Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Свойства симметрии нормальных колебаний кристаллической решетки

Одно из физических применений математического аппара-
та представлений пространственных групп состоит в класси-
фикации нормальных колебаний решетки по их свойствам сим-
метрии *) .
Напомним, что в решетке с v атомами в элементарной ячейке
для каждого заданного волнового вектора к существует 3v нор-
мальных колебаний, каждое со своим значением частоты о;(к).
Во всей области изменения к закон дисперсии колебаний
uj = cj(k) имеет, другими словами, Зъ> ветвей а;а(к); каждая
из ооа(к) пробегает значения в некотором конечном интерва-
ле— энергетической зоне фононов. Все существенно различные
значения волнового вектора заключены в одной элементарной
ячейке обратной решетки; если же рассматривать всю бесконеч-
ную обратную решетку, то в ней функции ша(к.) периодичны:
иа(к + Ь)=иа(к). A36.1)
Физические основания для классификации колебаний решет-
ки по неприводимым представлениям ее группы симметрии те
же, что и для аналогичной классификации в случае конечных
симметричных систем—многоатомных молекул (см. III, §100).
Нормальные координаты колебаний, осуществляющие собой (в
качестве базиса) некоторое неприводимое представление группы
симметрии решетки, относятся к одной и той же частоте.
Каждое неприводимое представление пространственной
группы задается, прежде всего, своей звездой волновых век-
торов. Отсюда сразу следует, что частота одинакова для всех
нормальных колебаний, отличающихся лишь значениями к из
одной и той же звезды. Другими словами, каждая из функ-
ций ооа(к) обладает полной симметрией направлений данного
кристаллического класса. При этом, как было указано в преды-
дущем параграфе, в силу симметрии по отношению к обращению
времени звезда к должна быть дополнена всеми векторами —к
(если звезды к и —к не совпадают сами по себе); другими сло-
вами, всегда2) ( , ( , /1Q,O^
u)a(-k) =u)a(k). A36.2)
) Представления пространственных групп впервые были примене-
ны к изучению физических свойств кристаллических решеток Хундом
(F. Hund, 1936) и Баукартом, Вигнером и Смолуховским (L. P. Bouckaert,
R. Smoluchowski, E.P. Wigner, 1936).
2) С физической точки зрения связь преобразований к —»¦ — к для коле-
баний решетки с обращением времени очевидна: изменение знака времени
меняет на обратное направление распространения волн (или в терминах фо-
нонной картины, меняет знак импульса фонона р = fik).
§ 136 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 487
При заданном значении к (т. е. для одного из лучей звезды)
нормальные координаты распределяются по базисам малых
представлений, отвечающих различным частотам. Если размер-
ность / малого представления больше единицы, то это значит,
что при данном значении к имеет место вырождение: частоты
в / ветвях совпадают.
Когда вектор к занимает (в обратной решетке) общее по-
ложение, он не имеет никакой собственной симметрии (его
группа содержит лишь единичный элемент— тождественное
преобразование); все Зи значений ооа(к) при этом, вообще гово-
ря, различны. Вырождение может появиться, когда собственная
симметрия волнового вектора настолько высока, что его груп-
па имеет неприводимые представления с размерностью / > 1.
С учетом одной лишь пространственной симметрии это может
произойти либо в изолированных точках обратной решетки,
либо на целых прямых линиях (осях симметрии) в ней. Сим-
метрия же относительно обращения времени может привести
также и к вырождению (двукратному) на целых плоскостях в
k-пространстве (F.Hund, 1936; С. Herring, 1937); согласно ска-
занному в предыдущем параграфе такое вырождение может
иметь место на плоскостях, перпендикулярных к винтовой оси
второго порядка (см. пример представлений, связанных со звез-
дой A35.2)) Ч .
