Характерной особенностью твердых кристаллов является трехмерная периодичность функции плотности p(x,y,zI про- стирающаяся на неограниченные расстояния. Рассмотрим во- прос о возможности существования в природе тел, у которых функция плотности была бы периодична лишь в одном или двух измерениях (R. Peierls, 1934; Л. Д. Ландау, 1937). Так, тело с р = р(х) можно было бы представлять себе как состоящее из правильным образом расположенных друг отно- сительно друга параллельных плоскостей (перпендикулярных к оси ж), в каждой из которых, однако, атомы расположены беспо- рядочным образом. При р = р(х, у) атомы были бы расположены беспорядочным образом вдоль линий (параллельных оси 2:), вто время как сами эти линии располагались бы правильным обра- зом друг относительно друга. Для исследования поставленного вопроса рассмотрим сме- щения, испытываемые малыми участками тела в результате тепловых флуктуации. Ясно, что если такие смещения будут неограниченно возрастать с увеличением размеров тела, то это автоматически приведет к «размыванию» функции /э, т. е. воз- никнет противоречие со сделанным предположением. Другими словами, могут осуществляться лишь такие структуры, для ко- торых среднее смещение остается конечным при сколь угодно больших размерах тела. Проверим прежде всего, что это условие выполняется для обычного кристалла. Обозначим через и(х,ууг) вектор флук- туационного смещения малого участка с координатами ж, у, z и представим его в виде ряда Фурье r, A37.1) причем компоненты вектора к пробегают как положительные, так и отрицательные значения, а коэффициенты u k связаны со- отношениями u_k = u?, следующими из вещественности и. В Примеры, относящиеся к таким группам, можно найти в указанной на с. 478 книге Г. Л. Вира и Г. Е. Пикуса. § 137 СТРУКТУРЫ С ОДНО- И ДВУМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬЮ 493 ряде A37.1) будут присутствовать лишь члены с не слишком большими волновыми векторами (к < 1/с/, где d — линейные раз- меры смещающегося участка). Будем рассматривать флуктуа- ции при постоянной температуре; их вероятность определяется тогда формулой wooexp(-AFn/T), A37.2) гДе г — AFU = / (F - F)dV A37.3) есть изменение полной свободной энергии тела при флуктуации, a F обозначает теперь свободную энергию, отнесенную к единице объема тела (ср. A16.7)). Для вычисления AFU надо разложить F — Fuo степеням сме- щения. При этом в разложение войдут не сама функция и(ж, у, z), а лишь ее производные, поскольку разность F — F должна обра- щаться в нуль при u = const, что соответствует простому сме- щению тела как целого. Далее очевидно, что линейных по произ- водным членов в разложении не может быть: в противном слу- чае F не могло бы иметь минимума при и = 0. Далее, вследствие малости волновых векторов к в разложении свободной энергии можно ограничиться членами, квадратичными по первым про- изводным от и, пренебрегая членами, содержащими производные высших порядков. В результате найдем, что AFU имеет вид ку,кг), A37.4) к где элементы вещественного тензора (рц (г, / — тензорные индек- сы, по которым подразумевается суммирование) —квадратичные функции компонент вектора к1) . Согласно A11.9) находим отсюда для средних квадратичных флуктуации фурье-компонент вектора смещения гр V (k k М (uibuw) = ° ПРИ к' Ф ~к> A37.5) ^1 где ср^1 — компоненты тензора, обратного тензору (рц2) . Для большей наглядности представим это выражение в виде = |^, A37.6) Члены с произведениями щъщи ехр[г(к + k')r] с к' / —к исчезают при интегрировании по объему. 2)Для установления общего численного коэффициента в A37.5) надо учесть, что каждое произведение щ\^и^ входит в A37.4) дважды (тк), да- вая 2 ~Re(uikUfo), а вещественная часть произведения иц^и*^ сама есть сумма двух независимых произведений. 494 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII где величины Ац зависят только от направления вектора к (п = к/А;). Средние значения (щщ) получаются из A37.6) сум- мированием по к; перейдя обычным образом от суммирования по к к интегрированию, получим, например, для среднего ква- драта вектора смещения / 2\ гр [ Ац(п) d3k rp Г Этот интеграл:) сходится на нижнем пределе (к —>> 0) как первая степень к. Таким образом, средний квадрат флуктуационного смещения оказывается, как и следовало, конечной величиной, не зависящей от объема тела. Рассмотрим далее тело с функцией плотности р = р(х). По- скольку в направлениях осей у и z в таком теле р = const, то ни- какое смещение вдоль этих осей не может «размазать» функцию плотности, а потому не представляет для нас интереса. Надо, следовательно, рассмотреть только смещение их. Далее легко ви- деть, что первые производные дих/ду, дих/dz вообще не могут входить в разложение свободной энергии: если повернуть тело как целое вокруг оси у или z, то эти производные изменятся, между тем как свободная энергия должна, очевидно, остаться неизменной. Таким образом, в разложении F — F надо рассмо- треть следующие квадратичные по смещению члены: дих\2 дих(д2их д2их\ (д2их д2их\2 ~дх~) ' 1ь\~дуГ + ~д?