При деформировании кристалла возникают силы, стремящиеся восстановить первоначальную конфигурацию. Силы эти, как показывает теория кристаллической решетки, относятся к близкодействующим: эффективный радиус их действия не превышает нескольких постоянных решетки (здесь не рассматриваются пьезоэлектрические кристаллы: их свойства будут обсуждаться отдельно). Но элементарные объемы, используемые в теории сплошных сред, велики по сравнению с элементарными ячейками кристалла; поэтому следует считать, что сила, действующая вследствие деформации на 308 УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ VI любой мысленно выделенный в кристалле объем, передается только через поверхность, ограничивающую этот объем. Тогда напряженное состояние в каждой точке *) кристалла характеризуется совокупностью сил Р dS, действующих на всевозможные проходящие через эту точку площадки с единичным вектором внешней нормали п и площадью dS (вектор Р имеет размерность напряжения: сила на площадь). Таким образом, напряженное состояние в точке определяется функцией Р (я), или, если ввести обозначения F = Р dS, N = = ndS, функцией F (N). Докажем, что эта функция линейна. Равенство F (XN) = XF (N), где X — произвольное (только не слишком большое) вещественное число, следует непосредственно из определения векторов F и N. Теперь представим себе, что плоская площадка, характеризуемая вектором N, заменена близкой к ней ребристой поверхностью, отдельные площадки которой характеризуются векторами Ns. Геометрическое рассмотрение показывает, что при этом £NS = N. А из физических соображений очевидно, что суммарная сила, действующая на площадку, не должна существенно зависеть от того, плоская или ребристая у нее поверхность, т. е. Ц/7 (Ns) = F (N). Объединив эти два равенства, получим F (UNs) = £F (Ns)* что и завершает доказательство. Так как вектор F — линейная функция вектора N, существует такой тензор второго ранга сг, не зависящий от N, что F = a-N (см. § 18), или, возвращаясь к первоначальным обозначениям, p = 0./i, pi = Oi/njt E0.1) Тензор а называется тензором напряжений; вполне определяя функцию Р (п), он исчерпывающе характеризует напряженное состояние в точке. Чтобы его найти, достаточно измерить силы (Л), действующие на три площадки с некомпланарными нормалями тогда компоненты Оц оказываются решением системы девяти линейных уравнений nf)Gij^Pf\ E0.2) Пусть, в частности, нормали к площадкам параллельны ортам: n{k^ = ek. Тогда /г(*) = б/л, так что система E0.2) принимает. вид Ои> = РР- E0.3) Таким образом, aik — это i-я компонента силы, приложенной к единичной площадке, внешняя нормаль к которой направлена по оси Xk. Так как сила, действующая на 1 см2 площадки с внешней нормалью nt равна Р = а • л, нормальная компонента этой силы *) Под точкой, как и всегда в механике сплошных сред, понимается элементарный объем, § 50J ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 309 л-Р = л-а-л =■ oiknink, a полная скалывающая (т. е. лежащая в плоскости площадки) составляющая Р — пп-Р — (I — пп)в-п. Скалывающее (сдвиговое) напряжение в заданном направлении / равно 1-а-п = а/*///гЛ; единичный вектор / лежит в плоскости площадки и, следовательно, перпендикулярен к вектору п. Мысленно выделим в теле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Если на каждый элемент поверхности dS действует сила Р dS = a-ndS, то на весь объем действует сила F= § Р dS = & а • п dS9 Ft = ф Pt dS = <Ь о^/г* dS. E0.4) Интеграл по замкнутой поверхности, согласно теореме Гаусса — Остроградского (см. § 43), можно преобразовать в интеграл по ограничиваемому этой поверхностью объему: F= ф а • л dS = J Div <r* dl/, ^ = § owi* dS = J ^7 dl/- E0-5) si/ s v С другой стороны, по второму закону Ньютона tfcdV. Ъ-у°*М. E0.6) Сравнивая это с E0.5), получим Так как это равенство справедливо при любом выборе объема V', должны быть равны подынтегральные выражения Это уравнения движения упругого тела —так называемые уравнения эластодинамикпу или уравнения Коши. Уравнения равновесия упругого тела —уравнения эластостатики Div**=0, 1^=0, E0.8) являются их важным частным случаем. Если на тело действует еще объемная сила / (размерность этого вектора — сила/объем), она должна быть прибавлена к левым частям уравнений E0.7) и E0.8). Например, уравнения Коши при наличии объемных сил принимают вид £ ^// = p^-. E0.9) 310 упругость кристаллов [гл. vi Подсчитаем теперь момент сил, действующих на мысленно выделенный объем V с поверхностью S. С учетом объемных сил он равен E0.10) dV. Дальнейшие выкладки удобнее проводить в координатной форме. Выразим поверхностные усилия Pk через тензор напряжений