Внешняя симметрия и изображение векторов и симметричных тензоров второго ранга
Если при некотором преобразовании координат все компоненты тензора остаются неизменными, говорят, что он инвариантен относительно этого преобразования. Совокупность ортогональных преобразований, относительно которых инвариантен некоторый тензор, образует группу его внешней симметрии. Рассмотрим внешнюю симметрию векторов и симметричных тензоров второго ранга (Шубников, 1949). Изображение вектора в виде стрелки подсказывает, что его группа симметрии — предельная группа Кюри oom, причем ось симметрии совпадает с направлением вектора. Чтобы доказать это, выберем старую координатную систему так, чтобы ось Х3 была направлена по нашему вектору V. Это значит, что vx = v2 = О, v3 = v или Vk = vbk3. Поэтому компоненты вектора v в любой новой координатной системе равны vi > = cr3v. Чтобы и в новой системе имело место равенство w = v8i>3, нужно, чтобы а»ъ = 6^8. Нетрудно показать, что все ортогональные матрицы, удовлетворяющие этому условию, можно представить в одной из двух форм: Icosq) sinq) Oil II — cos2ф — sin 2я|э Oil 0 ^ ф < 2я — sinq) coscp 0II, — sin 2^ сов2ф 0 , "" ' B2 1) О 0 l| | 0 0 1|| 0<1|)<Я. Табл. 17.1 показывает, что это матрицы группы oom, и ось оо совпадает с Х3, т. е. с вектором V. При рассмотрении симметрии тензора второго ранга необходимо различать три случая, соответственно тому, сколько у данного тензора совпадающих собственных значений. Если все три собственных значения тензора совпадают между собой, т. е. S = SI, то он инвариантен относительно любых ортогональных преобразований. Его группа симметрии оооот и называют его изотропным или шаровым тензором. При совпадении двух собственных значений тензор S = SLl + + (S|| — Si) kk (объяснение этих обозначений см. в § 18. стр. 140). Выберем старую систему координат так, чтобы ось Х3 совпала с направлением k. Так как первое слагаемое заведомо инвариантно относительно любых ортогональных преобразований, рассмотрим только второе. В старой системе единственная его компонента, отличная от нуля, — это S33 = S\\ — SL. Поэтому в любой новой §22] СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ 157 системе координат компоненты его будут равны Slty f Для того чтобы в новой системе компоненты были такими же, как и в старой, нужно чтобы сс9 = ±- б^3- Все ортогональные матрицы, удовлетворяющие этому условию, можно представить при d>s = 6^3 в одной из форм B2.1), а при d>3 = —6^8— в одной из форм О — sin ф 011 — cos ф 0 0 1 cos 2t|) sin 2t|) 0II sin 2\|) — cos 2ф О 0 0 1 0 < ф < 2я, B2.2) Матрицы четырех перечисленных типов B2.1), B2.2), как видно из табл. 17.1, в совокупности образуют группу оо/тт. Ось оо этой группы направлена по собственному вектору Л. Тензоры такой симметрии называют поперечно-изотропными или транс- версально-изотропными. Когда все три собственных значения тензора различны, изберем в качестве старой системы его собственную систему координат. В ней отличны от нуля лишь три компоненты: Sn = SA), S22 = SB) и S33 = ч{ = SC). Очевидно, в новой системе коор- -хз динат все компоненты тензора останутся неизменными, если матрица ортогонального преобразования имеет вид I Cfk=j 0 о 0- 011 0 ±1 B2.3) Рис. 22.1. К соотношению между сферическими (г,О <р) и декартовыми (дгь xs, хш) координатами. Этому требованию удовлетворяют восемь матриц группы ттт. Оси 2 этой группы направлены по собственным векторам тензора S. Внешняя симметрия тензоров и векторов наглядно проявляется при их графическом изображении. Для изображения симметричных тензоров второго ранга применяются характеристические и указательные поверхности. Указательная поверхность тензора S описывается уравнением г (п) = п • S • п = B2.4) которое означает, что от начала координат откладываются в каждом направлении п отрезки, численно равные нормальной составляющей тензора S в данном направлении; концы всех этих отрезков и образуют указательную поверхность. Так как шесть должным образом выбранных нормальных составляющих симметричного тензора второго ранга вполне его определяют, ясно, что по указательной поверхности тем более можно восстановить весь тензор. 