Рассмотрим анизотропный круглый стержень радиуса R и длины 2/, к торцам которого приложены крутящие моменты К и — К, а боковая поверхность свободна от нагрузок. Введем специальную, отличную, вообще говоря, от кристаллофизической, декартову систему координат с началом в центре стержня, ось Х'ц которой (с ортом е'ъ = q) совпадает с осью стержня, оси же Х\ и Х'% (с ортами е\ = т и е\ = п) перпендикулярны к ней и друг к другу, а в остальном произвольны. Кроме того, введем в каждой точке местную систему координат, построенную на ортах ег, £ф и q, направленных вдоль координатных линий цилиндрической системы координат (рис. 54.2). Цилинц- Рис. 54.2. Специальная и местная системы координат для решения задачи о кручении круглого стержня. § 54] ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 335 рическая система координат связана со специальной соотношениями х\ = г cos ф, х'2 = г sin ф. Крутящий момент К может быть создан, в частности, приложенными к торцу х<л = I усилиями Р = kre^ на единицу площади. Тогда 2л R tf=J rxPdS=\ \rerxkre^rdrd^ = ^nR/'kqy E4.11) S ^ 0 откуда находим k = 2K/nR*. Граничным условиям eq = = B/С/я/?4) гву, a-er = 0 удовлетворяет тензор напряжений Чтобы выразить его в специальной системе координат, заметим, что геЦ) = х[п — х%т. Таким образом, ° = ^[*'ЛЩ!+ЧП)-4(Щ + 11*I E4. 13) Для вычисления деформаций запишем компоненты тензора напряжений в виде ^ = |^W64^^65,); E4.14) эта форма записи непосредственно следует из E4.13). Деформации ел равны ел =^r(s'ux\-sM). E4.15) Закручивание по оси на единицу длины стержня равно # = = дцъ/дх'ъ. Воспользовавшись опять формулами D9.17) и D3.13), найдем Учитывая E4.15), получим ^• E4.17) Отношение С = К/$ называется жесткостью стержня на кручение; очевидно, Чтобы выразить жесткость С через табличные значения коэффициентов упругой податливости, рассмотрим выражение (S + SB&) = S2323 + S1313 = S2323 4" S1313 ~\~ S3383 "~ S3883 = SkbkB — S3333' 336 упругость кристаллов ггл vt Здесь коэффициенты упругой податливости по-прежнему отнесены к специальной системе координат, но их уже можно выразить посредством единственного орта q, направленного по координатной оси Х'г. Так как в произвольной декартовой системе координат это выражение можно представить в виде 6lk — qtqk) qfqh где qj — компоненты единичного вектора q относительно этой системы, то жесткость стеожня на кручение будет равна - E4Л9) У изотропного тела s44 = s66 = 1/G (G— модуль сдвига), так что его жесткость на кручение С = jx/?4G/2. Поэтому величину E4-20) называют модулем сдвига анизотропного материала для кручения. С помощью симметричного материального тензора второго ранга 2// = skjki и формулы E3.9) можно представить обратную величину модуля сдвига G (q) в удобном для вычисления виде где Er1 (q) — обратная величина модуля Юнга. Вид тензора Z для всех классов упругой симметрии представлен в табл. 54.1. Поскольку анизотропные стержни при изгибе закручиваются, можно ожидать, что при кручении они будут изгибаться. И действительно, подсчитав ' &Pj ^833 ^23 ^^ 9 ■ дх$ дх% Ьх\ kR* дх\ найдем, что ось изгиба параллельна вектору s^m + s'un, а абсолютная его величина И это выражение зависит только от кристаллографической ориентировки оси стержня, т. е. от компонент qt ее орта q. В произвольной, в частности в кристаллофизической, системе координат Указательные поверхности модуля Юнга Е (q)> коэффициентов растяжения Е'1 (q), кручения G (q) и Пуассона v (q) для ряда кристаллов представлены на некоторых рисунках к § 24 и на §54] ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 337 Таблица 54.1 Тензор Zif = Sikjk Для всех кристаллографических и предельных классов (см. формулу E4-21)) Системы Три- клинная система
Моноклинная система цх,
Ромбическая система
Тетрагональная система Триго- нальная и гексагональная системы и текстуры
Кубическая система
Изотропные тела 4*6 2Sp 2S26 4 о 0 0 3/2Sll — 72S12 "T" 74S44 0 0 S11+V2S44 0 0 2sn —s12 0 0 Zif ~ sik)k 0 S22+74S66+74S44 0 S22+l/4See + 1/4«44 0 0 4 66 0 Si 1 + V4S44 + 74^66 0 0 /2S11- /2S12 /4S44 0 S11+72S44 0 0 2su—s12 0 /4^54 ~f~ /2^35 ~Ь /2^16 /4^50 ~Ь /2^24 H~ /2^34 2S35 0 0 S33+74S44+74S55 0 0 0 0 0 0 S33 +72*44 0 0 0 0 2sn—s12 338 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ ГГЛ VI рис. 54.3—54.10. Для кристаллов кубической системы они показаны на рис. 24.4, аи б и 24.7. Если тензор коэффициентов упругой податливости s для кристаллов кубической системы записать в Рис. 54.3. Указательные поверхности упругих свойств кристалла дигидрофосфата аммония (ADP), класс 42m: a) E~x (q), стереографическая проекция; б) G'1 {q), стереографическая проекция; в 10~13 см2/дин; в) G {q), сечения Симметрия поверхностей 4/ттт форме E2.13), то уравнения указательных поверхностей E~l (q) и G (q) принимают вид г = Я-1 (д) = S\4) + SNNOciklqiqjqkqh E4.22) r~G~Hq) = \ (S}4} -S\22))-2S{N4)№iikiqiqfqkqh E4.23) где коэффициенты S определяются формулами E2.15), а нонор № — формулой E2.14). Таким образом, ради усы-векторы этих поверх- §54] ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 