Для того чтобы произвести классификацию нормальных
колебаний конкретной кристаллической решетки, надо преж-
де всего найти полное колебательное представление простран-
ственной группы, осуществляемое сразу всеми колебательными
координатами (векторами смещения атомов). Это представле-
ние приводимо и, разложив его на неприводимые части, мы
тем самым определим кратности вырождения частот и свойст-
ва симметрии соответствующих колебаний. При этом может
оказаться, что одно и то же представление входит в колеба-
тельное представление несколько раз: это будет означать, что
имеется несколько различных частот одинаковой кратности с
колебаниями одинаковой симметрии.
Эта процедура аналогична способу классификации коле-
баний молекулы (III, §100). Существенное отличие состоит,
х) Помимо вырождений, связанных с симметрией решетки, может иметь
место также и вырождение при «случайных» значениях к; существование
таких вырождений могло бы быть предсказано теоретически лишь путем
фактического решения уравнений движения атомов в конкретной решетке.
Исследование возможных здесь случаев см. в статье: Herring C.//Phys. Rev.
1937. V. 52. P. 365 (Эта статья воспроизведена в сборнике: Нокс Р., Голд А.
Симметрия в твердом теле./Пер. с англ. под ред. В. Л. Бонч-Бруевича. —М.:
Наука, 1970.)
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII
однако, в том, что колебания решетки характеризуются еще
и параметром к, пробегающим непрерывный ряд значений, и
классификация должна производиться для каждого значения
(или каждой категории значений) волнового вектора в отдель-
ности. Заданием значения к определяется звезда неприводимого
представления пространственной группы. Поэтому фактически
необходимо определить лишь колебательное малое представле-
ние и разложить его на неприводимые малые же представле-
ния— неприводимые представления группы симметрии векто-
ра к.
В особенности просто проведение классификации предель-
ных (при к —>> 0) колебаний решетки. При к = 0 неприводи-
мые малые представления для всех (как симморфных, так и
несимморфных) пространственных групп совпадают с неприво-
димыми представлениями точечной группы симметрии решет-
ки — ее кристаллического класса. Для нахождения же колеба-
тельного представления A?Кол) надо рассматривать только ато-
мы в одной элементарной ячейке (другими словами, все транс-
ляционно эквивалентные атомыг) надо рассматривать как один
и тот же атом). Не повторяя заново всех рассуждений, кото-
рые проводятся в этой связи для колебаний атомов в молекуле,
сформулируем следующее правило нахождения характеров ко-
лебательного представления решетки для к = 0. Характеры по-
ворота С(ф) на угол ср вокруг оси симметрии или поворота S(tp)
вокруг зеркально-поворотной оси, равны
Хкол(С) = VcXv©, Хкол(^) = VSXv{S), A36.3)
где
Xv© = l + 2cos(^ Xv(S) = -l + 2cos(^
— характеры представления, осуществляемого тремя компонен-
тами вектора (полярного), a ис или us — число атомов, которые
при преобразовании остаются на месте или переходят в транс-
ляционно эквивалентные места2) . Эти же формулы определяют
характеры для отражения в плоскости (преобразование S@)) и
для инверсии в центре симметрии (преобразование S(ir)). Пово-
рот вокруг винтовой оси или отражение в плоскости скольжения
заведомо переводят все атомы в трансляционно не эквивалент-
ные положения; поэтому для них всегда Хкол = 0.
) То есть заполняющие узлы одной и той же решетки Бравэ.
2) В случае молекулы в характерах колебательного представления должно
было производиться вычитание с целью исключения координат, отвечающих
смещению или повороту молекулы как целого. В случае решетки число F)
этих степеней свободы исчезающе мало по сравнению с полным числом сте-
пеней свободы, и соответствующее вычитание не требуется.
