Распространение электромагнитных волн в прозрачном немагнитном кристалле определяется уравнениями Максвелла votH rot£ C4Л> divZ> = 0, div/7 = 0 C4.2) и материальным уравнением E = r\ D, Et = r]ikDk. C4.3) Здесь Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного полей, D — вектор электрической индукции, с — скорость света. Слагаемые, соответствующие электрическому току и свободным зарядам, отсутствуют ввиду предположения, что кристалл прозрачен, т. е. является идеальным диэлектриком. Если кристалл не магнитен, векторы напряженности магнитного поля Н и магнитной индукции В равны друг другу. Тензор диэлектрической непроницаемости т\ зависит от частоты; при оптических частотах (со ~ B,5 — 5)-1016 с), т. е. в видимой, ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра, его собственные значения значительно ближе к единице, чем при статических или медленно меняющихся полях. Для большинства кристаллов собственные значения т) (в видимой области спектра) заключены в пределах от 0,17 для алмаза до 0,62 для льда. Как и в электростатике тензор т) симметричен: доказательство этого основано на термодинамике необратимых процессов *). Если переменное электромагнитное поле распространяется в кристалле в виде плоских электромагнитных волн, зависимость *) См. Ландау и Лифшиц A957, §§ 76, 88). Там доказана симметричность тенздра диэлектрической проницаемости. Ясно, что обратный ему тензор диэлектрической непроницаемости тоже симметричен, 212 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ IV полевых векторов £, Д Н от пространственных координат г и времени t определяется формулами E(r, t) = Eoexp(ik-r — i<ut)t D(r, t) = Doexp(ik'r-i<ut), C4.4) //(г, t) = ffoexp(ikr — i(ut). Здесь со — циклическая частота, k — волновой вектор. Он перпендикулярен к плоскости волнового фронта и связан с другими характеристиками волны равенствами k^m=^m = ^nmt C4.5) в которых т — единичный вектор волновой нормали, X — длина волны, v — ее фазовая скорость. Отношение скорости электромагнитной волны в вакууме к ее фазовой скорости в данной среде п = ф C4.6) называется показателем преломления этой электромагнитной волны в данной среде. Это же определение показателя преломления принимается и для волны в анизотропной среде. Как уже отмечалось, обобщая на анизотропные среды те характеристики вещества, которые применяются в физике изотропных сред, необходимо точно указывать способ их обобщения. В приведенном определении это и сделано: в оптике изотропных сред показатель преломления п для данной среды, с одной стороны, равен sin/ где i — угол падения, г — угол преломления, а с другой — отношению фазовых скоростей света в вакууме и в среде C4.6). Именно второе свойство показателя преломления используется при обобщении этого понятия на анизотропные среды. В электромагнитной волне, распространяющейся в анизотропной среде, пространственные соотношения между полевыми векторами D9 Н и Е значительно сложнее, чем в изотропной. Они определяются уравнениями Максвелла C4.1) и C4.2); в эти уравнения следует подставить выражения C4.4) для полевых векторов волны. Действие на экспоненциальные векторные функции вида C4.4) операций rot, div и d/dt сводится к векторному и скалярному умножению на ik и к умножению на —ico соответственно. Поэтому уравнения C4.1) принимают для плоских волн вид kxfi=-j-D, kxE=^H, C4.7) а уравнения C4.2) — вид k-D = Ot k-H=0. (84.8) i 34] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ 213 .Уравнения C4.8) означают лишь перпендикулярность векторов D и Н волновому вектору k\ так как она следует уже из уравнений C4.7), уравнения C4.8) можно просто опустить Векторы D и Н лежат в плоскости волнового фронта — к этому сводится попереч- ность электромагнитных волн в анизотропных средах. Кроме того, из уравнений C4.7) следует взаимная перпендикулярность векторов Н и D9 а также векторов Н и Е (рис. 34.1). Итак, в анизотропной среде сохраняется ортогональность и синфаз- ность векторов Е и А/, а также векторов Dh //, но не сохраняется коллинеарность векторов D и Е. Сократив уравнение C4.7) на ю/с, представим уравнения Максвелла для плоских электромагнитных волн в анизотропной среде в виде птхH = — D, птхЕ = Н. C4.9) Исключив из них напряженность магнитного поля Н, получим соотношение между вектором напряженности электрического поля и вектором электрической индукции в плоской электромагнитной волне Рис. 34.1. Пространственные соотношения между полевыми векторами электромагнитной волны в немагнитной анизотропной среде. которое после элементарных преобразований приобретает форму Е-тт E=-2D. C4.10) Левая часть соотношения C4.10) — составляющая вектора £, лежащая в плоскости волнового фронта (рис. 34.1). Она колли- неарна вектору электрической индукции, а отношение ее длины к длине вектора индукции равно квадрату отношения скорости волны в среде к скорости ее в вакууме. Электромагнитная волна по-прежнему поперечна, но в плоскости волнового фронта теперь лежат только векторы индукции, а векторы напряженности могут выходить из этой плоскости. С помощью материального уравнения C4.3) исключим еще напряженность электрического поля из соотношения C4.10) (ц-тт = -^. C4.11) Полученное векторное уравнение определяет скорость и поляризацию распространяющейся через кристалл в направлении т электромагнитной волны. Для его исследования введем специаль- 214 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ IV ную декартову систему координат X1X2XS: ось Xs направим по нормали к волне (е3 = т), а взаимно перпендикулярные оси Хг и Х2 окажутся в плоскости волнового фронта. Учитывая, что в специальной координатной системе ввиду поперечности вектора электрической индукции D9 — О, запишем векторное уравнение C4.11) в этой системе: C4.12) оно свелось всего к двум скалярным уравнениям, так как третье представляет собой тривиальное тождество 0 = 0. Система уравнений C4.12) показывает, что п~2 — собственное значение двумерного симметричного тензора с компонентами Рис. 34.2. Плоскости поляризации и плоскости колебаний двух волн при двойном лучепреломлении. a D — его собственный вектор. Тензор этот естественно назвать проекцией тензора диэлектрической непроницаемости на плоскость волнового фронта. Так как он двумерный, собственных значений у него всего два — это корни квадратного уравнения они равны, очевидно, 1*111—Я I Y|12 П12 = 0; C4.13) C4.14) Таким образом, скорость электромагнитных волн, распространяющихся через кристалл в направлении w, равна либо v{1) = c/tiA)9 ЛИбО V{2) = С/ЯB). Каждому собственному значению n^q) соответствует свой собственный вектор D^l Направление вектора электрической индукции в волне, распространяющейся со скоростью уA), определяется любым из двух равносильных уравнений o, 0; { ' ' направление вектора Z)<2) можно найти аналогично, но проще воспользоваться взаимной перпендикулярностью векторов Z)A) и DB) (собственные векторы, соответствующие не совпадающим собственным значениям, взаимно ортогональны, см. § 19). § 35] ОПТИЧЕСКАЯ ИНДИКАТРИСА 215 Пусть, в частности, оси координат Хх и Х2 в плоскости волнового фронта выбраны так, что т]12 = 0 и г]п > т]22. Тогда показатели преломления п{1) = 1/]/т)ш ^B) = l/K^ a векторы индукции DM II Xlf D<2> II Х2. Итак, в кристаллах имеет место двупреломление света: в общем случае проходящий через кристалл в заданном направлении т монохроматический свет распадается на две линейно-поляризованные волны, распространяющиеся с различными скоростями аA) и 0B). Плоскости поляризации этих двух волн взаимно перпендикулярны (рис. 34.2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электромагнитные волны в прозрачных кристаллах» з дисципліни «Основи кристалофізики»
