Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Основи кристалофізики

Внешняя симметрия и изображение тензоров и псевдотензоров

Материальные тензоры описывают свойства кристалла. Пусть
с кристаллом связана декартова система координат. Набор
компонент материального тензора относительно этой системы координат
численно характеризует соответствующее свойство. Подвергнем
координатную систему какому-либо ортогональному
преобразованию. Компоненты материального тензора относительно новой
системы координат, вообще говоря, не равны одноименным его
компонентам относительно старой системы. Однако если данное
преобразование входит в группу симметрии кристалла, то
компоненты материального тензора относительно новой системы
совпадают с его компонентами относительно старой. Действительно, если
две системы координат связаны между собой преобразованием
симметрии кристалла, их расположение относительно кристалла,
в сущности, одинаково. Следовательно, материальный тензор
кристалла инвариантен относительно всех преобразований
симметрии этого кристалла.
Отсюда следует, что материальный тензор кристалла,
обладающего определенной симметрией, не может быть вполне произвольным,
а должен удовлетворять некоторым требованиям, вытекающим из
симметрии кристалла *). Сформулируем эти требования
аналитически. Пусть А — материальный тензор ранга г, а || d>k II =
= II d'k (g) II — матрица какого-либо преобразования g симметрии
кристалла, свойства которого этот тензор описывает. Подвергнем
кристалл преобразованию g. В новой системе координат компоненты
тензора примут вид
Л,/ {'=с{'ь ...Cs.A. . . D4.1)
ix ... lr iikl irkr fej ... kr ^ f
Но так как g — преобразование симметрии кристалла, компоненты
тензора в новой сгстеме координат должны совпадать с его
компонентами в старой системе. Это можно записать следующим образом:
Аг* 1' = Ь'к...б1'кАк к. D4.2)
Сравнивая D4.1) и D4.2), получим
(c,'b ...с,*. — 6£'k .шш6£'ь\Аь . ==о D4.3)
и эти Зг равенств должны выполняться для любой матрицы
II Ci>k (g) ||, если только g — одно из преобразований симметрии
кристалла. Таким образом, равенства D4.3) представляют со-
*) Эти условия, налагаемые на материальные тензоры, необходимы, но
никоим образом не достаточны. В гл. VII излагаются требования, которые
предъявляет к материальным тензорам термодинамика кристаллов.
§ 44] ВНЕШНЯЯ СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ 261
бой систему линейных уравнений, которым должны удовлетворять
компоненты тензора А, если этот тензор описывает свойства
кристалла.
Число уравнений в системе D4.3) равно порядку точечной группы
кристалла, умноженному на Зг, но независимых уравнений среди
них значительно меньше: если тензор А удовлетворяет уравнениям
D4.3) для матриц, соответствующих генераторам (порождающим
элементам) точечной группы кристалла, то он удовлетворяет и всем
остальным уравнениям *). Действительно, если тензор инвариантен
относительно преобразований gx и g2, он, очевидно, инвариантен
также и относительно всевозможных степеней и произведений этих
преобразований.
Для материального псевдотензора В формулу D4.3) следует
несколько изменить. В новой системе координат компоненты
псевдотензора В равны
...ci>rBkx mkr, D4.4)
где А — определитель матрицы косинусов || d>k ||. Формула же
D4.2) остается верной и для псевдотензоров Сравнивая D4.2)
и D4.4), получим вместо D4.3) формулу
fe ,=0. D4.5)
Рассмотрим прежде всего, как влияет на материальные тензоры
наличие у кристалла центра симметрии. В этом случае
материальные тензоры должны быть инвариантны относительно инверсии.
Соответствующая инверсии матрица косинусов cck = — 8^, ее
определитель Д = —1. Подставив d>k в формулу D4.3), получим
[(-ir-iie^.-e^Ai...*,-0- D4-6>
Результат зависит от того, четный ранг тензора г или нечетный.
При четном г имеем тождество
0-Л/ / = 0,
lx ... ьг
которое удовлетворяется при любом тензоре А. Таким образом,
все тензоры четного ранга инвариантны относительно инверсии,
или, другими словами, центросимметричны. При нечетном же г
Это значит, что при наличии у кристалла центра симметрии все
материальные тензоры нечетного ранга обращаются б нуль; иными
словами, центросимметричные кристаллы не обладают никакими
свойствами, характеризуемыми тензорами нечетного ранга.
