В физических применениях теории групп симметрии на их представления обычно накладывается дополнительное требова- ние: функции базиса представления должны быть вещественны- ми (точнее — допускать приведение к вещественному виду). Это требование возникает как следствие симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике в силу этой симме- трии комплексно-сопряженные волновые функции должны отве- чать одному и тому же уровню энергии квантовой системы и потому должны входить в число функций базиса одного и то- го же физически неприводимого представления (ср. III, § 96). В классической же теории эта симметрия выражается инвари- антностью уравнений движения по отношению к замене t —>> —t (уравнения содержат производные по времени четного — второ- го — порядка). Именно в результате этого уравнения для сме- щений us атомов в решетке остаются вещественными, когда их решение ищется в комплексном (~ e~lujt) виде F9.6); амплиту- ды этих выражений могут, следовательно, быть выбраны веще- ственными г) . Вещественные функции базиса остаются, конечно, веще- ственными и в результате воздействия всех элементов симме- трии; другими словами, вещественны и все матрицы предста- вления группы. Если же некоторое неприводимое представление не удовлетворяет этому требованию, то оно должно быть объ- единено с комплексно- сопряженным ему представлением в одно физически неприводимое представление вдвое большей размер- ности. Рассмотрим с этой точки зрения случаи, которые мо- гут иметь место для представлений пространственных групп (С. Herring, 1937). х) Это, однако, уже не так при наличии магнитного поля или в кристаллах с магнитной структурой. 16 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 482 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII Наиболее прост в этом смысле случай, когда звезды волно- вых векторов к и —к не совпадают друг с другом. В таком слу- чае неприводимые представления, построенные на каждой из этих звезд, заведомо комплексны. Так, для звезды к функции базиса представлений умножаются при трансляциях (Е\з) на множители eika, среди которых нет взаимно комплексно-сопря- женных; ясно поэтому, что никаким выбором линейных комби- наций этих функций нельзя привести матрицы преобразований к вещественному виду. С другой стороны, произведя комплекс- ное сопряжение этих функций, мы получим комплексно-сопря- женное представление, относящееся к звезде вектора —к. Объ- единением этих двух представлений мы и получим веществен- ное представление. Таким образом, для получения физически неприводимого представления в звезду волнового вектора на- до включить наряду с каждым к также и вектор —к. Другими словами, для получения всей нужной звезды надо применить к некоторому исходному к все элементы группы направлений, до- полненной центром симметрии. Если же звезда волнового вектора уже с самого начала содер- жит все нужные значения к, то этим еще отнюдь не гарантиру- ется вещественность построенных на них неприводимых пред- ставлений. Продемонстрируем это на простом примере. Рассмотрим симморфную пространственную группу S\, от- носящуюся к кристаллическому классу S^ и имеющую простую тетрагональную решетку Бравэ. Рассмотрим в этой группе представления, отвечающие звезде двух векторов к= @,0,*), @,0,-*), A35.1) где ось z направлена вдоль оси симметрии S4, а к — произвольное (отличное от 1/2) число между 0 и 1. Собственная симметрия этих векторов: С^ эта точечная группа имеет два одномерных представления с характерами: А В Е 1 1 с2 1 -1 Взяв первое из них в качестве малого представления, получим двумерное представление всей пространственной группы, базис которого может быть выбран в виде комплексно-сопряженных функций ехр(±2тггх^); это представление, следовательно, веще- ственно. Малому же представлению В отвечает двумерное пред- ставление всей группы, осуществляемое базисными функциями ехрBтггх2:) cos 2тпе, ехр(— § 135 СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ 483 Характеры поворотных элементов группы в этом представле- (ЯЮ) №Ю) (С2|о) E||о) 2 0 -2 0 а характеры трансляциий: 2 2 2cos2tt>z: Все эти характеры вещественны, но представление тем не менее комплексно: функции его базиса не могут быть преобразованы к вещественному виду. Физически неприводимое представление получается присоединением к этим функциям также и их ком- плексно- сопряженных. Таким образом, физически неприводимое представление получается в данном случае объединением двух комплексно-сопряженных, но эквивалентных (с одинаковыми ха- рактерами) представлений*) . В рассмотренном примере симметрия относительно обра- щения времени приводит к удвоению размерности