В § 51 введены материальные тензоры s, с, а и Р, характеризующие упругие свойства, тепловое расширение и термоупругость кристаллов. Тензоры а и Р — симметричные тензоры второго ранга; влияние симметрии кристаллов на свойства, описываемые такими тензорами, подробно рассмотрено в гл. III. На рис. 24.1, 24.2, 24.3 показаны указательные поверхности теплового расширения некоторых кристаллов. В отличие от тензоров диэлектрической проницаемости, тепло- и электропроводности, тензор теплового расширения может иметь и отрицательные собственные значения. Поэтому указательные поверхности теплового расширения некоторых кристаллов, например кальцита и этилендиаминтартрата (ср. рис. 24.3 и 52.1), — черно-белые **), какими никогда не бывают указательные поверхности рассмотренных ранее материальных тензоров. Черные участки указательной поверхности соответствуют тем направлениям в кристалле, в которых линейные размеры при повышении температуры не увеличиваются, как обычно, а уменьшаются. Конус направлений, в которых тепловое расширение равно нулю, определяется уравнением сс/у^7/ = 0 относительно компонент единичного вектора q. Например, у кальцита этот вектор составляет угол 64°43' с главной осью симметрии Х3. Геометрию *) Доказательство см., например, Лейбензон A947, § 118) или Новожилов A958, гл. V, § 18). **) На этом и последующих рисунках положительные «черные» и отрицательные «белые» участки поверхностей отмечены соответственно знаками плюс и минус. 318 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VI 0° -10° -20° -Ж -W теплового расширения кристаллов подробно рассмотрел А. В. Шубников A956). Общий вид тензоров коэффициентов упругости и упругой податливости, инвариантных относительно всевозможных кристаллографических и предельных групп, приведен в табл. Д. 18. Однако из того, что общий вид этих тензоров в некоторых классах различен, еще не следует, что различна и симметрия упругих свойств соответствующих кристаллов. Так, из табл. Д. 18 и 47.1 видно, что число независимых инвариантов у тензора упругих свойств в обеих подсистемах тетрагональной системы одинаково. Разное же число независимых компонент и различный вид тензоров в высшей и низшей подсистемах может объясняться просто тем, что направления базисных векторов ех и е2 в низших подсистемах средней категории не определяются элементами симметрии кристалла. Поэтому для низшей подсистемы введем наряду с кристаллофизическим базисом еъ e2t е3 базис е\ = ex cos ф + е2 sin ф, е'ъ = — ег sin ф + е2 cos ф, т° 150° wo0 i70°mo-i7oo-wo° Рис. 52.1. Тепловое расширение кристалла этилендиаминтартрата, класс 2, в плоскости ^1-^2 (это не сечение указательной поверхности). (Мэзон, 1952.) E2.1) е'ъ = е3, выбрав угол ф так, чтобы компонента sj6 тензора обратилась в нуль: ; ^P 0 в этом базисе E2.2) Подставив в уравнение E2.2) элементы матрицы РХ'Л» описывающей поворот вокруг оси Х3 (см. формулу (Е.26)), и компоненты тензора для низшей подсистемы тетрагональной системы (см. табл. Д. 18), найдем V E2'3) Угол ф можно найти и из условия обращения в нуль компоненты с'к тензора с^. Так, получим § 52] СИММЕТРИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 319 Итак, в базисе E2.1), где угол ф определяется условием E2.3) или E2.4), тензоры s и с для низшей подсистемы тетрагональной системы принимают такой же вид, какой имеют в кристаллофизи- ческом базисе эти тензоры для высшей подсистемы той же системы. Отсюда следует, что все кристаллы тетрагональной системы составляют один класс упругой симметрии 4/mmm. Рис. 54.3—54.5 показывают, что указательные поверхности упругих свойств кристаллов обеих подсистем тетрагональной системы действительно имеют одну и ту же симметрию 4/mmm. Обе подсистемы тригональной системы также составляют один класс упругой симметрии Зт. Базис E2.1) для низшей подсистемы тригональной системы определяется условием ^-■£-£• E2-5) Хотя общий вид тензоров упругих свойств был установлен еще в XIX веке, то обстоятельство, что классы упругой симметрии Ът и 4/mmm совпадают с тригональной и тетрагональной системами, было замечено сравнительно недавно. Тензоры с и s, как и любые другие (см., например, § 83), можно разложить на неприводимые части. Эти неприводимые части выражаются через введенные в § 47 неприводимые тензоры с помощью изотропных тензоров Кронекера и Леви-Чивита. Разложение тензоров с и s проведем в два этапа. На первом этапе выделим из них симметричные по всем индексам части d4* и sD); оставшиеся части с<22> и s<22>, обладая внутренней симметрией [[V2]2] (см. §42), обращаются в нуль при симметрировании по всем индексам. Итак, первый этап разложения: s = SU> + S{«>, si*> = W si$>> = siikl - svm E2.6) (формулы для с совершенно аналогичны). Пользуясь методами теории представлений групп, можно показать, что s<4> разлагается на скалярную, девиаторную и нонорную части, a s<22> — на скалярную и девиаторную части. Внутренняя симметрия тензоров s<4> и s<22> однозначно (с точностью до численных коэффициентов) определяет вид разложений на втором этапе *): E2.7) sflg/-/wF,A* - «(/А/)) + [т (Plr%i+DlF%,)-D^6kl]. E2.8) *) Первый этап состоит в разложении тензоров си s на части, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы всевозможных линейных преобразований трехмерного пространства GL C); здесь {4} и {22}—обозначения соответствующих неприводимых представлений. На втором этапе каждая из них в свою очередь разлагается на части, преобразующиеся по неприводимым представлениям Di ортогональной группы оо ро т или 0C), — они и названы здесь неприводимыми частями. Подробнее об этом см. Сиротин A974); там же приведены формулы разложения на неприводимые части других материальных тензоров, 320 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ V! Свертывая правые и левые части этих равенств, легко найдем, как выражаются неприводимые тензоры Л4>, D<4>, ..., D<22> через тензоры s<4> и s<22>: sift, - = 3Sj$ -4/<M V Для кристаллов тех классов, у которых неприводимые девиа- торы и ноноры кратны единичным, т. е. D\f} = Sd}D|/), D//2> = ==Si?a>Z?f/) и т. д. (см. табл. 47.4), эти разложения существенно упрощаются и принимают вид у E2.9) Здесь коэффициенты S/4}^/{4} и s{22} = /<22} введены для единообразия записи. Разложения E2.7) и E2.8) объединены, но с помощью индексов {4} и {22} при коэффициентах S легко разделяются. Согласно теореме Германа (см. § 46) кристаллы гексагональной системы трансверсально изотропны по упругим свойствам, составляя вместе с текстурами класс упругой симметрии оо/тт. Все направления, составляющие с главной осью симметрии один и тот же угол, по упругим свойствам одинаковы, хотя у гексагональных кристаллов эти направления, конечно, кристаллографически различны. Это один из многих случаев, когда симметрия свойства кристалла выше симметрии самого кристалла. У кристаллов гексагональной системы и текстур девиаторы и ноноры кратны единичным, причем единичные девиатор й нонор определяются формулами 4 E2.10) | A;) E2.11) где k — единичный вектор главной оси симметрии; в кристалло- физической системе координат kt = б/3, а формулы E2.10) и E2.11) переходят в формулы для D0 [оо/тт] и N° [оо/тт] из табл. 47.4. § 52] СИММЕТРИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 321 Для этих кристаллов коэффициенты разложения E2.9) равны S\i} =1j(8sii + 3«» + 4s1, + 2s44), S jM"> = i- (_ Sll + 3s12'+4s18 - s^), SlDi} =^-(-8su + 6s33 + 2sls + s44), E2.12) Sn = -35- (su + s33 — 2s13 — S44). Тензор с разлагается тем же способом. В формуле E2.9) в применении к тензору с коэффициенты естественно обозначить CLJ, ... ..., С{/2>- Эти коэффициенты подсчитываются по формулам E2.12), где вместо sn, ..., s13 подставляются с1Ъ ..., с13, но вместо s44 следует подставлять 4с44. Если бы коэффициенты