168 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II Выразив компоненты единичного вектора п в сферических координатах (рис. 22.1) п1 = sin О cos ф, п2 = sin О sin ф, /23 = 008 0, B2.5) получим уравнение указательной поверхности в этих координатах. Наиболее простой вид оно будет иметь, если орты, от которых отсчитываются углы # и ф, совместить с собственными векторами тензора. Если все собственные значения тензора различны, то г = (SA) cos2 ф + SB) sin2 ф) sin2 fl + SC) cos2 0. B2.6) Если два его собственных значения совпадают, то r = S1+(S,,-S1)cos2d; B2.7) независимость г от угла ф показывает, что это поверхность вращения, ось которой совпадает с собственным вектором. Наконец, для тензора S = SI указательной поверхностью будет сфера, т. е. г = S. Если все собственные значения тензора S положительны, то расстояние г любой точки указательной поверхности от начала координат также положительно. Если же среди собственных значений встречаются отрицательные, то для некоторых направлений г также будет отрицательно. Так как расстояние между двумя точками — неотрицательное число, то, оставаясь в рамках обычной геометрии, соответствующую поверхность построить невозможно. А. В. Шубников предло- жил в этом случае части д) Тензор симметрии оо/оот при S > 0. Оси укаЗаТеЛЬНОЙ ПОВерХНООТИ, координат направлены по собственным век- СООТВеТСТВуЮЩИе ОТрИЦа- тельным значениям г, строить так же, как обычные положительные части поверхности, но окрашивать-их, в отличие от положительных, белых частей поверхности, в черный цвет. На рис. 22.2 изображены различные типы указательных поверхностей. Симметрия этих поверхностей зависит лишь от того, Рис. 22.2. Указательные поверхности симметричных тензоров второго ранга S. Тензоры симметрии ттт: а) при SC) > SB) > S{{) > 0, б) при SA) > S > 0 > SC) .Тензоры симметрии со/тт: в) при S|| > S , > 0, г) при S|| > 0 > S § 22] СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ 139 сколько различных собственных значений имеет тензор, но не зависит от знаков собственных значений или от того, какое из них больше. Рисунок подтверждает, что при трех различных собственных значениях симметрия указательной поверхности ттт; оси второго порядка совпадают с собственными векторами тензора. Если тензор имеет два совпадающих собственных значения, симметрия указательной поверхности оо /mm; ось бесконечного порядка совпадает с собственным вектором, перпендикулярная к ней плоскость симметрии — с плоскостью собственных векторов. Наконец, если тензор имеет лишь одно собственное значение, симметрия указательной поверхности оо/оо/п. Указательную поверхность можно построить и для вектора. Нормальной составляющей вектора v в направлении единичного вектора п естественно назвать число v • п. Указательная же поверхность вектора v характеризуется уравнением B2.8) При произвольном выборе осей, от которых от- считываются углы О и ф, это уравнение имеет довольно сложный вид г = {vx cos ф + v2 sin ф) sin d + v3 cos d, но если совместить положительное направление ОСИ Xs, ОТ КОТОрОЙ ОТСЧИТЫВаеТСЯ уГОЛ О, С ВеКТО- Рис. 22.3. Указа- рОМ V, ТО B2.8) Принимает ВИД Гость^ вектора; _ . _ группа симмет- Г = 0 COS ТТ. B2.9) рии поверхности сот, группа ан- То обстоятельство, что в него не входит угол ф, ™§™8)e /%'£ 8) показывает, что это уравнение поверхности вращения. Эта поверхность представляет собой две соприкасающиеся сферы — белую и черлую (рис. 22.3); диаметр каждой из них равен v. Группа симметрии этой фигуры oom, как и следует, совпадает с группой внешней симметрии вектора. Для изображения симметричного тензора второго ранга S пользуются также характеристической поверхностью. Это поверхность второго порядка с уравнением r-S-r=l, S,y*i*y=:l. B2.10) В системе координат, построенной на главных осях тензора, оно принимает вид 4 = l B2.11) и, в зависимости от знаков собственных значений, описывает эллипсоид (Н—I—Ь), однополостный гиперболоид (+ + —), двуполо- стный гиперболоид (Н ) или мнимый эллипсоид ( ). 