Учет ангармонизма при рассмотрении отдельного осциллятора приводит только к перенормировке собственных значений системы (и, естественно, к изменению правил отбора). При рассмотрении же набора ангармонических осцилляторов, которые имею место в кристалле, задача становится более сложной. Набор ангармонических осцилляторов никаким выбором новых координат невозможно свести к совокупности независимых (невзаимодействующих) мод. Перекрестные члены в гамильтониане, которые были исключены в случае набора гармонических осцилляторов выбором нормальных осцилляторов и тем самым вводят взаимодействие между отдельными осцилляторами (фононами). Вид матричных элементов в обоих случаях выглядит следующим образом:
Поскольку в ангармоническом случае точно диаганализировать гамильтониан невозможно, используют нормальные координаты, полученные в гармоническом приближении. Это позволяет выделить основные несвязанные члены, входящие в матричные элементы. Добавки (Hnn на диагонали фактически указывают на перенормировку собственных значений (т.е. энергий фононов). Однако, в случае набора ангармонических осцилляторов эта поправка комплексна. Действительная ее часть характеризует изменение энергии реального физического фонона, а мнимая часть – указывает на конечное время жизни. Недиагональные члены матричных элементов характеризуют взаимодействие с другими фононами. Гамильтониан набора ангармонических осцилляторов имеет вид H=Ho+H , где Ho – гармоническая часть, а H′ представляет собой кубический член и член четвертого порядка при разложении потенциальной энергии в ряд по смещениям:
Если использовать при учете ангармонизма нормальные (т.е. гармонические ) координаты Qj(k), то гамильтониан Ho будет иметь квадратичную форму, а добавка H′ вид:
Ясно, что в этом случае кубический ангармонический член связывает три нормальные координаты и, следовательно, характеризует процесс взаимодействия трех фононов Qj1(k1), Qj2(k2), Qj3(k3) с волновыми векторами k1, k2, k3 , принадлежащие ветвям j1, j2, j3 соответственно. Член четвертой степени описывает взаимодействие четырех фононов Qj1(k1), Qj2(k2), Qj3(k3), Qj4(k4). Поскольку общий вид нормального колебания представляет собой функцию Блоха с множителем exp[i(krn)], то в произведении Qj1(k1)*Qj2(k2)*Qj3(k3) для трехфононного процесса будет входить множитель exp[i(k1rn)]*exp[i(k2rn)]*exp[i(k3rn)], который из-за условий периодичности кристалла должен быть инвариантен относительно добавлению к вектору rn произвольного вектора ri: exp[i(k1+k2+k3,ai)]=1 и, значит, k 1+k2+k3=K m ,
где Km=b1m1+b2m2+b3m3 – целочисленный вектор обратной решетки. Аналогично сказанному, для четырехфононных процессов будет выполнено k1+k2+k3+k4=Km Эти выражения представляют собой закон сохранения импульса k фонона: при взаимодействии сумма импульсов взаимодействующих фононов сохраняется с точностью до целочисленного вектора обратной решетки Km. Отличие этого закона сохранения от классического связано с наличием трансляционной симметрии кристалла. Именно поэтому импульс фонона (как и других частиц) называется квазиимпульсом, а сами частицы носят название квазичастиц). В частном случае, когда Km =0, процесс носит название N-процесса (normal), в случае Km(0 – U-процесса ( umklap). Члены, описывающие взаимодействия трех и четырех фононов, можно записать через оператора рождения и уничтожения фононов и использовать формализм, развитый для отдельного ангармонического осциллятора. Для представления взаимодействия фононов часто используются диаграммы, указывающие временное развитие процесса взаимодействия. Помимо выполнения закона сохранения квазиимпульса должен быть выполнен закон сохранения энергии.
h((k1)=h( (k2)+h( (k3) Первый процесс на рис.49 представляет собой процесс ангармонического распада фона с энергией h((k) и квазиимпульсом hk на два других фонона с импульсами hk1 и hk2. Возможен также и обратный процесс аннигиляции двух фононов с образованием третьего. Эти процессы определяются кубическим членом гамильтониана H′3 и описываются первым порядком в теории возмущения - член <n′|H′3|n>. Возможно рассмотреть вклад в фонон-фононное взаимодействие и члена второго порядка теории возмущения, включающего все виртуальные процессы, в результате которых при распаде одного фонона появляются два (рис.49). Очевидно, имеется бесконечное число таких процессов. Там же показаны некоторые из возможных четырехфононных процессов. Они классифицируются как по порядку взаимодействия (число фононов), так и по величине вкладов. Кроме того, необходимо указание на относительную величину параметра (, появляющегося в разложении ангармонического потенциала H′=(H′3+(2H′4+(3H′5. На рисунке указаны также некоторые многофононные процессы высоких порядков и указан порядок вклада этих процессов по возмущению и по параметру (. При учете взаимодействия во втором порядке теории возмущения необходим правильно суммировать по всем промежуточным (виртуальным) состояниям, приводящим к конечному результату. Для учета членов 2-го порядка в 4-х фононном процессе (рис.49) нужно просуммировать следующие матричные элементы:
где k1 - промежуточное виртуальное состояние, для которого не требуется выполнения закона сохранения энергии. Выполнение же закона сохранения квазиимпульса требуется в каждом взаимодействии (т.е. в каждой точке диаграммы).
Рис. 49. Трехфононные процессы, которые могут давать вклад в изменение числа фононов n(k,j). Km – целочисленный вектор обратной решетки. Процессы 1б и 2б не отличаются от процессов 1a и 2a. Процессы 1 и 4 увеличивают число n(k,j) фононов, а процессы 2 и 3 – уменьшают его.
Рис. 50. Некоторыечетырехфононные процессы, которые могут давать вклад в изменение числа фононов n(k,j). Km – целочисленный вектор обратной решетки
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Фонон-фононные взаимодействия» з дисципліни «Фізика кристалів»
