Симметрически эквивалентные комплексы плоскостей и направлений. Простые формы кристаллов
Симметрические преобразования, свойственные точечной группе симметрии кристалла, симметрично повторяют в пространстве любую плоскость и любое направление кристалла. Зададим, на- СИММЕТРИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 111 пример, плоскость A00) для кристалла класса тЗт. Повторяя ее всеми симметрическими преобразованиями, получим плоскости (ТОО), @10), (ОТО), @01), @01). Всю сс^окупность шести симметрически эквивалентных плоскостей обозначают символом {100}: фигурные скобки указывают, что в индексах можно производить все перестановки, соответствующие симметрическим преобразованиям данного класса симметрии. Если символ A00) обозначает плоскую сетку структуры, то символ {100} означает тогда совокупность on Рис. 14.1. Три простые формы класса тЗт: куб (а), октаэдр (б) и ромбический додекаэдр (в) н совокупность их элементов симметрии (для простоты чертежа индексы граней даны без скобок). трех координатных плоскостей в решетке и всю совокупность параллельных им плоскостей. Если же символ A00) означает грань кристалла, то {100} означает простую форму кристалла, т. е. совокупность симметрически эквивалентных граней многогранника. В классе тЗт это куб (рис. 14.1). Простой формой называется многогранник, все грани которого можно совместить друг с другом с помощью преобразований симметрии, свойственных данному кристаллу. Применяя те же симметрические преобразования класса тЪт к направлению [100] в решетке, получим [ТОО], [010], [ОТО], [001] и [001], т. е. положительные и отрицательные направления осей координат. Совокупность симметрически эквивалентных направлений обозначим символом A00). Если [100] — ребро многогранника, то A00) — совокупность симметрически эквивалентных ребер, или реберная простая форма. В классе тЪт это ребра куба. Если 112 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ t [100] — ряд в решетке, то A00) — символ осей координат и всех параллельных им направлений (рис. 14.2). В нашем примере исходная плоскость A00) расположена в частном положении, а именно, на выходе оси 4, т. е. элемента наивысшей симметрии класса тЗт. Зададим исходную грань в других частных положениях: на выходе оси 3 получим восемь /@01) A00) / @10) / t) >/ш //# Рис. Н.?. Три способа представления симметрически эквивалентных плоскостей и направлений: комплекс плоскостей и направлений, пересекающихся в одной точке (а), грани и ребра простой формы (б), стереографическая (в) и гномостереографическая (г) проекции. симметрически эквивалентных граней октаэдра {111}, а на выходе оси 2— двенадцать граней ромбического додекаэдра {ПО}. Задавая исходную грань в самом общем положении, так чтобы она не попадала ни на один из элементов симметрии и была наклонена под разными углами ко всем трем осям координат, получаем самую богатую простую форму класса тЪт — сорокавосьмигранник (рис. 14.3). Каждому классу симметрии отвечает одна общая и несколько частных простых форм. Класс тЗт — это класс самой высокой симметрии. Он богат и простыми формами. Число граней его простых форм соответственно: 48 {Ш}; 24 {Ш}, {Ш}; 12 {110}; 8 {111}; 6 {100}. В наименее симметричном классе кубической сингонии, §141 СИММЕТРИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ИЗ классе 23, число граней простых форм соответственно: 12 {hkl}, {Ш}, {АЛО}, {ПО}; 6 {110}; 4 {111}. У классов более низкой симметрии меньше и разнообразие простых форм. Классу т моноклинной системы соответствует общая форма диэдр {Ш}, т. е. две параллельные грани и одна частная 15 Рис. 14.3. Простые формы высшей категории: / — тетраэдр, 2 — куб, 3 — октаэдр, 4 — ромбический додекаэдр, 5 — пентагондодекаэдр, 6 — тригонтритетраэдр, 7 — тет- рагонтритетраэдр, 