§ 136 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 489
Проиллюстрируем эти правила примеромг) . Решетка алма-
за относится к несимморфной пространственной группе О\. Она
имеет гранецентрированную кубическую решетку Бравэ с дву-
мя одинаковыми атомами в элементарной ячейке, занимающими
положения в вершинах @00) и в точках A/4 1/4 1/4) на про-
странственных диагоналях кубических ячеек2) . Половина пово-
ротных элементов группы О\ совпадает с вращениями и отра-
жениями точечной группы Т^. Эти преобразования оставляют
оба атома на местах или переводят их в трансляционно экви-
валентные положения; поэтому характеры колебательного пред-
ставления для этих элементов: Хкол = %Xv- Остальные же по-
воротные элементы группы О\ представляют собой винтовые
вращения и отражения в плоскостях скольжения, получающие-
ся комбинированием элементов группы Т& с инверсией (/|т), где
т = A/2 1/2 1/2); эти элементы совмещают атом в точке @00)
с атомом в трансляционно неэквивалентной точке A/4 1/4 1/4),
так что их характеры Хкол = 0. Разложение полученного таким
образом колебательного представления по неприводимым пред-
ставлениям точечной группы О^: DK0JI = i^g + ^w3) • Координа-
ты акустических колебаний, описывающие при к = 0 смещение
ячейки как целого, преобразуются как компоненты вектора; им
отвечает, следовательно, представление F2W, по которому пре-
образуются в группе О^ компоненты вектора. Представление
же F2g отвечает трехкратно вырожденной предельной частоте
оптических колебаний4) .
г) Во избежание недоразумений, отметим, что классификация предельных
частот оптических ветвей колебаний по одной лишь кристаллографической
симметрии решетки недопустима для ионных кристаллов. Длинноволновые
оптические колебания ионной решетки сопровождаются появлением макро-
скопической поляризации кристалла и связанного с нею макроскопическо-
го электрического поля; это поле, вообще говоря, меняет (понижает) сим-
метрию колебаний.
2) Координаты атомов даются по отношению к ребрам кубической
ячейки (в единицах длины этих ребер). Напомним, что объем кубической
гранецентрированной ячейки в четыре раза больше объема элементарной
ячейки. Основными периодами решетки являются векторы, проведенные
из вершины в точки A/2 1/2 0), A/2 0 1/2), @ 1/2 1/2) —центры граней
кубической ячейки.
3) Точечную группу Он можно рассматривать как прямое произведение
О х С % или Td х d\ мы пользуемся здесь вторым из них. В соответствии
с этим неприводимые представления группы Oh строим из представлений
группы Td. В частности, представления F2g и F2U точечной группы Oh по-
лучаются из представления F2 группы Td, отличаясь друг от друга соответ-
ственно четностью или нечетностью по отношению к инверсии (см. III, § 95).
4) Предельная частота акустических колебаний всегда вырождена: макро-
скопический характер этих колебаний приводит к одинаковому значению
490
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII
При выходе из точки к = 0 вырождение оптических коле-
баний, вообще говоря, снимается. В зависимости от симметрии
величина расщепления может меняться (вблизи точки к = 0)
как однородная функция первого или второго порядка от ком-
понент вектора к. Соответствующий критерий легко получить
в терминах квантовомеханической теории возмущений. Гамиль-
тониан колебаний решетки с малым волновым вектором к = <Яс
имеет вид Hq + 7^к, где Hq — гамильтониан колебаний с к = 0,
а 7 — некоторый векторный оператор; член j6~k. играет роль воз-
мущения, вызывающего расщепление. Величина расщепления
будет первого порядка по #к, если оператор 7 имеет отличные от
нуля матричные элементы для переходов между состояниями,
относящимися к одной и той же вырожденной частоте колеба-
ний; в противном случае расщепление будет второго порядка
по <Яс. При этом надо учесть, что оператор 7 нечетен по отно-
шению к обращению времени; это следует из того, что нечетен
волновой вектор <Яс, а произведение 7^к (как и всякий гамильто-
ниан) должно быть инвариантно относительно обращения вре-
мени. Таким образом, решение поставленного вопроса сводит-
ся к выяснению правил отбора для диагональных (по частоте)
матричных элементов векторного оператора, нечетного относи-
тельно обращения времени (см. III, §97). Если вырожденная
частота отвечает некоторому неприводимому представлению D,
то эти правила определяются разложением антисимметричной
части его прямого произведения самого на себя: {D2}] отличные
от нуля матричные элементы существуют, если это разложение
содержит в себе части, по которым преобразуются компоненты
вектора.
