Рассмотрим прямоугольный кристаллический брусок длины 2с, ширины 2а, толщины 2Ь, к торцам которого приложены изгибающие моменты М и — М соответственно. Свяжем с бруском специальную, вообще говоря, некристаллофизическую, систему декартовых координат ОХ\Х(Х'Ъ, как показано на рис. 54.1. Орты этой системы е'и е'2 и е'г обозначим m, n и q соответственно. Изгибающие моменты М и —М могут создаваться, в частности **), системой нагрузок, схематически изображенной на рис. 54.1: к торцу х'ъ = с приложены усилия Р = kx'2q (на единицу площади), а к торцу д?з = —с приложены усилия — Р. Изгибающий момент усилий, приложенных к торцу 4 = с, а Ь М = \ х*п х Р dS = J J х:2п х Ыд dx\ dx* = ±ab*km\ E4.1) S -a -b *) См. Ровенская, Сиротин и Ворошилов A972); Сиротин и Ровенская A973). **) Здесь используется принцип Сен-Венана, см. Лейбензон A947, § 49). § 54] ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 333 отсюда находим k = ЗМ/Aab3 и выражаем через величину изгибающего момента М граничные условия на торцах бруска х'ъ = ± с. Они равны а-(± д) = ± (ЗМ/АаЬ3) х'<д. Этим граничным условиям (а также уравнениям упругого равновесия) удовлетворяет тензор напряжений в специальной системе координат не равна нулю лишь одна его компонента aj = (ЗМ/Aab3) х'%. По закону Гука компоненты тензора деформации ^ E4.3) Штрихи здесь, как и в предыдущих формулах, показывают, что данная тензорная величина отнесена не к кристаллографической, а к специальной системе координат *). Так, коэффициенты s%3 вовсе не совпадают с табличными значениями коэффициентов упругой податливости, если только ребра бруска не направлены по соответствующим осям кристаллофизической системы координат; они связаны с табличными значениями коэффициентов упругой податливости данного кристалла s^ соотношениями si3 = Pv^P^vS^, в которых элементы матрицы преобразования Рх\ определяются косинусами углов между осями специальной и кристаллофизической координатных систем ее,- = cos (XU Xj), как показано в приложении Е. Изгиб бруска характеризуется постепенным изменением компоненты (pi вектора малых вращений при продвижении вдоль бруска, т. е. в направлении оси А^: изгиб г|> = dq)[/dx'z. Согласно формуле D9.17) dy'Jdx'i = Rot ej3. Подсчитав по формуле D3.13) правую часть этого равенства, найдем v" дх'% dxl "" dxi 2 dxi ' (Oq'q) Подставив сюда выражения E4.3) для компонент тензора деформаций, получим %. E4.5) Отношение D = УИЛ|> принято называть жесткостью бруска на изгиб. Заметив, что 1 /s'n — это модуль Юнга Е (д) в направлении длины бруска, получим D(g) = ±ab*E(q). E4.6) Оказывается, жесткость на изгиб не зависит (при заданном направлении вектора д) от ориентации векторов тип. *) Строго говоря, штрихи следовало бы помещать над индексами, как это делалось выше; они помещаются над самыми величинами лишь для простоты. 334 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VT В отличие от изотропных тел, анизотропные тела при изгибе закручиваются. Закручивание стержня естественно характеризовать изменением компоненты фз аксиального вектора малых вращений вдоль оси стержня Х^ т. е. производной О = ду'ъ1дх'ъ. Опять, используя формулы D9.17) и D3.13), получим дх[ дх'2 "" 2 \ дх[ dx'J' ^54'7^ а подставив сюда выражение E4.3) для компонент тензора деформаций, найдем E4.8) Заметив, что s'u = 2S3331 = 2qq ' s : qmy отнесем закручивание к произвольной системе координат: ъм. 8с1ЯЯт E4-9) Эта формула справедлива, в частности, и в кристаллофизической системе координат. Чтобы при расчете можно было непосредственно пользоваться табличными значениями коэффициентов упругой податливости Sky., формулу E4.9) целесообразно преобразовать к виду ЗМ E4.10) (*/~л=1, ..., 6), (qm + mq\ = qkmt + mkqx («~|i=lf ..., 6). Объем бруска при изгибе не изменяется: расширение одной его половины компенсируется сжатием другой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Изгиб прямоугольного кристаллического бруска» з дисципліни «Основи кристалофізики»