*) О генераторах точечной группы см, § 5,
262 симметрия тензоров высших рангов (гл. v
Если рассматривается не тензор, а псевдотензор, то вследствие
наличия в формуле D4.5) множителя А, равного в случае
инверсии —1, в формуле D4.6) придется г заменить на г + 1. Поэтому
все материальные псевдотензоры нечетного ранга центросимметрич-
ны; напротив, все материальные псевдотензоры четного ранга у
центросимметричных кристаллов обращаются в нуль.
В связи с результатами решения этой задачи целесообразно
ввести новую классификацию тензоров. Истинные тензоры четного
ранга и псевдотензоры нечетного ранга называются тензорами
четного типа; все они, как показано, инвариантны относительно
инверсии. Истинные же тензоры нечетного ранга и псевдотензоры
четного ранга называются тензорами нечетного типа; они при
инверсии меняют знаки всех компонент на обратные. Исследуя
соотношения дуальности (§ 42), мы видели, что одну и ту же
величину можно рассматривать и как истинный тензор, и как
псевдотензор. Поэтому, говоря, что какая-то величина является, скажем,
псевдотензором, мы характеризуем, в сущности, не саму эту
величину, а лишь способ ее записи. Напротив, четность или нечетность
действительно является существенным свойством величины.
Например, малые вращения сплошной среды (см. § 49) можно описывать
о
как аксиальным вектором <р, так и дуальным ему антисимметричным
тензором второго ранга ©, но при обоих способах записи этой
величины мы используем тензоры одного и того же — а именно четного —
типа.
Поскольку все материальные тензоры четного типа центросим-
метричны по самой своей природе, они «не чувствуют», есть у
кристалла центр симметрии или его нет. Если мы мысленно добавим
к операциям симметрии кристалла инверсию (а также и
произведения инверсии на все операции симметрии), это не наложит никаких
новых ограничений на вид материального тензора четного типа.
Отсюда следует, что по симметрии свойств, описываемых тензорами
четного типа, кристаллы подразделяются не на
кристаллографические классы, а лишь на классы Лауэ, или подсистемы (напомним,
что точечные группы всех нецентросимметричных классов, входящих
в данную подсистему, после добавления к их порождающим
элементам инверсии переходят в точечную группу единственного цен-
тросимметричного класса той же подсистемы, см. § 6). Таким
образом, число разновидностей симметрии свойств четного типа у
всевозможных кристаллов не превышает 11, а с учетом сред предельной
симметрии — 14.
Свойствами нечетного типа могут обладать, как уже отмечалось,
лишь нецентросимметричные кристаллы; число разновидностей
симметрии этих свойств не превышает поэтому числа
нецентросимметричных кристаллографических точечных групп, т. е. 21; при
учете и предельных групп это число возрастает до 25.
§ 44] ВНЕШНЯЯ СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ 263
Материальный тензор кристалла инвариантен относительно всех
преобразований симметрии кристалла, но, вообще говоря, не
только относительно них. Например, материальный тензор четного
типа инвариантен относительно инверсии даже тогда, когда
кристалл, свойство которого он описывает, нецентросимметричен.
С другой стороны, при анализе различных кристаллофизических
ситуаций с помощью принципа Кюри нужно знать, относительно
каких операций симметрии инвариантен тот или иной полевой
тензор. А. В. Шубников ввел понятие симметрии тензора,
применимое как к материальным, так и к полевым тензорам *)
(впоследствии ее назвали внешней симметрией, в отличие от внутренней):
группа внешней симметрии тензора — это совокупность всех
ортогональных преобразований, относительно которых инвариантен
данный тензор.
Прямой метод определения внешней симметрии тензора
предложили Л. И. Седов и В. В. Лохин **). Они рассматривают набор
основных формул теории внешней симметрии тензоров D4.3) как
систему уравнений относительно матричных элементов d'k, тензор
же А считают заданным. Каждое решение этой системы — матрица
преобразования, относительно которого инвариантен тензор А.
Среди матриц, удовлетворяющих уравнению D4.3), могут оказаться
и неортогональные; согласно определению внешней симметрии
тензора их следует исключить из рассмотрения. Оставшиеся
ортогональные матрицы составляют группу внешней симметрии
тензора А.
