Оптические колебания при k(0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения (mkAk=0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k(0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k=0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m+ и m–, приведенная масса равна ( = m+m–/m++m–, а величина (/V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут W
где U+ и U- смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов W в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что W=Wt+Wl. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа поперечных волн Wt=Wt1+Wt2, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы. При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещения W и поляризации P:
Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; bij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k ( 0, т.е. для длин волн возбуждений (>>a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b11W – упругая механическая сила; член b12Е – электрическая сила (сила Кулона ), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в среде волн с k ( 0. Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом потенциале:
Подстановка этих решений в систему уравнений дает:
Из первого уравнения
Поскольку D=E+4(P=(E, то
Из соображений размерности величина –b11=(о2 представляет собой константу, описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды ( (т.е. (( (). Таким образом, –b11=(ТО2. Для очень высоких частот, когда (>>(TO, поляризация решетки определяется только электронной поляризацией среды и ( = (( = n2. Поэтому
При низких частотах, когда (<<(TO , поляризация среды определяется как электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная ( =(о. Поэтому
Используя выражение для b12b21, выражение для диэлектрической проницаемости можно записать следующим образом:
Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис.42).
Рис.42. Диэлектрическая проницаемость ((() и коэффициент отражения R(() кристалла вблизи одиночного резонанса на частоте (TO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного затухания (пунктирная кривая).
Она хорошо описывает поведение ( в широкой области частот. Исключением является только область ( ( (TO, поскольку при ( =(TO диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности (( ( . Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание. В этом случае уравнение для смещения W выглядит так:
Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической проницаемости:
Комплексность ( означает поглощение энергии при (((TO. Данная формула, конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для кристалла NaCl: (o=5.62, ((=2.25=n2; для воды Н2О: (о=81, ((=n2=1.3222.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поперечные и продольные оптические колебания» з дисципліни «Фізика кристалів»
