Вывод и описание 32 классов симметрии кристаллов C2 точечных групп симметрии)
Для того чтобы вывести 32 класса симметрии, нужно пересмотреть все возможные сочетания кристаллографических элементов симметрии, пересекающихся в одной точке. Для этого выберем какой-либо исходный порождающий элемент симметрии и будем добавлять к нему поочередно все остальные элементы симметрии в качестве порождающих. На основании теорем § 10 из сочетания двух порождающих элементов симметрии выводятся порожденные элементы симметрии. Начнем с кристаллов, в которых есть особенные направления, т. е. низшей и средней категорий. Выберем в качестве порождающего элемента симметрии ось симметрии, проходящую вдоль осо- 52 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I бенного направления, и будем добавлять к ней другие элементы симметрии, как показано на рис. 6.1. Плоскости симметрии могут проходить лишь вдоль выбранной оси или перпендикулярно к ней, ибо при всяком другом расположении ось симметрии, отразившись в плоскости симметрии, повторится, т. е. не будет единственной. По этой же причине оси 2 могут быть только перпендикулярны к выбранной оси. Центр симметрии может располагаться только на выбранной оси. Поэтому никаких сочетаний, кроме тех, что показаны на рис. 6.1, в кристаллах низшей и средней категории быть не может. Простейшими, или примитивными, классами симметрии являются классы, в которых есть лишь один элемент симметрии, "Л / /Z а) б) в) г) д) е) Рис. 6.1. К выводу классов симметрии низшей и средней категорий. а именно, поворотная ось я-го порядка вдоль особенного направления (рис. 6.1, а). Добавляя к каждой из осей центр симметрии и используя теорему 3, получаем центральные классы (рис. 6.1, б): Порождающая ось Порожденный элемент Класс симметрии 1 2 3 — т — 4 т б т \ 2/т 3 4/т 6/т Добавление центра симметрии к оси 3 превратило ее в инверсионную ось 3. Класс 3 относят иногда не к центральным, а к инверсионно-примитивным классам, см. табл. 6.1 и 6.2. Добавляя к порождающей оси симметрии проходящую через нее плоскость симметрии, получаем на основании теоремы 4 по схеме т-п = пт планальные классы (рис. 6.1, в). Порождающая ось Класс симметрии т 2 тт2 4 4тт 6 бтт Смысл записи символов 4mm и 6mm пояснен выше: на втором месте стоят координатные, на третьем — диагональные элементы симметрии. Класс mm2 относится к ромбической сингонии, в которой по правилам кристаллографической установки ось 2 (если она § 6] 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 53 единственная) должна быть осью 2zt а значит, ее надо писать в символе на третьем месте. Если добавить ось 2, перпендикулярную к порождающей оси, получаем по теореме 1 аксиальные классы (рис. 6.1, г): Порождающая ось 12 3 4 6 Класс симметрии | 2 | 222 32 422 622 Класс 2 здесь обведен рамкой, чтобы показать, что это сочетание уже было выведено выше. В символах 422, 622 на второй позиции стоят оси 2, идущие вдоль координатных направлений, на третьей — вдоль диагональных направлений. Добавляя к порождающей оси перпендикулярную плоскость симметрии (рис. 6.1, д), получим по теореме 2а классы, уже перечисленные выше: Порождающая ось Класс симметрии 1 т 2 2//я 3 6 4 |4/т| 6 6/т\ Если к порождающей оси симметрии добавить центр, ось 2 и продольную плоскость т, то получим по теоремам 3 и 4 планак- сиальные классы (рис. 6.1, е): Порождающая ось 12 3 4 6 Класс симметрии 12//n I mmm 5m 4/ттт 6/ттт Перечисленными классами исчерпываются сочетания элементов симметрии