~)' \~d^2~ + ~dzT) ' Для некоторого упрощения формул мы сделали не влияющее на результат предположение об изотропии в плоскости у z. Тогда производные по у и z должны входить в симметричной комби- нации. При подстановке в A37.3) написанные выражения дадут соответственно члены вида где к2 = к2 + к2. Хотя последние два выражения содержат бо- лее высокие степени компонент волнового вектора, чем первое, однако они могут быть одинакового порядка величины с ним, поскольку об относительной величине кх и ус заранее ничего не известно. Таким образом, изменение свободной энергии будет иметь вид 1Y1 V ^2). A37.8) Напомним, что написанный вид подынтегрального выражения относит- ся лишь к не слишком большим значениям к. § 137 СТРУКТУРЫ С ОДНО- И ДВУМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬЮ 495 где (р— квадратичная функция переменных кх и ж1. Вмес- то A37.7) будем теперь иметь J <p(kx^)Bnf 87T2 У Но этот интеграл логарифмически расходится при к —>• 0. Рас- ходимость среднего квадрата смещения означает, что точка, к которой относится определенное значение р(х), может сме- щаться на очень большие расстояния; другими словами, плот- ность р(х) «размажется» по всему телу, так что никакая функ- ция р(х) (кроме тривиальной р = const) не оказывается воз- можной. Аналогичные рассуждения в случае тела с р = р(х,у) при- водят к следующему выражению для средних квадратов сме- щения: f dkxdkydkz - B7r)8 j где снова ср — квадратичная функция своих аргументов. Этот интеграл, как легко видеть, сходится на нижнем пределе, так что среднее флуктуационное смещение остается конечным. Та- ким образом, тела с такой структурой могут существовать; по-видимому, такую структуру имеют некоторые из так назы- ваемых дискотпических жидких кристаллов. До сих пор в этом параграфе речь шла о трехмерных телах, и лишь упорядоченность расположения атомов в них предполага- лась двух- (или одно-) мерной. Рассмотрим теперь вопрос о воз- можности упорядоченного расположения атомов в двумерных системах с атомами, заполняющими лишь некоторую поверх- ность г) . Двумерным аналогом обычных твердых кристаллов являлась бы пленка, в которой атомы расположены правиль- ным образом в узлах плоской решетки. Это расположение могло бы быть описано функцией плотности р(х, у) (имеющей теперь другой —по сравнению с рассмотренным выше случаем —смысл, так как рассматриваются только атомы на одной поверхности z = const). Легко, однако, видеть, что тепловые флуктуации «размывают» такой кристалл, так что единственной возможно- стью оказывается р = const. Действительно, средние значения произведений компонент флуктуационного смещения и (в плос- кости ху) определяются снова формулами вида A37.6), A37.7) с той разницей, что интегрирование будет теперь производиться Таковыми являются мономолекулярные адсорбционные пленки, распо- ложенные на границе между двумя изотропными фазами — см. § 159. 496 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII по двумерному к-пространству: / \ ГГ\ I ^-гЦПУ илъхилъу /-, ОГ7 -I -I \ (щип = 1 \ —5 о~1 Aо7.11) и интеграл логарифмически расходится при к —^ 0. Здесь необходимо, однако, сделать следующую оговорку. По- лученный результат означает лишь, строго говоря, что флук- туационное смещение обращается в бесконечность при неогра- ниченном возрастании размеров (площади) двумерной системы (что допускает рассмотрение сколь угодно малых значений вол- нового вектора). Но ввиду медленного (логарифмического) ха- рактера расходимости интеграла размеры пленки, при которых флуктуации остаются еще малыми, могут оказаться довольно большимиг) . В таких случаях пленка конечных размеров могла бы практически проявлять «твердо-кристаллические» свойства, и для нее можно было бы приближенно говорить о двумерной решетке. Мы увидим в следующем параграфе, что эти свойст- ва двумерных систем еще усиливаются при понижении темпе- ратуры.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Структуры с одно- и двумерной периодичностью» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Примеры, относящиеся к таким группам, можно найти в указанной на 