Cb4>, CL22} и C{Ni] или Si>4\ Sb22) nSJl4> обратились в нуль, тензоры коэффициентов упругости и коэффициентов упругой податливости оказались бы изотропными тензорами. Отсюда ясно, что эти наборы коэффициентов характеризуют анизотропию трансверсально-изотропных по упругим свойствам тел. Нетрудно убедиться, что обращение в нуль всех коэффициентов одного набора влечет за собой обращение в нуль и всех коэффициентов второго набора. С другой стороны, коэффициенты С/22} и С|>22} и соответственно S/22} и S|f2} характеризуют несимметричность тензоров с и s по индексам: если бы они обратились в нуль, внутренняя симметрия тензоров с и s была бы [К4]. Кристаллы кубической системы отличаются по симметрии упругих свойств от изотропных тел, составляя класс упругой симметрии тЗт. Ноноры для них кратны единичному, а девиаторы обращаются в нуль (см. табл. 47.1). Поэтому разложение E2.9) для кубических кристаллов еще упрощается и принимает вид = | (Si*> + 2SJ22>) a,A, +1 EL} - S}22>) («** E2.13) Единичный нонор кубической симметрии (его следовало бы обозначать № [тЗ/n], чтобы отличить от введенного выше № [оо/mm]), в согласии с § 47, имеет в кристаллофизической системе координат компоненты II при четырех равных индексах, —1/2 при двух парах равных индексов, E2.14) О в остальных случаях. "A Ю. И. Сиротин. М. П. Шаскольскзя 322 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VI Коэффициенты разложения E2.13) подсчитываются по формулам E2.15) Тензор коэффициентов упругости также определяется формулой E2.13), где место коэффициентов 5 занимают коэффициенты С; последние подсчитываются по формулам E2.15), в которые вместо sn, s12 и s44 подставляются соответственно сп, с12 и 4с44. Несимметричность тензоров с и s по индексам характеризуется соответственно коэффициентами С/22} и S}2'2}. Упругая анизотропия кубических кристаллов определяется коэффициентами CJvJ и Sjv\ причем из равенства нулю одного из них следует равенство нулю другого. Поскольку упругие постоянные существенно зависят от температуры, коэффициенты упругой анизотропии тоже зависят от температуры. Так, у каменной соли по мере повышения температуры упругая анизотропия уменьшается вплоть до температуры 690 К, при которой кристалл становится упруго-изотропным, а при дальнейшем повышении температуры знак упругой анизотропии (т. е. коэффициентов Cif} и Sif}) меняется. Степень упругой анизотропии измеряется безразмерным отношением Л = -^=2E"-%)> E2.16) Си—С12 $44 Х ' которое характеризует зависимость сопротивления кубического кристалла сдвиговой деформации от направления (ср. табл. 53.3). У изотропных и гиротропных тел тензоры коэффициентов упругости и упругой податливости изотропны: = 1 (S}4} + 25{22}) 6if8kl +1 (Sj4} - SJM)) Fufifl + 6ifi,k), E2.17) S\i]=slv S}22}=|(Sll-3s12); E2.18) аналогичные формулы справедливы для тензора с. Для изотропных тел из формул E1.11) следуют соотношения *) (Си - *ia) (sn - s12) = (сп + 2с12) (sn + 2s12) = cusu = 1, E2.19) а из формулы E2.16)— соотношения Си - с12 = 2cAV 2 (sn - sl2) = su. E2.20) *) Формулы E2.19) справедливы и для кристаллов кубической системы. § 53] ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 323 Для характеристики упругих свойств изотропных тел наряду с коэффициентами упругости и упругой податливости пользуются также модулем Юнга Е = l/sn, коэффициентом Пуассона v = = —s12/sn, модулем объемного сжатия К = (сп + 2с12)/3, модулем сдвига G = (сп — с12)/2 = l/s44 и коэффициентами Ламе X = с12 и |ы = G. Два независимых коэффициента полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Вообще об упругих свойствах кристаллов см. Александров и Рыжова A961); Musgrave A970); Auld A973); Dieulesaint, Royer A974); Krishnan A958); Krishnan, Radha, Gopal A971).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия упругих свойств кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