с порождающей поворотной осью симметрии. Обратимся теперь к инверсионным осям симметрия. Оси i, 2 = m, 3 и б нами уже перечислены. Остается только ось 3, которая так же, как оси 3 и б, дает инверсионно-примитивные классы: 3, 4, 8. Если к порождающей инверсионной оси добавить плоскости симметрии, проходящие вдоль оси, получатся инверсионно-планальные классы: 42т и 6т2. Прежде всего заметим, что всякая инверсионная ось симметрии порядка 2п является одновременно простой осью симметрии порядка п. Поэтому, согласно теореме 4, если вдоль инверсионной оси 2п проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей должно быть п. Возникающее сочетание элементов симметрии подчинено новой теореме *). *) Нумерация теорем начинается в § 3, Таблица 6.1 32 класса симметрии, обозначения и названия Международный Название символ п № : Формула Символ |,им-вол п/п симметрии Шенфлиса шуони- сокра- _ кова по Федоровскому ттт , „ щенный полный институту по Шенфлису по Гроту Триклинная система II 1 Lx I Сх I 1 примитивный I гемиэдрия моноэдрический 2 1 С Q = 52 2 центральный голоэдрия пинакоидальный Моноклинная система 3 2 L2 C2 2 аксиальный гемиэдрия диэдр ический осевой 4 т Р C5 = Cifc m планальный гемиморфия доматический 5 2//7Z L2PC С2н 2: т планаксиаль- голоэдрия призматический ный Ромбическая система 6 222 3Z^2 D2=zV 2:2 примитивный энантиоморфная ромбо-тетраэдри- гемиэдрия ческий 7 mm 2mm, mm2 L22P C2v 2 • m центральный гемиморфия ромбо-пирами- дальиый i i i i i i i i ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ 54 8 mmm 2 2 2 3L23PC D2^ = V\ т-2:т аксиальный голоэдрия ромбо-дипирами- IH 7n In дальный Тригональная система 9 3 L3 C3 3 примитивный ромбоэдрическая тригонально-пира- тетартоэдрия мидальный 10 3 L3C = L3i C3j = S6 б центральный гексагональная ромбоэдрический тетартоэдрия 11 32 L33L2 D3 3:2 аксиальный энантиоморфная тригонально-тра- гемиэдрия пецоэдрический 12 Зт L33P C3v 3-т планальный гемиморфная дитригонально- гемиэдрия пирамидальный 13 Ът ^_2_ L33L23PC D3d 6-т планаксиаль- ромбоэдрическая дитригонально- 6 т ный голоэдрия скаленоэдриче- ский Гексагональная система 14 б L& Се 6 примитивный гексагональная гексагонально- тетартоэдрия пирамидальный 15 6 L3P C3h 3: т инверсионно- тригональная па- тригонально-дипи- примитивный раморфная геми- рамидальный эдрия 16 6//7Z LqPC Cq^ 6:т центральный параморфная ге- гексагонально-ди- миэдрия пирамидальный § 61 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 55 Таблица 6.1 (продолжение) Международный Название символ „ № Формула Символ и?м1ол п/п симметрии Шенфлиса шуони- сокра- „ кова по Федоровскому ттт . ,, щенный полный институту по Шенфлису по Гроту 17 622 L66L2 De 6:2 аксиальный энантиоморфная гексагонально- гемиэдрия трапецоэдриче- ский 18 6mm L66P Cev 6 • т планальный гемиморфная ге- дигексагонально- миэдрия дипирамидальный 19 6т2 ЬзЪ12АР D3h т • 3: т инверсионно- тригональная го- дитригонально- планальный лоэдрия дипирамидальный 20 6/ттт 6 2^ L66L2TPC D6h m-6: m планаксиаль- голоэдрия дигексагонально- ~т ~т ~т ный дипирамидальный Тетрагональная система 21 4 L4 С4 4 примитивный тетартоэдрия тетрагонально-ди- пирамидальный 22 4 L-, L4. S4 4 инверсионно- тетартоэдрия вто- тетрагонально-те- примитивный рого рода траэдрический 23 4/т ЦРС С4л 4: т центральный параморфная ге- тетрагонально-ди- миэдрия пирамидальный i i i i i i i i 56 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I 24 422 L44L2 O4 4:2 аксиальный энантиоморфная