Расщепление заведомо будет второго порядка по <Яс, если то-
чечная группа симметрии решетки (кристаллический класс) со-
держит центр инверсии; это очевидно уже из того, что квадра-
тичный базис представления {D2} заведомо четен относительно
инверсии, между тем как компоненты вектора меняют знак при
этом преобразовании. Если же кристаллический класс не содер-
жит инверсии, то возможны оба случая. Так, для кристалличе-
ского класса О антисимметричные произведения самих на себя
для двумерного неприводимого представления Е и трехмерных
представлений F\ и^1)
uj = 0 для всех трех ветвей, даже если это не вызывается требованиями
симметрии. В этом смысле это вырождение является «случайным».
1) Обозначения неприводимых представлений точечных групп —
см. III, §95.
§ 136 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 491
Компоненты же вектора преобразуются по F\\ поэтому расщеп-
ление двукратно вырожденной частоты будет второго, а трех-
кратно вырожденных — первого порядка по jk.
Обратимся к колебаниям с отличным от нуля волновым
вектором. Их классификация в случае симморфных простран-
ственных групп производится так же, как и в описанном выше
случае к = 0. Неприводимые малые представления совпадают
здесь с неприводимыми представлениями точечной группы сим-
метрии вектора к, а для нахождения колебательного малого
представления надо по-прежнему рассматривать атомы только
в одной элементарной ячейке.
Продемонстрируем эту процедуру на примере оптических
колебаний решетки алмаза. Гранецентрированной решетке Бра-
вэ этой структуры отвечает объемноцентрированная кубиче-
ская обратная решетка. В точке к = 0 (вершина кубической
ячейки) собственная симметрия волнового вектора—О/^, и име-
ется (как было выяснено выше) одна трехкратно вырожденная
частота оптических колебаний, отвечающая представлению F^g\
характеры этого представлениях) :
Е
3
SCs
0
зс2
-1
6а'
1
654
-1
/
3
85*6
0
Зсг
-1
1
-1
Проследим за расщеплением этой частоты при выходе из
точки к = 0.
При смещении вдоль пространственной диагонали кубиче-
ской ячейки вектор к приобретает собственную симметрию Csv •
По отношению к этой группе представление, осуществляемое те-
ми же тремя колебательными координатами, приводимо:
Е 2С3 За'
3 0 1 = Е + Аи
т. е. трехкратно вырожденная частота расщепляется на одну дву-
кратно вырожденную и одну невырожденную. Такого же типа
расщепление произойдет при смещении вдоль ребра кубической
ячейки, где собственная симметрия волнового вектора —C±v:
Е С2 2С4 2сг 2а'
3 -1 -1 -1 1 = Е + В2.
При смещении вдоль диагонали грани кубической ячейки соб-
ственная симметрия вектора к понижается до С^, и расщепле-

Перечислены сначала элементы симметрии, входящие в точечную груп-
пу Td, а затем — элементы, получающиеся умножением предыдущих на ин-
версию /. Элементы ЗС2 — повороты на угол тг вокруг осей, проходящих
через ребра кубической ячейки; 6С'2 — повороты на тг вокруг диагоналей
граней кубической ячейки; 6а' — отражения в плоскостях, проходящих через
противоположные ребра кубической ячейки; Зет — отражения в плоскостях,
совпадающих с гранями ячейки.
492
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII
ние частот полное:
Е С2 а а'
3 1 -1 1 = А1+А2+Б2.
Для кристаллических решеток несимморфных простран-
ственных групп процедура классификации нормальных колеба-
ний более громоздка, и мы на этом останавливаться не будем1) .

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Свойства симметрии нормальных колебаний кристаллической решетки» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»