Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры. Пространственная группа симметрии характеризует симметрию структуры кристалла, так же как точечная группа симметрии характеризует симметрию внешней формы кристалла и симметрию его макроскопических свойств. Каждой точечной группе соответствуют несколько пространственных групп. Чтобы из пространственной группы симметрии кристалла получить его точечную группу, надо мысленно уничтожить все трансляции, т. е. превратить плоскости скользящего отражения в простые зеркальные плоскости, винтовые оси — в обычные поворотные оси симметрии и свести все оставшиеся элементы симметрии в одну точку. Вывести из точечной группы все относящиеся к ней пространственные группы — задача более сложная. Здесь нужно перебрать все возможные сочетания элементов симметрии и решеток Бравэ. Так, например, если в точечную группу входят оси 3 и 2, то для 10] 230 ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ 81 вывода пространственной группы нужно перепробовать все возможные сочетания осей 3, Зь 32, 2 и 2Х и трансляций. Так получаются 230 пространственных непрерывных групп симметрии кристаллического пространства или федоровских групп симметрии. Каждая из этих групп удовлетворяет постулатам теории групп, т. е. образует математическую группу. 230 пространственных групп были выведены в 1890—1894 гг. одновременно и независимо Е. С. Федоровым и А. Шенфлисом. Для обозначения пространственных групп применяются интернациональные символы, а также символы Шенфлиса и символы Е. С. Федорова. Интернациональный символ пространственной группы составлен так, что по виду символа можно полностью представить взаимное расположение элементов симметрии, если знать основные теоремы о сложении бесконечных элементов симметрии и правила записи символа, приведенные в табл. 10.1. Таблица ЮЛ Правила записи символа пространственной группы Сингония Позиции II III IV Триклинная Моноклинная Ромбическая Тетрагональная Гексагональная 2 со Си s Н Кубическая Имеющийся элемент симметрии Имеющийся элемент симметрии 2 или 2Х (и плоскость, нормальная к оси 2, если она есть) Плоскость нормальная или ось, параллельная оси X I оси К I оси Z Ось высшего порядка (и плоскость, нормальная к ней) Координатные плоскости или оси Координатная плоскость или ось Диагональная плоскость или ось Диагональные плоскости или оси В символике Шенфлиса пространственные группы обозначаются просто порядковым номером группы внутри данного класса. По виду символа Шенфлиса нельзя определить симметрию простран- 82 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ I ственной группы, и нужно обращаться к таблицам, в которых сопоставлены символы Шенфлиса и международные символы. По Федорову пространственные группы обозначаются номерами со значками s, h, a, s — симморфные группы: параллельно простым поворотным осям точечной группы в пространственной группе располагаются простые или винтовые оси того же порядка, параллельно плоскостям т точечной группы — в пространственной группе имеются плоскости т или плоскости скользящего отражения. Сходственные элементы симметрии пересекаются в одной точке, h — гемисимморфные группы: параллельно всем поворотным осям точечной группы симметрии располагаются такие же поворотные или винтовые оси симметрии, но параллельно плоскостям т точечной группы в пространственной группе располагаются только плоскости скользящего отражения. Сходственные оси пересекаются в одной точке, а — асимморфные группы: хотя бы одна система осей пространственной группы, параллельных соответствующим осям симметрии точечной группы, состоит только из винтовых осей (Е. С. Федоров, 1949). Как и в символе точечной группы, в международном символе пространственной группы пишутся только порождающие элементы симметрии. Определяющее значение имеет порядок записи. В символе пространственной группы на первом месте всегда стоит символ решетки Бравэ. Далее — порождающие элементы симметрии, каждый на строго определенном месте (табл. 10.1). Из правил записи символов в ромбической сингонии и в синго- ниях средней категории становится ясно, зачем в символах точечной группы, таких, как, например, 4mm или 6mm, различались координатные и диагональные элементы симметрии. Из теорем 8 и 9 (см. § 9) видно, что добавление трансляции к координатным и диагональным элементам симметрии неравноценно. Поэтому в символе точечной группы различают эти две возможности. В символе групп кубической сингонии всегда есть цифра 3 на третьей позиции. Она означает наличие обязательных в этой сингонии четырех осей 3. Отсутствие элемента симметрии на соответствующей позиции обозначается цифрой 1. Разберем несколько примеров. Точечная группа 2. Согласно табл. 9.1 в моноклинной сингонии возможны Р- и /-ячейки Бравэ. Умножение единственной операции симметрии 2 на трансляцию ( дает винтовую ось 2Х: 2 4 = 2Х. Согласно теореме 10 трансляции Р-ячейки в сочетании с осями 2 или 2Х порождают вставленные оси того же наимен вания, а по теореме 12 трансляции /-ячейки порождают чередующиеся оси 2 и 2j. Так получаются три пространственные группы: Р2, P2lt /2. Поскольку винтовые оси 2j нейтральны, все эти пространственные группы тоже нейтральны. Ось 2 или 2Х полярна. Пространственной группой Р2Х характеризуется структура сегнетовой соли в сегнетоэлектрической фазе. При температурах —18 °С или +24 °С сегнетова соль переходит из моноклинной сегнетоэлектрической фазы в параэлектрическую, ромбическую, харак- i 10] 230 ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ 83 теризуемую пространственной группой Р21212. На рис. 10.1 показаны эти группы в стандартной установке: винтовые оси 2Х находятся в плоскости XY, поэтому они показаны стрелками. К точечной группе симметрии кварца 32 принадлежат соответственно пространственные группы Р321 P3X21 Р3221 Р312 #32 В пространственных группах, перечисленных в первой строке, кратчайшие трансляции в базисной плоскости параллельны осям 2, а в группах, перечисленных во второй строчке, составляют с ними углы 60°. -^ +0 — + о о+ -о ( i/z+o Of/2- -0 +о -о Рис. 10.1. Пространственные группы P2t (а) и Р2Х2Х2 (б), характеризующие изменение симметрии сегнетовой соли при фазовом переходе. Пространственная группа структуры кварца P3X21 или Я3221 может быть правой или левой, что проявляется в существовании энантиоморфных правых или левых кристаллов кварца (см. рис. 3.6) и в наличии у них явления вращения плоскости поляризации. Такой структурой обладает низкотемпературный а-кварц; выше +573 °С он переходит в высокотемпературную ^-модификацию, класс 622. При этом правый а-кварц переходит в правый же р-кварц (Р6222), а левый (Р3221)— в левый (Р6422) (рис. 10.2). При этом оси 2 теряют полярность. В международном справочнике «Интернациональные таблицы (International Tables, 1965), откуда взят рис. 10.2, приведены чертежи и символы всех 230 пространственных групп. Международные символы, приводившиеся в первом издании «Интернациональных таблиц» («старые»), немного отличаются от принятых сейчас, так называемых «новых» символов. Рисунки даны в условных обозначениях, приведенных в табл. 3.1. Наряду со схемами взаимного расположения элементов симметрии в «Интернациональных таблицах» для каждой пространствен- 84 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I ной группы приведены координаты и схемы правильных систем точек. Правильной системой точек называется совокупность точек, {ТЧ Рие. 10.2. Пространственные группы Р3,21 (а) и #5$22 (б), характеризующие изменение симметрии кварца при фазовом переходе. связанных между собой элементами симметрии пространственной группы. Правильную систему точек можно получить из одной точки, повторив ее всеми элементами симметрии пространственной группы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «230 пространственных групп симметрии» з дисципліни «Основи кристалофізики»