В принципе этот метод позволяет выяснить группу внешней
симметрии любого тензора, заданного своими компонентами в
произвольной системе координат, однако применять его нелегко:
уравнения D4.3) линейны лишь относительно компонент тензора
Akl ... Akr, а относительно матричных элементов d>k — это уравнения
степени г (г — ранг тензора).
Л. И. Седов и В. В. Лохин доказали, что любую
кристаллографическую и предельную группу можно определить как группу
внешней симметрии некоторого тензора или как пересечение (общую
часть) групп внешней симметрии нескольких тензоров.
Материальные тензоры кристаллов зависят от температуры,
частоты и других скалярных параметров. Поэтому наряду с
внешней симметрией материальных тензоров в теоретической
кристаллофизике рассматривают также внешнюю симметрию материальных
*) Шубников A949). См. также Желудев A957) и Копцик A958).
**) Лохин и Седов A963) или Седов (A970), добавление I). См. также Мало-
леткин и Фомин A972).
В статье Лохина и Седова A963) рассматривается вся группа преобразований,
определяемая данным тензором, даже если в нее входят и неортогональные
преобразования (растяжения, сдвиги и т. п.). Для наших целей, однако, достаточно
рассмотреть ортогональную подгруппу этой группы. Ср, Вакуленко A972),
264 симметрия тензоров высших рангов [гл v
тензор-функций — тензор-функций скалярных параметров *).
Различным наборам скалярных параметров %, со2, ... соответствуют
различные материальные тензоры A (%), А (со2), ... Их группы
симметрии G (A (со^), G (А (со2)), ... содержат, как правило, одни
и те же элементы симметрии, но ориентация их у различных
тензоров может оказаться различной. Группой внешней симметрии
G(@) (А) материальной тензор-функции А (со) называется
пересечение (общая часть) этих групп:
((о2))П ... = ПС(А(<*/)). D4.7)
В группу G((u) (А) внешней симметрии тензор-функции А (со)
входят те и только те преобразования, которые переводят в себя
тензор А при любых значениях параметров. С другой стороны,
согласно принципу Неймана, все элементы точечной группы
симметрии кристалла G должны входить в группы внешней симметрии
всех материальных тензоров этого кристалла, а следовательно,
и в группы симметрии материальных тензор-функций. Отсюда
вытекает выведенное Копциком A966) соотношение между
группами симметрии кристалла G, материального тензора G (А) и
материальной тензор-функции G((u) (A):
G(AJG^(AJG. D4.8)
Рассмотрим некоторые примеры. Все материальные векторы
кристаллов, имеющих ось симметрии, направлены по этой оси, и
потому симметрия не только каждого отдельного материального
вектора, но и множества всех мыслимых материальных векторов
равна oom. Но материальные векторы кристалла класса т могут
иметь любое направление, лежащее в плоскости симметрии, и
потому, хотя симметрия каждого отдельного вектора по-прежнему
oom, симметрия всей их совокупности — всего лишь т.
Аналогично, каждый отдельный материальный тензор W2]
кристалла любого класса моноклинной системы имеет симметрию
ттту но у всего множества таких тензоров лишь одна общая ось
симметрии второго порядка и одна общая плоскость симметрии,
так что группа симметрии этого множества 2/т.
Перейдем к обсуждению методов изображения тензоров и
псевдотензоров произвольного ранга. В § 22 описаны два типа
поверхностей, изображающих симметричные тензоры второго ранга:
характеристические и указательные. Для изображения тензоров
высших рангов используются обычно только указательные
поверхности. В полярных координатах уравнение указательной поверх-
♦) О симметрии тензор-функций см, также Копцик A966),
> 44]
ВНЕШНЯЯ СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
265
ности симметричного тензора Т ранга р имеет вид
г (О, Ф) = Гг1...Л...^ D4.9)
(пх = sin d cos ф, /22 = siiT& sin cp, ns = cosi&).