тетрагонально- гемиэдрия трапецоэдр иче- ский 25 4mm Ц4Р C4v 4 • m планальный гемиморфная дитетрагонально- гемиэдрия пирамидальный 26 42m L42L22P D2d = Vrf 4-т инверсионно- гемиэдрия вто- тетрагонально- планальный рого рода скаленоэдриче- ский 27 4/mmm ^_ 2l 2i. L44L25PC D4^ m • 4: m планаксиаль- голоэдрия дитетрагонально- m m m ный дипирамидальный Кубическая система 28 23 3L24L3 T 3/2 примитивный тетартоэдрия па- тритетраэдриче- раморфная ский 29 m3 2l 5 3L24L33PC Г/^ 6/2 центральны"\ гемиэдрия дидодекаэдриче- m ский 30 432 3L44L36L2 О 3/4 аксиальный энантиоморфная триоктаэдриче- гемиэдрия ский 31 43m 3L44L36P Td 3/4 планальный гемиморфная ге- гексатетраэдри- миэдрия ческий 32 m3m 4 ^ 2 3L44L36L29PC Oh 6/4 планаксиаль- голоэдрия гексоктаэдриче- ~rn m ный ски^ § 6] 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 57 58 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I CD Я к о со Н £з со х О о) *2 S Кла ю о 1 z С о ч се аг£ я с" it I 5 Я S с? 1 S S I s 1- a S §6] 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 59 •«с» О 51 о Н я 2 S3 * ч О) Л U ас 6 * со Ж О- Л н ч <U со О). ввтэид 60 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ Т Теорема 6. Если вдоль четной инверсионной оси проходят плоскости симметрии, то между ними располагаются оси симметрии второго порядка. Проиллюстрируем эту теорему на рис. 6.2 для оси 4. Если задана плоскость симметрии /, значит, неизбежно появляется и плоскость симметрии //. С помощью оси 4 переводим треугольник А через положение А1 в положение Бис помощью плоскости // — из Б в В. Но В можно было бы получить из А также и поворотом вокруг оси 2, проходящей по биссектрисе угла между плоскостями I и II. Таким образом, ось 4 и продольная плоскость симметрии т порождают вторую продольную плоскость m и две поперечные оси 2, проходящие по биссектрисам углов между плоскостями. Полное сочетание элементов симметрии имеет вид 42т. Аналогично, инверсионная ось б и проходящая вдоль нее плоскость т порождают еще две продольные плоскости т и три поперечные оси 2, т. е. в результате получается 6m2. Поочередное добавление к инверсионным осям симметрии перпендикулярных плоскостей, осей 2 и центра инверсии не дает никаких новых сочетаний. Таким образом, для низшей и средней категории получилось 27 классов симметрии (см. табл. 6.1). Перейдем теперь к высшей категории. В кристаллах высшей категории нет особенных направлений и может быть несколько осей симметрии порядка более 2, пересекающихся в одной точке. В § 3 было показано, что здесь возможны только два устойчивых сочетания осей симметрии: 4, 3, 2 и 3, 3, 2, которые соответствуют осям симметрии октаэдра (или куба) и осям симметрии тетраэдра (рис. 6.3). Соответственно получаем два класса симметрии кубической сингонии: класс 23 примитивный (оси симметрии тетраэдра), класс 432 аксиальный (оси симметрии октаэдра или куба). Остальные классы кубической сингонии можно вывести так же, как это сделано для низшей и средней категорий, т. е. прибавляя поочередно центр симметрии или плоскости симметрии. Оси 2 здесь добавлять нельзя, так как все возможные сочетания осей уже исчерпаны. Плоскости можно добавить лишь двумя способами: три координатные плоскости или шесть диагональных. Иначе расположить плоскости нельзя, потому что на пересечениях плоскостей появились бы новые оси. Плоскости, нормальные к четным осям, дадут центр симметрии (теорема 2). Рис. 6.2. К выводу класса симметрии 42т § 6] 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ Разберем все сочетания: 61 Порождающие 23 23 23 432 432 432 I т вдоль оси 2 т вдоль оси 3 I т вдоль оси 4 т вдоль оси 3 Порожденные Три координатные плоскости Шесть диагональных плоскостей Оси 2 превращаются в оси 4 Три координатные плоскости Шесть диагональных плоскостей Центр симметрии Шесть диагональных плоскостей Три координатные плоскости Центр симметрии