8 — пентагонтритетраэдр, 9 — пирамидальный куб, 10 — тетрагон- триоктаэдр, // — тригонтриоктаэдр, 12 — гексатетраэдр, 13 —дидодекаэдр, 14 — пен- тагонтриоктаэдр, 15 — сорокавосьмигранник (для простоты чертежа индексы граней даны без скобок). форма, состоящая из одной грани — моноэдр {100} или {010}, а в классе 1 есть только одна простая форма — моноэдр (рис. 14.4). Простые формы бывают закрытые, т. е. замыкающие пространство, как куб, октаэдр, и открытые, как призмы, пирамиды, пинакоиды. Реальные формы роста кристаллов обычно представляют собой комбинации нескольких простых форм. Открытые формы могут встречаться только в комбинациях. Комбинации могут быть самыми разнообразными, и число их скол|> угодно велико, простых же форм существует всего 47 (Болдырев, 1936). Все они приведены в таб. 14.1 и 14.2 и на рис. 14.3 и 14.4. 114 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ Т Смысл символа простой формы зависит от того, к какому классу симметрии он относится, и от выбора кристаллографической системы координат. Например, в классе тЗга в символе {100} перестановки дают шесть плоскостей куба, а в классе 21т в таком же 15 ^7 23 25 га —*•— Рис. 14.4. Простые формы низшей и средней категорий. Верхний ряд — сечения простых форм; ромб, тригон, дитригон, тетрагон, дитетрагон, гексагон, дигексагон; 1 — 7 — пнра- миды? 8—14 — дипирамиды, 15—21 — призмы, /, 8, 16 — ромбические, 2, 9, 16 — три- гональные, 3, 10, 17 — дитригональные, 4, 11, 18 — тетрагональные, 6, 12, 19 — дите- траТональные, 6, 13, 20 — гексагональные, 7, 14, 21 — днгексагональные, 22п и 22л — СравЫЦ и левый ромбические тетраэдры, 23 — моноэдр, 24 — ди»др, 25 — пинакоид, 26п и 26л — правый и левый тригоиальные трапецоэдры, 27 — тетрагональный тетраэдр, 28п — правый тетрагональный трапецоэдр, Н — форма гралн трапецоэдров, 29 — те- #рагональный скаленоэдр, 30 — ромбоэдр, 31и — правый гексагональный трапецоэдр. 32 — дитригональный скаленоэдр, / — форма грани скаленоэдров. символе {100} возможна лишь одна перестановка: A00) и A00), т. е. всего две плоскости. Значностью простой формы называется число ее граней, т. е. число симметрично эквивалентных плоскостей. Значность общей простой формы данной точечной группы равна порядку, или кратности, точечной группы, т. е. общему количеству эквивалентных 14] СИММЕТРИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 115 Таблица 14.1 Возможные простые формы и их символы в кристаллах кубической системы (курсивные цифры в таблице означают номера простых форм на рис. 14.3) Символ hkl hhl (h > /) hhl (h < /) hkO 111 110 100 Класс 23 8 7 6 1 тЪ 13 432 14 и 9 5 43m 12 7 6 тЗт 15 11 9 12 3 4 1 3 2 точек, которые можно получить из одной точки всеми преобразованиями симметрии, входящими в данную точечную группу. Из 32 точечных групп наивысший порядок имеет группа тЗт: ее кратность 48. Число эквивалентных точек на гномостереогра- фической проекции, или, иначе говоря, число граней общей простой формы определяет порядок группы. Частные простые формы отвечают подгруппам данной точечной группы. В каждой из семи кристаллографических систем или шести сингоний имеется одна группа высшего порядка, так называемая голоэдрия (голоэдрический класс симметрии). Голоэдрическому классу соответствует общая простая форма с наибольшим числом граней. Остальные точечные группы данной кристаллографической системы или сингоний: так называемые мероэдрические — подгруппы голоэдрической группы; гемиэдрические — подгруппы индекса 2; тетартоэдри- ческие — индекса 4; огдоэдрические — индекса 8. Их можно расположить в ряд, в котором каждая последующая группа является подгруппой предыдущей группы и выводится из голоэдрической путем сокращения значности, а значит, и сокращения числа граней общей простой