Если подставить в это уравнение компоненты тензора или
псевдотензора А, внутренняя симметрия которого не равна [Vp]
или t\Vp], на форму указательной поверхности окажет влияние
только его симметричная часть Tix ... t = A{il ... ip)J так как
Как уже отмечалось (§§ 22, 24), указательная поверхность может
состоять из белых (положительных) и черных (отрицательных)
оо
/77
/7
л
6)
п л
8)
Рис. 44.1. Диаметры указательных поверхностей: а) истинного тензора четного типа,
б) истинного тензора нечетного типа, в) псевдотензора четного типа, г) псевдотензора
нечетного типа Диаметры б), в) и г) представляют собой полярное, аксиальное и винтовое
направления соответственно Точкой обозначен центр указательной поверхности Знаки
плюс и минус соответствуют белому и черному цвету поверхности на конце данного
диаметра, а буквы /7 и Л — правому и левому вращению. Ср. Шубников A958. рио. 117)
и Шубников и Копцик A972, рио. 74).
частей: первые соответствуют положительным значениям г,
вторые — отрицательным. Некоторые из поверхностей, приведенных
в § 24, — указательные поверхности тензоров высших рангов.
Например, поверхности коэффициента растяжения (см. рис. 24.5—24.11)
являются, в сущности, указательными поверхностями
материального тензора четвертого ранга s\r}ki = s(ijki)> где s — тензор
коэффициентов упругой податливости (см. §§ 51—53), а поверхности
коэффициента кручения (см. рис. 24.6, 24.10, 24.11) —
указательными поверхностями материального тензора Qijkl = 2 (Z{{k8ji) —
—sWki))> гДе ztk = Simkm, (ср. с формулами E4.20) и E4.21)). Много
таких поверхностей их сечений и их стереографических проекций
(см. §24) приведено в последующих главах! рис. 54.3—54.10,
56.4, 58.1—58.3, 75Л и др.
266
СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ
[ГЯ V
Сравним указательные поверхности тензоров четного и нечетного
типа. Так как тензоры четного типа центросимметричны, то центро-
симметричны и их указательные поверхности: г (п) = г (— п).
Поэтому любой диаметр указательной поверхности тензора четного
типа состоит из двух равных по величине и соответствующих одному
и тому же знаку радиусов (рис. 44.1, а); симметрия его оо/mm.
Рис. 44.2. Указательная поверхность продольного пьезоэлектрического эффекта в
кристалле турмалина (класс Зт) — пример указательной поверхности тензора нечетного
типа: а) стереографическая проекция, в центр проекции выведена ось Х8 — [0001J; б) то
же, но в центре ось Хх — [2ТГо]; в 10"8 ед СГСЭ; в) сечение указательной поверхности
плоскостью XtX8 — B*110). Группа симметрии поверхности Зт, группа антисимметрии
З'т (см. § 68) (Бутабаев и Сиротин, 1973).
Тензоры нечетного типа антицентросимметричны: при инверсии
они меняют знак на обратный *); таковы же их указательные
поверхности: г (п) = — г (— п). Любой диаметр такой указательной
поверхности состоит из двух также равных по величине, но
соответствующих противоположным знакам радиусов (рис. 44.1, б);
симметрия его oom. Направления в кристалле, симметрия которых
*) С этим обстоятельством связана антисимметрия этих поверхностей,
см. §§ 67, 68.
§44]
ВНЕШНЯЯ СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
267
не превышает oom, называются полярными (см. § 3 и приложение В).
Из принципа Кюри вытекает, что диаметры указательных
поверхностей материальных тензоров нечетного типа могут быть отличны
от нуля лишь в тех направлениях, которые в данном кристалле
являются полярными. Две стереографические проекции и сечение
поверхности продольного
пьезоэлектрического эффекта в кристалле турмалина
(класс 3/т?) показаны на рис. 44.2 — это
указательная поверхность
материального тензора третьего ранга fijk = dWk),
где d — тензор пьезоэлектрических
коэффициентов (см. § 58).
Указательные псверхности
симметричных псевдотензорсв также
описываются уравнением D4.9), но радиусы-
векторы этих поверхностей
преобразуются, очевидно, не по векторному, а по
псевдсвекторному закону, т. е. являются
аксиальными векторами. Поэтому
каждой точке указательной поверхности
псевдотензора приписывается не знак
(как точкам указательных поверхностей
истинных тензоров), а вращение в том
направлении, в каком вращается
аксиальный радиус-вектор данной точки.