Результат тЪ тЗ 43т тЪт тЪт тЪт Таким образом, окончательно получаем для кубической системы пять классов симметрии: 23, тЗ, 432 43т, тЗт. Полная сводка 32 классов симметрии и их распределение по системам дана в табл. 6.1, а в табл. 6.2 и 6.3 приведены схематические изображения и стереографические проекции комплексов элементов симметрии каждого класса. В табл. 6.1 кроме символов приведены также названия классов симметрии: уже поясненная при выводе система Федоровского института при Ленинградском горном институте и поясняемые ниже системы названий по Гроту и по Шенфлису. Кроме деления на системы и сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным подразделениям в зависимости от следующей характерной симметрии. 1. Наличие или отсутствие центра симметрии. В классах центральных и планаксиальных не может быть полярных направлений, а значит, не может быть и свойств, характеризуемых полярной симметрией; остальные 21 класс — ацентрические. 2. Энантиоморфизм. Кристаллы, принадлежащие к классам, в которых есть только поворотные оси симметрии, но нет инверсионных осей, поперечных плоскостей и центра симметрии, могут иметь правые и левые разновидности. В них возможны правые и левые фюрмы (см. рис. 3.6) и такие свойства, как вращение плоскости поляризации *). Энантиоморфными являются примитивные и аксиальные классы. *) Вращение плоскости поляризации возможно не только в энантиоморфных кристаллах (см. $ 81), Таблица 6.3 Стереографические проекции комплексов элементов симметрии 32 классов Классы Системы Примитив- Инверсионно- Инверсионно- Планаксиаль- ные примитив- Центральные Аксиальные Планальные планальные ные ные Триклин- ( Л (Г^\ к . . О. « МОНОКЛИН- / \ f j / ЛГ) \ Ромбнче- L —4 ( Л ( (I) ] ская vL/ vfy vx/ i i i i i i i 62 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 63 §6) L Тригональ- ная
Гексагональная
Тетрагональная
Кубическая вис1олз1вн KBHtrad;} bhcJoj3ibh ввтэнд 64 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. ! 3. Лауэвские классы симметрии, или подсистемы. Согласно закону Фриделя, или закону центросимметричности дифракционного эффекта, из-за симметрии отражения рентгеновских лучей дифракционная симметрия кристалла выше, чем его точечная симметрия. Она отвечает точечной группе плюс центр инверсии и плюс У \ X Рис. 6.3. Возможные сочетания осей симметрии в кристаллах высшей категории: 23 (а) и 432 (б). Вверху — схема, внизу — стереографическая проекция. элементы симметрии, порождаемые из-за добавления центра инверсии. Подсистемы показаны в табл. 7.1; в низшей категории они совпадают с системами, в средней и высшей категориях каждая система подразделяется на две подсистемы: высшую и низшую. В каждую подсистему входит один центросимметричный класс и один энантиоморфный; наличие в ней других классов возможно, но не обязательно. Подсистемы называют также классами Лауэ и обозначают символами входящих в них центросимметричных классов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вывод и описание 32 классов симметрии кристаллов C2 точечных групп симметрии)» з дисципліни «Основи кристалофізики»
