковской группе Ф' соответствует серая точечная группа GY. В самом деле, в этом случае федоровская подгруппа F группы Ф' содержит не все трансляции, входящие в группу Ф', а это означает, что шубниковская группа Ф' содержит антитрансляции. При переходе от пространственной группы к соответствующей точечной группе все трансляции заменяются отождествлением, а антитрансляции — антиотождествлением; последнее же содержится только в серых группах. Поэтому если федоровской группе Ф и ее подгруппе F индекса 2 соответствует одна и та же точечная группа G, то шубниковской группе Ф' соответствует точечная группа GY. В табл. 69.1 указано число шубниковских групп различных типов. Таблица 69.1 Число шубниковских групп различных типов Шубниковские группы Белые (Ф) Серые (ФУ) Черно-белые (Ф') Всего Соответствующие точечным группам: • 32 белым (G) 230 230 32 серым «Л') 230 517 747 58 черно- белым (С) 674 674 Всего 230 230 1191 1651 Для обозначения шубниковских групп практически применяется модифицированная система международных обозначений пространственных групп, предложенная Н. В. Беловым, Н. Н. Нероновой и Т. С. Смирновой **); система А. М. Заморзаева, по-видимому, распространения не получила. Международные обозначения шубниковских групп определяются правилами, ничем не отличающимися от аналогичных правил для точечных групп магнитной симметрии. Единственное дополнение необходимо для обозначения тех черно-белых шубниковских групп, которым соответствуют серые точечные группы. В обозначениях этих групп символ решетки Бравэ снабжается индексом, указывающим направление антитрансляции. *) Ср. введенный Копциком A966) двучленный символ Ф/F шубниковской группы Ф\ **) См. их статью A955); список всех шубниковских групп содержится также в монографии В. А. Копцика A966), § 69] ШУБНИКОВСКИЕ ГРУППЫ 463 Строчная буква в индексе показывает, что антитрансляция направлена по соответствующему ребру элементарной ячейки; прописная Л, В или С — что она направлена в центр соответствующей грани; прописная / — что она направлена в центр элементарной ячейки. По международному обозначению шубниковской группы легко определить ее тип и соответствующую ей точечную группу магнитной симметрии. Если обозначение шубниковской группы совпадает с обозначением какой-либо федоровской группы (т. е. не содержит ни штрихов, ни индексов при символе решетки), то это — одна из белых (полярных) шубниковских групп. Если в символе группы есть Г или 3', то это — серая (нейтральная) шубниковская группа. Если в символ группы входят другие штрихованные элементы симметрии, значит, мы имеем дело с одной из черно-белых шу.бников- ских групп, входящей в черно-белый же класс магнитной симметрии. Наконец, индекс при букве, указывающей тип решетки Бравэ, позволяет отнести данную группу к числу черно-белых шубниковских групп, входящих в серые (нейтральные) классы магнитной симметрии. Приведем пример вывода шубниковских групп: перечислим все шубниковские группы, выводимые из федоровской группы Р2. Ниже выписан набор элементов *) группы Ф = Р2, в котором содержатся все порождающие элементы ее подгрупп F индекса 2. Далее приводятся списки порождающих элементов подгрупп F. Под каждой такой подгруппой выписана соответствующая ей шубниковская группа Ф' (посредством двучленного символа Коп- цика она обозначается Ф/F). Векторами со штрихом обозначены антитрансляции. 9 п £уу U\, 9' п ^ у* *~1* 2У, 2У, а[, 2У, «1, 2У, alt 2и, 2У, а[, п2у а a2J a а2У а а2, а а2У а а а'ъ а а а'ъ а ъ, 2аъ з» 2а1э :3, 2а1у з» 2ях, з, 2аь з» 2alt з, 2ах, з, 2ах, з, 2alt 2а2, 2а2, 2а2, 2а2, 2а2, 2а2, 2а2, 2а2, 2а2, Отсутствие в этом списке группы РС2 объясняется тем, что она отличается от Ра2 только обозначением. *) Строго говоря, их следует обозначать [h\t], где h — поворот, t — трансляция, но здесь операции вида |/i|0] и [l\t] для краткости обозначаются h и t соответственно. 464 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ. VTTT Точечные группы и решетки Бравэ полученных шубниковских групп таковы: Шубниковская группа Р2' Ра2 РЬ2 РС2 Точечная группа 2' 21' 2V 2V Решетка Бравэ Р2/т Ра2/т Рь2/т Рс2/т Первая из них относится к типу (а), остальные три — к типу (б).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пространственные группы магнитной симметрии — шубниковские группы» з дисципліни «Основи кристалофізики»
