Прежде чем перейти к описанию свойств фазового перехода вне области применимости теории Ландау (т. е. в непосредствен- ной окрестности точки перехода), покажем, каким образом могла бы быть поставлена статистическая задача об исследовании этих свойств*). Согласно C5.3) термодинамический потенциал О определя- ется статистической суммой A47.1) N J где интегрирование производится по всему фазовому простран- ству системы N частиц. Если же распространить интегрирова- ние лишь по той части фазового пространства, которая отвечает некоторому заданному распределению параметра порядка г](г), то определяемый формулой A47.1) функционал О[г/(г)] можно рассматривать как потенциал, отвечающий этому распределе- нию. Непрерывное распределение г/(г) удобно при этом заменить дискретным набором комплексных переменных r/k = r/k ~^~ ^k — компонент фурье-разложения A46.7). Тогда определение Q[rj\ за- пишется в виде N х / esqp{-?^^\]\6(rk-rb(p,q;N)N(r&-r&(p,q-,N))drN, J к A47.2) где r/k(^,g; TV)— величины г/к как функции точки р, q фазового пространства. Очевидно, что при таком определении2) П = -Tin /exp(-^I) П(^к«- A47.3) J к В предыдущем параграфе было показано, что аномальному возрастанию вблизи точки перехода подвержены только флук- туации с малыми волновыми векторами к; именно этими флук- туациями определяется, следовательно, характер особенности 1) Эта постановка задачи о фазовом переходе второго рода была сформу- лирована Л. Д. Ландау A958). 2) Нормировочный множитель V введен под знак произведения для того, чтобы потенциал Q оказался, как и должно быть, пропорционален объему. 18 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 546 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV термодинамических функций. В то же время такие количествен- ные характеристики вещества, как сама температура перехо- да Тс, определяются в основном атомными взаимодействиями в веществе на близких расстояниях, чему отвечают коротковолно- вые компоненты r/k- Это физически очевидное обстоятельство проявляется в статистическом интеграле тем, что большим зна- чениям к отвечает большой фазовый объем. Пусть ко (параметр обрезания) — некоторое значение /с, ма- лое по сравнению с характерным обратным атомным размером. Длинноволновая часть распределения г/(г) дается суммой г, A47.4) к<ко а термодинамический потенциал О [ту], отвечающий этому рас- пределению, дается формулой A47.2), в которой произведение по к должно быть распространено только по значениям к < ко- Соответственно и связь ft[rf\ с О дается формулой A47.3) с ин- тегрированием лишь по r/k с к < ко г) . Вблизи точки перехода функционал Q[rf\ может быть разло- жен по степеням функции rj®, а поскольку эта функция — мед- ленно меняющаяся, то в разложении можно ограничиться чле- нами наиболее низкого порядка по производным этой функции. В то же время это разложение должно уже учитывать самый факт существования фазового перехода, поскольку значение Тс определяется уже исключенными из rj коротковолновыми компо- нентами. Это значит, что разложение ft[rf\ должно прямо иметь вид A46.5) Окончательно, опустив теперь значок ~, приходим к следующе- му выражению для термодинамического потенциала О: О-О0 = -Tin Гехр(-^\ Yl (VdVkdVk), A47.5) J ° к<к0 где Яэф = / [atrj2 + 6r/4 + g(Vr/J - hrj\ dV A47.6) 1) Для простоты рассуждений мы считаем физическую величину г\ класси- ческой. Такое предположение несущественно, поскольку длинноволновая пе- ременная rj во всяком случае классична. Для квантовых систем необходимо, однако, выполнение условия вида Нкои ^ Т, где и—характерная скорость распространения колебаний параметра порядка. § 147 ЭФФЕКТИВНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН 547 играет роль эффективного гамильтониана системы, испыты- вающей фазовый переход. В области применимости теории Ландау флуктуации малы. Это значит, что в статистическом интеграле A47.5) существен- ны значения г/, лежащие в узком интервале вокруг значения г/ = rj, минимизирующего эффективный гамильтониан. Взяв ин- теграл методом перевала (т. е. заменив показатель экспоненты его разложением вблизи минимума), мы должны вернуться к термодинамическому потенциалу теории Ландау; поэтому ко- эффициенты в эффективном гамильтониане и в термодинами- ческом потенциале теории Ландау должны совпадать букваль- но. При этом, однако, флуктуационные поправки приведут к некоторому сдвигу значения температуры перехода Тс по срав- нению со значением Тс , фигурирующим в A47.6) в разности t = T-Tiu). Интеграл A47.5) берется по бесконечному множеству пере- менных r/k (после того, как эффективный гамильтониан подста- новкой г/(г) из A47.4) выражен через эти переменные). Если бы этот (как говорят, континуальный) интеграл мог быть вычи- слен, тем самым был бы выяснен характер особенности функ- ции Vt(ii,T) вблизи точки перехода. Это, однако, оказывается невозможным. В формировании особенности играют роль флуктуации с волновыми векторами к ~ 1/гс. При t —> 0 радиус корреля- ции гс —>• оо, так что существенны сколь угодно малые значе- ния к. Поэтому представляется весьма вероятным, что характер особенности не зависит от выбора величины параметра обреза- ния ко. Если считать, что эта особенность состоит в появлении в термодинамическом потенциале членов с нецелыми степенями температуры t и поля /г, то сделанное утверждение означает независимость от ко показателей этих степеней (так называемых критических индексов). Отсюда в свою очередь должна следовать независимость этих показателей от конкретных значений коэффициентов bug в эффективном гамильтониане (а тем самым—от \i или Р, функциями которого они являются). Действительно, измене- ние ко —>• koj\ эквивалентно изменению масштаба, измере- ния координат (г —>• Аг), и потому последнее не должно ме- нять критических индексов. С другой стороны, преобразова- ние г —>• Аг меняет коэффициент g в эффективном гамиль- тониане, не меняя коэффициента 6; поэтому критические ин- дексы не должны зависеть от g. Аналогичным образом, за- менив одновременно с преобразованием г —>• Аг также и пе- 18* 548 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV ременную континуального интегрирования т\ -Л Аг/, мы изме- ним 6, не изменив g, а потому критические индексы не за- висят и от Ъ (изменение же коэффициента а вообще несуще- ственно, так как оно устраняется соответствующим изменением масштаба ?, заведомо не отражающимся на показателе сте- пени) . Таким образом, следует ожидать, что критические индексы будут одинаковы для всех систем с эффективным гамильтониа- ном вида A47.6). Они, однако, могут быть другими, если симме- трия системы такова, что (по-прежнему при одном параметре порядка) квадратичный по производным член в эффективном гамильтониане имеет более общий вид A46.4). Продолжая эту линию рассуждений, можно ожидать, что и в более общих случаях, когда изменение симметрии при перехо- де описывается многокомпонентным параметром порядка, кри- тические индексы зависят только от структуры эффективного гамильтониана, но не от конкретных значений коэффициентов в нем. При этом в понятие структуры гамильтониана входит число и вид инвариантов четвертого порядка (а также знаки и соотношения типа неравенств между коэффициентами при них), и вид членов, квадратичных по производным от параметров по- рядка. Наконец, скажем несколько слов о вычислении последова- тельных членов разложения статистической суммы A47.5), A47.6) по степеням Ь. Пусть h = 0,? > 0, так что fj = 0; при 6 = 0 эффективный гамильтониан Н+ЛЫ2; A47.7) к<к0 он распадается на сумму членов, каждый из которых зависит только от одного из r/k; статистический интеграл при этом легко вычисляется (см. задачу). Дальнейшие члены разложения (от- вечающие уже учету «взаимодействия» между флуктуациями с различными к) представляют собой произведения различных г/к, усредненные по гауссовому распределению [со ехр(—Щ^Т^1)]. Для таких интегралов справедлива теорема, согласно которой среднее значение от произведения нескольких 7/к равно сумме произведений попарных средних значений от множителей, вы- бранных из числа имеющихся всеми возможными способами. Каждое такое среднее есть корреляционная функция флуктуа- ции (в k-представлении), и, таким образом, вычисление по- следовательных членов разложения по b сводится к вычисле- нию некоторых интегралов от произведений корреляционных § 148 ЭФФЕКТИВНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН 549 функцийг) . По мере приближения к точке перехода эти инте- гралы расходятся, но оказывается невозможным выделить среди них какую-либо совокупность «наиболее сильно» расходящихся, которую можно было бы просуммировать2) . В описанной постановке задачи подразумевается, что харак- тер особенности не зависит от наличия членов более высоких порядков в разложении эффективного гамильтониана по степе- ням г/. Есть веские основания полагать, что это действительно так, поскольку такие члены приводят к интегралам, расходя- щимся слабее, чем интегралы, возникающие от члена ~ г/4.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эффективный гамильтониан» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
