Ориентационная симметрия нематических жидких кристал- лов является одноосной: в каждой точке жидкости существует всего одно выделенное направление ориентации молекул, — на- правление оси аксиальной симметрии. Поэтому макроскопиче- ское состояние такого тела можно описать заданием в каждой его точке одного единичного вектора п(г), определяющего ука- занное направление; этот вектор называют директором. В пол- ностью равновесном состоянии тело однородно, т.е. n = const. Неоднородные же распределения п(г) описывают различные де- формированные состояния жидкого кристалла. При макроскопической деформации п(г) медленно меняет- ся вдоль тела (характерные размеры деформации велики по сравнению с молекулярными размерами). Поэтому производные функции п(г) по координатам являются малыми величинами, тем более высокого порядка малости, чем выше порядок про- изводной. Представив полную свободную энергию деформиро- ванного жидкого кристалла (при заданной температуре) в виде интеграла Fn = J F dV, разложим плотность свободной энер- гии F по степеням производных функции п(г) (С. W. Oseen, 1933; F. C.Frank, 1958). Разложение скалярной величины F может содержать лишь скалярные комбинации компонент вектора п и его производ- ных. Существует всего две скалярные комбинации, линейные по первым производным: истинный скаляр divn и псевдоска- ляр nrotn. Из них первый при интегрировании по объему пре- образуется в интеграл по поверхности тела и, таким образом, несуществен при рассмотрении объемных свойств вещества. Истинные скаляры, квадратичные по первым производным, можно получить, написав тензор четвертого ранга дпк дщ dxi дхш 502 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII и образуя из него инварианты путем сворачивания по парам индексов или умножением на компоненты вектора п. При этом надо учесть, что вектор п единичный, и поэтому —nz = 2пк—- = 0. OXi OXi Таким путем найдем инварианты Но два последних отличаются друг от друга лишь дивергенцией: дп{ дпк дпк дп{ _ д ( дпк дп{ \ дх{ дхк дх{ дхк dxi V дхк дхк)' так что их вклады в полную свободную энергию отличаются лишь не интересующим нас интегралом по поверхности тела (J. L. Ericksen, 1962). Инвариант же1) так что в качестве независимого можно выбрать (nrotnJ. На- конец, можно построить квадратичный по первым производным псевдоскаляр: (n rot n) div n2) . К величинам того же порядка малости относятся скаляры, линейные по вторым производным; все такие величины, однако, путем интегрирования по частям сводятся к членам, квадратич- ным по первым производным. Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности свободной энергии жидкого кристалла: F = Fo + 6nrotn+ ^(divnJ + ^(nrotnJ + ^((nV)nJ+ L L ? + ai2(nrotn) divn, A40.1) где 6, ai, a2, аз, ayi — постоянные (функции температуры). Как уже было указано в предыдущем параграфе, во всех из- вестных жидких кристаллах рассматриваемых категорий на- правления п и — п эквивалентны; для соблюдения этого тре- бования надо положить а\2 — 0. Далее, если среди элементов ) В этом легко убедиться, раскрывая выражения в компонентах, выбрав при этом одну из координатных осей (ось z) вдоль направления п в данной точке пространства (при этом dnz/dxi = 0). 2) Произведение же ((nV)n)rotn = 0, поскольку из Vn2 = 0 следует, что (nV)n = — [nrot n]. § 141 НЕМАТИЧЕСКИЕ И ХОЛЕСТЕРИЧЕСКИЕ ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ 503 симметрии кристалла есть плоскости, то должно быть 6 = 0. Действительно, поскольку nrot п—псевдоскаляр, а свободная энергия — истинный скаляр, то псевдоскаляром должен быть и коэффициент Ь. Но среда, имеющая плоскости симметрии, не мо- жет характеризоваться псевдоскалярными величинами, так как отражение в плоскости привело бы к равенству Ь = —Ь. Таким образом, свободная энергия нематического жидкого кристалла: F = Fo + ^(divnJ + ^(nrot nJ + ^((nV)nJ. A40.2) L L L Все три коэффициента ai, a2, аз должны быть положительными. Тогда равновесному состоянию отвечает n = const. Если же жидкий кристалл не имеет плоскостей симметрии, то Ъ т^ О1) . Перепишем тогда A40.1) (с а\2 = 0) в виде F = F0 + ^(divnJ + ^(nrotn + goJ + y((nV)nJ, A40.3) где qo = Ь/п2 (а постоянная— Ь2/2а2 включена в Fq). Равновес- ному состоянию такого вещества отвечает распределение на- правлений директора, для которого divn = 0, (nV)n = 0, nrotn = —go- Эти уравнения имеют решение пх = 0, пу = cosqox, nz = smqox. A40.4) Эту структуру (отвечающую холестерическим жидким кри- сталлам) можно представить себе как результат равномерного закручивания вокруг оси х нематической среды, первоначаль- но ориентированной своими n = const в одном направлении в плоскости уz. Ориентационная симметрия холестерического кристалла оказывается периодической вдоль одного направле- ния (ось х) в пространстве (так что корреляционная функция р\2 — р12{х^г\2)). Вектор п возвращается к прежнему значению через каждый интервал длины 2тг/до вдоль оси х\ но поскольку направления п и — п физически эквивалентны, истинный пери- од повторяемости структуры равен тг/go- Об описанной таким образом структуре обычно говорят как о геликоидальной. Разумеется, изложенная теория справедлива, лишь если пе- риод геликоидальной структуры велик по сравнению с молеку- лярными размерами. Это условие фактически выполняется в хо- лестерических жидких кристаллах (период тт/qo ~ 10~5см).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нематические и холестерические жидкие кристаллы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