339 ностей состоят из постоянного слагаемого (в E4.22) это S(/}) и нормальной составляющей нонора № [тЗт], умноженной на некоторый коэффициент (в E4.22) это S^vJ). Можно сказать, что указательные Рис 54.4. Стереографическая проекция указательной поверхности коэффициента кручения G~l (q) кристалла дигидрофосфата калия (KDP), класс 42т. Симметрия поверхности 4/mmm; в 103 см2/дин. Рис. 54.5. Стереографические проекции указательных поверхностей: а) коэффициент растяжения Е ~l (q); б) коэффициента кручения G'1 {q) кристалла пентаэритрита, класс 4, класс Лауэ 4/т. Симметрия поверхностей 4/mmm; в 10~13 см2/дин. поверхности E4.22) и E4.23) — линейные комбинации указательных поверхностей единичного скаляра (сферы г — 1) и единичного нонора № \tn3m] (см. рис. 47.5). Таким образом, поверхность, изображенная на рис. 47.5, оказывается универсальной указательной Рнс 54 6 Стереографические проекции (верхний ряд) и сечения плоскостью Х2Х9 (нижний ряд) указательных поверхностей упругих свойств кристалла турмалина, класс Зот: а) коэффициента растяжения Егг (q); в 10^ см2/дин; б) коэффициента кручения G~l (q): в 10"" см2/дин; в) коэффициента Пуассона v (q). Симметрия поверхностей Зт. Плоскость XtKt изотропна. 240 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ ГГЛ VI Рис. 54.7 Стереографические проекции (верхний ряд) и сечения плоскостью X2XS (нижний ряд) указательных поверхностей упругих свойств кристалла теллура, класс 32: а) коэффициента растяжения Е~г (q); в Ю3 см2/дин; 6) коэффициента кручения G г (q); в 10~13 см2/дин; в) коэффициента Пуассона v (q). Симметрия поверхностей Зт. Плоскость XiX2 изотропна. § 54] ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 341 342 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ ГГЛ VI поверхностью анизотропии упругих свойств всех кубических кристаллов. Она показывает, в частности, что плоскости {111} являются для них изотропными, а направления A00) и A11 > — экстремальными. 6) Рис. 54.8. Стереографические проекции указательных поверхностей: а) коэффициента растяжения Ё~х (q); б) коэффициента кручения G~l (q) кристалла КВ6О8 *4Н2О, класс тт2. Симметрия поверхностей ттт\ в 10~13 см2/дин. Рис. 54.9. Сечения координатными плоскостями указательных поверхностей коэффициента растяжения Е~х (у) (внутренняя поверхность) и коэффициента кручения G~x (q) (внешняя) кристалла сегнетовой соли, класс 222 Симметрия поверхностей tnmtn (Woos- ter, 1949) Указательные поверхности Е'1 (q) и G (q) для трансверсально- изотропных по упругим свойствам кристаллов приведены на рис. 24.6. Если тензор s записать в форме E2.9), их уравнения примут вид r= E4.24) -2S{NA)N]mqiqiqkqh E4.25) . 54| ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 343 1де D0 и № определяются формулами E2.10) и E2.11). Таким образом, эти поверхности оказываются линейными комбинациями сферы и указательных поверхностей тензоров D° [oolmm] и № [оо/тт] (см. рис. 47.1,6 и г). Коэффициенты разложения характеризуют роль отдельных неприводимых тензоров в формировании указательной поверхности. На рис. 54.3—54.5 приведены стереографические проекции и сечения указательных поверхностей упругих свойств кристаллов тетрагональной системы, с^ги указательные поверхности можно представить в виде линейных комбинаций сферы и указательных поверхностей D° [oo/mm], № [oolmm] и № [тЗт]. Как показывает рис. 54.5, у кристаллов класса Лауэ 4/т симметрия упругих свойств также 4/ттт, только плоскости симметрии упругих свойств не связаны у них с кристаллофизическими координатными осями. Указательные поверхности Е'1 (q) и G (q) кристаллов три- гональной системы (см. рис. 24.8—24.11, 54.6 и 54.7) — также линейные комбинации сферы и поверхностей D° [oo/mm], № [oo I mm] и № [m3m], но последняя берется в «ромбоэдрической» установке (ем. рис. 47.5, б). Так как для всех составляющих плоскость ХХХ2, т. е. @001), изотропна, она оказывается изотропной и для упругих свойств, что и подтверждается всеми этими рисунками. На рис. 54.7, б видно, что у кристаллов коэффициент Пуассона v (q) может принимать не только отрицательные значения, но и значения, большие 0,5, что у изотропных тел невозможно (см. формулу F3.23)). Поверхности упругих свойств кристаллов ромбической системы, приведенные на рис. 24.5, 54.8 и 54.9, можно получить линейным комбинированием из набора для тетрагональных кристаллов, дополненного рис. 47.6. Наконец, на рис. 54.10 представлена поверхность E~l (q) для ' кристалла моноклинной системы. Уравнения указательных поверхностей упругих свойств, в частности уравнения E4.22) — E4.25), можно получить путем линейного комбинирования уравнений поверхностей единичных неприводимых тензоров, приведенных в табл. 47.4. Рис. 54.10. Стереографическая проекция указательной поверхности коэффициента растяжения Я (q) кристалла этилендиа- минтартрата (EDT), класс 2. Симметрия поверхности 2/т; в 10~13
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кручение круглого кристаллического стержня» з дисципліни «Основи кристалофізики»