160 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II Представив радиус-вектор г в виде г = гр, где г — его длина, а р— единичный вектор, найдем из уравнений B2.10), что r= * = ' . B2.12) Таким образом, характеристическая поверхность лежит в тех конусах, в которых располагаются белые части указательной поверхности, причем радиус-вектор характеристической поверхности обратно пропорционален квадратному корню из радиуса-вектора указательной поверхности в том же направлении. Иначе говоря, расстояние любой точки характеристической поверхности от ее центра обратно корню квадратному из нормальной составляющей в направлении, соответствующем данной точке. Этот вывод, как и сама формула B2.12), имеет смысл лишь при условии, что все собственные значения тензора положительны. На практике характеристические поверхности обычно используются для изображения тензоров, все собственные значения которых положительны. Особенно широко применяются они в кристаллооптике: оптическая индикатриса, эллипсоид Френеля (см. §§ 35, 36). Среди всевозможных центральных сечений эллипсоида, т. е. сечений эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, выделяются круговые сечения — центральные сечения, имеющие форму окружности. Направления, перпендикулярные к круговым сечениям характеристических поверхностей, называются в кристаллооптике оптическими осями. Очевидно, у сферы любое центральное сечение — круговое и любой диаметр — оптическая ось. У эллипсоида вращения круговым является сечение плоскостью собственных векторов, а оптической осью — ось симметрии бесконечного порядка. Поэтому симметричный тензор второго ранга с двумя совпадающими собственными значениями называют не только поперечно- изотропным, но также и одноосным. Эллипсоид общего вида имеет два круговых сечения и соответственно две оптические оси. Поэтому симметричный тензор второго ранга с тремя различными собственными значениями иногда называют двуосным. Каждый симметричный тензор второго ранга имеет изотропные плоскости; центральные сечения характеристической и указательной поверхностей тензора этими плоскостями представляют собой окружности. Нормали к изотропным плоскостям назовем осями изотропии. Очевидно, у изотропного тензора любое центральное сечение — изотропная плоскость и любое направление — ось изотропии. У трансверсально-изотропного тензора изотропной плоскостью служит плоскость собственных векторов. Так как у трансверсально-изотропного тензора только одна ось изотропии, его называют также одноосным (Ф. И. Федоров, 1958, 1965). § 23] АКСИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ 161 Тензор с тремя различными собственными значениями имеет две оси изотропии; это следует из наличия у поверхности второго порядка S{1)xi + S{2)xl + S{3)xl = 1, где SA) i= SB) ^ SC), двух круговых сечений. Поэтому такие тензоры называют двуосными. Действительно, с любой парой единичных векторов с' и г"можно связать тензоры S = а\ + Ь (с'сГ + <Гс% Su = аЬч + b (c\c) + с! с)). B2.13) Если полагать, что с' и с"— единичные векторы оптических осей, то форма записи B2.13) называется оптическим представлением тензора. Все нормальные составляющие тензора S в направлениях, перпендикулярных к любому из векторов с' и сп', равны между собой: как при п • с' = 0, так и при п • с" = О п S n = an I n + b(n с'с" п + п-с"с'-п)=а. Значит, плоскости, перпендикулярные к векторам с' и с", — изотропные плоскости, а сами векторы с' и с" направлены по осям изотропии. Легко проверить, что собственные векторы (не нормированные!) и отвечающие им собственные значения тензора S равны соответственно B2.14) Таким образом, собственный вектор, соответствующий среднему по величине собственному значению, перпендикулярен к плоскости осей изотропии (т. е. направлен по линии пересечения изотропных плоскостей); остальные два собственных вектора направлены по биссектрисам углов между осями изотропии. Единичные векторы осей изотропии можно выразить через единичные собственные векторы u{i) и собственные значения SA) < SB) < SC) тензора S: " с" = — МA)+М(8). ifei=-.,ofil-olll B2.15) Оси изотропии характеристических поверхностей, применяемых в кристаллооптике, — оптической индикатрисы и эллипсоида Френеля — называются оптическими осями первого и второго рода или бинормалями и бирадиалями (см. §§ 35, 36). Вообще представление тензоров в форме B2.13) применяется главным образом в кристаллооптике (Ф. И. Федоров, 1958).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Внешняя симметрия и изображение векторов и симметричных тензоров второго ранга» з дисципліни «Основи кристалофізики»
> 0 > SC) .Тензоры симметрии со/тт: 