формы. Гемиэдрия соответствует сокращению числа граней вдвое, тетартоэдрия — в 4 раза, огдоэдрия — в 8 раз. Например, в кубической сингонри группа тЪт — голоэдрическая, тЗ, 432, 43т — гемиэдрическая, 23 -=■ тетартоэдрическая. Число граней соответственно 1/2, 74 или V8 числа граней голоэдрической общей формы. lie ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I Таблица 14.2 Возможные простые формы и их символы в кристаллах средней и низшей категорий (курсивные цифры в таблице означают номера простых форм на рис. 14.4) Триклинная система: класс 1—23, класс I—25 Моноклинная система Ромбическая система Символ hkl ш 010 Класс 2 т 24 25 23 23 2/т 15 25 25 Символ hkl hkO Ш 100,010 001 Класс 222 22 тт2 1 tnnxtn 8 15 15 24 15 25 25 23 Тригональная система Символ hkil hOhl ыт hkiO 10Т0 1120 0001 Класс 3 2 16 23 3 30 20 32 26 30 9 3m 10 2 6 17 20 16 25 16 20 23 3m 32 30 13 21 20 26 §141 СИММЕТРИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 117 Таблица 14.2 (продолжение) Гексагональная система Символ hkil ым ЫпК1 hkiO 1010 1120 0001 Класс 6 6 20 23 6 9 16 13 20 25 622 31 6шт 7 13 21 6т2 10 9 13 17 6/ттт 13 21 20 20 23 16 20 25 Тетрагональная система Символ hkl hhl hOl hkO ПО 100 001 Класс 4 4 4 27 А/т 12 11 23 422 28 И Атт 5 4 42т 29 27 4/ттт 12 11 11 19 18 25 23 25 118 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ (ГЛ I В средней и низшей категориях сокращение числа граней общей простой формы может происходить так, что как бы разделяются верхняя и нижняя половины многогранника; например, дипирамида, теряя поперечную плоскость симметрии, сокращается в пирамиду, которая в данном случае будет гемиморфной формой; главная ось при этом становится полярной. Если рассматривать гексагональную и тригональную системы как одну гексагональную сингонию, то класс 3 является огдоэд- рией гексагональной сингонии; число граней общей простой формы класса 3, тригональной пирамиды, сокращено в 8 раз по отношению к общей простой форме голоэдрического класса б/mmm дигексаго- нальной дипирамиды. Если же гексагональную и тригональную системы рассматривать отдельно, то класс 3 есть тетартоэдрия класса Зт, а класс 6 — тетартоэдрия класса 6/mmm. Взаимные соотношения между точечными группами и подгруппами схематически изображены на рис. 14.5. Толстыми штриховыми линиями соединены группы одной системы. Так, высшая группа ромбической системы ттт включает в себя две подгруппы 222 и mm2. Так как в группе ттт три оси второго порядка и каждая из них может стать единственной осью второго порядка в группе mm2, то группа ттт включает в себя три подгруппы: тт2ХУ тт2у, тт2г\ на рис. 14.5 это показано тройной штриховой линией. Подгруппой группы ттт является также группа 2/т, которая уже не относится к ромбической системе, а является высшей группой моноклинной системы; связь между ними изображена тонкой линией. Тонких линий три, соответственно трем возможным направлениям оси 2: 2Ху 2уу 22. Группа 2/т, в свою очередь, включает в себя две группы моноклинной системы, 2 и т, которые можно расположить в ряды так: 2/т id 2 id 1, 2/т id m id 1. Кроме того, ряд 2/т id I id 1 показывает, что подгруппами группы 2/т являются еще и группы триклинной системы. Особое внимание следует обратить на связи между группами кубической и тригональной систем: тЪт zd 3m, 432 zd 32,43m n> 3m, m3 id 3 и 23 id 3. Они недостаточно наглядны при стандартной установке кристаллов и делаются вполне очевидными, если на ось Z вывести направление [111] кубического кристалла, а на ось X — направление [ПО]. Горизонтальные пунктирные линии связывают изоморфные группы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрически эквивалентные комплексы плоскостей и направлений. Простые формы кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