Условимся называть данную точку
указательной поверхности псевдотензора
правой, если при взгляде на нее с
внешней стороны поверхности вращение
представляется происходящим против
часовой стрелки (соответственно при взгляде
изнутри, т. е. вдоль радиуса-вектора — по часовой стрелке), и
левой — в противоположном случае.
Сравним теперь указательные поверхности псевдотензоров
четного и нечетного типа. Указательные поверхности псевдотензоров
четного типа (т. е. нечетного ранга) центросимметричны. Значит,
каждый диаметр такой поверхности состоит из двух радиусов равной
длины и одинакового направления вращения (рис. 44.1, в);
симметрия его оо/т. Направления в кристаллах, симметрия которых не
превышает оо/т, называются аксиальными, так что диаметры
указательных поверхностей материальных псевдотензоров четного
типа отличны от нуля только в аксиальных направлениях. Пример
такой поверхности см. на рис. 44.3.
Диаметры указательных поверхностей псевдотензоров нечетного
типа состоят из радиусов равной длины и противоположного
направления вращения (см. рис. 44.1, г); симметрия их оо2. Направления
Рис. 44.3. Указательная
поверхность аксиального
вектора — пример указательной
поверхности псевдотензора четного
типа. Симметрия поверхности
оо/т. Круговые стрелки
указывают направления вращения.
Буквами Я и Л отмечены части
поверхности, состоящие
соответственно из правых и левых
точек. Справа — аксиальный
вектор соответствующей длины и
направления. Ср. с
указательной поверхностью полярного
вектора, рис. 22.3.
268
СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ
[ГЛ V
такой и более низкой симметрии в кристаллах называются
винтовыми — диаметры указательных поверхностей материальных
псевдотензоров нечетного типа отличны от нуля только в винтовых
направлениях. Пример указательной поверхности псевдотензора
нечетного типа см. на рис. 44.4. Это указательная поверхность
псевдотензора второго ранга симметрии 42т, матрица которого
в системе ХгХгХъ имеет вид
I— G О О
О G О , D4.10)
0 0 0
если правому вращению приписывать знак минус, а левому — плюс.
Этот псевдотензор описывает оптическую активность кристаллов
/77'
Рис 44.4. Указательные поверхности: а) симметричного псевдотензора второго ранга
симметрии 42/я, б) симметричного тензора второго ранга с такими же компонентами —
его симметрия ттт, антисимметрия А'/ттт', см. § 68 (по Шубникову A951)).
классов 42т, 4, тт2, и т, в частности вращение плоскости
поляризации света в кристаллах классов 42т и 4 при совпадении главных
показателей преломления No и Ne (см. § 81) *).
Если все одноименные компоненты истинного тензора и
псевдотензора того же ранга совпадают, то их указательные
поверхности имеют одинаковые очертания. Однако так как
радиусы-векторы, образующие эти две поверхности, имеют различный смысл
и различную симметрию, смысл и симметрия самих поверхностей
также различны. Это видно, например, при сравнении указательных
поверхностей полярного вектора (см. рис. 22.3) и аксиального
вектора (рис. 44.3). Другой пример: такие же очертания, как у
приведенной на рис. 44.4, а указательной поверхности псевдотензора
*) Правому вращению соответствуют в нашем определении правые части
указательной поверхности. По принятому в оптике определению при повороте
плоскости поляризации по правому винту вращение считается левым (см. § 81)
и соответствует отрицательным значениям нормальной составляющей
псевдотензора Gij, С этим согласуется выбор знака в матрице D4,10),
§ 45] МЕТОД ПРЯМОЙ ПРОВЕРКИ 269
второго ранга симметрии 42 т, имеет указательная поверхность
истинного тензора второго ранга, компоненты которого
определяются той же матрицей D4.10) (рис. 44.4, б). Однако симметрия
этого тензора и его указательной поверхности совершенно иная:
это группа ттт, как и у всякого симметричного тензора второго
ранга с тремя различными собственными значениями (— G, G и 0) *).
Таким образом, симметрия указательных поверхностей правильно
определяется лишь при учете того обстоятельства, что
составляющих их точкам приписан цвет (знак) или направление вращения,
т. е. того, что эти поверхности представляют собой, по выражению
А. В. Шубникова A951), материальные фигуры.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Внешняя симметрия и изображение тензоров и псевдотензоров» з дисципліни «Основи кристалофізики»