и преобразуем поверхностный интеграл в объемный: Ф XjPk dS = ф хрмЩ dS = \ —gj— dV. Заметив, что 3 (xjOkl)/dxi = XjdGki/dxt + a,ddxj/dxh причем dxj/dxi = 8Jh так что <ykldxj/dxi = okjy перепишем формулу E0.10) в виде Mi = J 8,ул*у (-^ + /ft) dl/ + ij 8iy*aft/ dl/. E0.11) В подынтегральном выражении первого интеграла сумма, заключенная в скобки, равна силе, действующей на единицу объема тела (ср. уравнение E0.9)), а все подынтегральное выражение — ее моменту. Таким образом, все действие моментов поверхностных усилий и объемных сил на выделенный объем сводится к первому интегралу, а второй должен равняться нулю. Ввиду произвольности объема V отсюда следует, что обращается в нуль подынтегральное выражение 0. E0.12) Эти три равенства означают, что тензор напряжений а симметричен. Действительно, развернув первое из них, получим Ь^ко^ = а32 — — (т23 = 0, а второе и третье дадут а13 — а31 = 0, а21 — а12 = 0. В последнее время изучаются модели сплошных сред с внутренними степенями свободы, в которых тензор напряжений может оказаться несимметричным. Представим себе, например, сплошную среду, в которую равномерно вкраплены частицы, способные поворачиваться относительно среды, причем при таком повороте в среде возникают силы, стремящиеся вернуть частицы в первоначальное положение. Таковы, скажем, вкрапленные в сплошную среду намагниченные или электрически-поляризованные частички. Если подобную среду поместить в электрическое или магнитное поле, на каждую частицу будет действовать вращающий момент; сумма всех моментов, действующих на частицы, содержащиеся в единице объема, называется объемным моментом т. Кроме того, момент может передаваться через поверхность: на единичную площадку с внешней нормалью п действует поверхностный момент Q, связанный с псевдотензором моментных напряжений fi так же, как поверхностные усилия Р — с тензором напряжений (У: Q = li п. § 501 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ Для такой среды равенство E0.10) заменится следующим: Тогда вместо E0.11) получим dS+ [ biikXjfk + & Qi dS + \ гщ dV. V S V dV+ \ l-pL+mi--bijiflfb) dV. Очевидно, подынтегральное выражение во втором интеграле имеет смысл суммарного момента, действующего на частицы, заключенные в единице объема. Ввиду малости моментов инерции частиц его можно считать равным нулю, так что антисимметричная часть тензора напряжений равна Таким образом, антисимметричная часть тензора напряжений уравновешивает объемные моменты и моменты, вызванные моментными напряжениями. В отсутствие же объемных моментов и моментных напряжений тензор напряжений а симметричен *). См. об этом Аэро и Кувшинский A960); Кувшинский и Аэро A963); Пальмов A964). Выведем средние значения тензора напряжений > J odV, и его момента <г х а) = 4" f r x a dV> (bjuXjOkt) = -1- f 6i/kx,okl dV E0.14) V V для упругого тела, находящегося в равновесии под действием приложенных к его поверхности нагрузок Р. Рассмотрим дивергенцию -^ (хкоц) = -££- ои + xk -^. Так как 8ki, первое слагаемое равно oik. Второе же слагаемое вследствие уравнений равновесия равно нулю. Поэтому среднее значение тензора напряжений выражается через поверхностный интеграл = ~y j <*ik dV = -у- j ^ (xkau) dV = -y- § xkauni dS = -y- J Ptxk dS. *) Легко проверить, что учет моментов объемных сил не изменит этого вывода. Однако если существуют объемные моменты, то их плотность, очевидно, будет б й б Одо ущствуют объмны момент, то х плотность, очевидно, будет равна //г/ = —Oiju^kj— б///га/л» и в этом случае тензор напряжений обязательно будет несимметричен, Такие случаи мы рассматривать не будем. 312 упругость кристаллов [гл vi Итак, (aik) = 4" § PiXk dS* <a> = 4" § Pr dS- E0> 15^ Рассмотрим теперь дивергенцию д Рассуждая как в предыдущем выводе, найдем, что Заметим теперь, что 8 потому что 6ijkGkJ = 0 вследствие симметричности тензора напряжений. Это позволяет выразить через поверхностный интеграл и среднее значение момента тензора напряжений: E0.16) Таким образом, средние значения тензора напряжений и его момента можно найти по поверхностным нагрузкам, не решая уравнений теории упругости. Полученный результат особенно важен в тех случаях, когда поверхность тела свободна от нагрузок. При этом поле тензора напряжений оказывается самоуравновешенным: сам тензор может быть отличен от нуля, но средние значения его и его момента должны равняться нулю. Отсюда следует, в частности, что если какая-либо компонента тензора (или его момента) не равна тождественно нулю, она обязательно меняет знак, т. е. принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензор напряжений» з дисципліни «Основи кристалофізики»