физически неприводимого представления для значений волнового вектора, заполняющих прямую линию (ось симметрии) в к-пространстве. Существуют также и случаи, когда такое удвоение происходит для значений к, заполняющих целую плоскость в к-простран- стве. Именно, речь идет о плоскости, перпендикулярной к вин- товой оси второго порядка. Рассмотрим, например, несимморфную пространственную группу С\, относящуюся к кристаллическому классу С2 и имею- щую простую моноклинную решетку Бравэ. Ось второго поряд- ка (примем ее за ось z) в ней яляется винтовой, с переносом на половину периода: (С2|аз/2). Рассмотрим в этой группе звезду двух волновых векторов: k=(x,A,l/2), (-*:,-A,l/2), A35.2) где к и А — произвольные числа между 0 и 1/2 (оси ж, у — косоугольные, в плоскости, перпендикулярной к оси симме- трии); звезда включает в себя к и —к, поскольку векторы (—х, —А, —1/2) и (—х, —А, 1/2) эквивалентны. Этой звезде от- вечают два эквивалентных (с одинаковыми вещественными ха- рактерами) двумерных неприводимых представления группы, осуществляющихся соответственно базисными функциями и их комплексно-сопряженными. Физически неприводимое пред- ) Напомним, что в точечных группах такой ситуации не возникало: для этих групп все неприводимые представления с вещественными характерами вещественны. 16* 484 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII ставление получается объединением этих двух комплексно-со- пряженных представлений. Четыре функции его базиса разби- ваются на две пары, каждая из которых отвечает одному из двух волновых векторов звезды: ±iirz Если неприводимое представление найдено вместе с функция- ми его базиса, ответ на вопрос о его вещественности или ком- плексности становится очевидным. Тем не менее в более сложных случаях (и для исследования некоторых общих вопросов) полез- но иметь критерий, позволяющий дать ответ на этот вопрос уже непосредственно по характерам малого представления. Такой критерий можно получить, исходя из следующей общей теоремы теории представлений группг) . Для каждого из неприводимых представлений группы сле- дующая сумма может иметь одно из трех значений: +1 (а), { ° (б)> A35-3) G I -1 (в) (суммирование производится по всем элементам группы, g— ее порядок). В зависимости от этих значений: а) представление вещественно; б) представление комплексно, причем комплекс- но- сопряженные представления не эквивалентны (имеют ком- плексно- сопряженные характеры); в) представление комплексно, причем комплексно-сопряженные представления эквивалентны (имеют одинаковые вещественные характеры). Наметим путь, по которому этот критерий преобразуется в применении к пространственным группам, не вникая в его детали. Согласно описанному в предыдущем параграфе спосо- бу построения неприводимых представлений пространственных групп, их характеры могут быть представлены в виде ), A35.4) г где %к[(Р|к)] — характеры поворотных элементов группы в ма- лом представлении, а суммирование производится по тем из лу- чей ki, k2,... звезды волнового вектора, для которых Р явля- ется одним из элементов его группы симметрии. Применив эту формулу к элементу (Р|т + аJ = (Р2|т + Рт + а + Ра) = (Р|тJ(?|а + Ра), х) Ее доказательство можно найти, например, в книгах, указанных в при- мечаниях на стр. 469 и 478. 136 СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ 485 имеем \2п Х[(Р\т + аJ] = J2 Хкг [(Р\тJ} ехр[га(кг (в показателе заменено к^Ра = аР 1к^). Эти характеры надо просуммировать по всем трансляциям и всем поворотным эле- ментам (Р|т). Сумма отлична от нуля только при к^ + Р 1к^ = О, Ь. Наконец, заме- чаем, что ввиду равноценности всех лучей в звезде в сумме по г (которая должна вычисляться в последнюю очередь) все члены одинаковы. В результате получаем следующий окончательный критерий Херринга: i 0 (б), A35.5) -1 (в), где Хк — характеры малого представления, а суммирование про- изводится по тем из поворотных элементов (Р|т) простран- ственной группы, которые переводят к в вектор, эквивалент- ный —к: Рк = —к + Ь1) ; Пк — число поворотных элементов соб- ственной симметрии волнового вектора. В частности, если пространственная группа вообще не со- держит поворотных элементов, обладающих указанным свой- ством, то в сумме A35.5) не остается ни одного члена, так что имеет место случай (б) — в согласии со сказанным выше о слу- чае, когда звезды к и —к не совпадают. В рассмотренном выше примере из группы S\, требуемым свойством обладают элементы (S4IO) и E||0); их квадраты пред- ставляют собой элемент (C2IO). Поэтому сумма A35.5): ^{Xk[(S4|0J] + Xk[(Sf|0J]} = Xk[(C2|0)] и равна +1 для малого представления А и — 1 для малого пред- ставления В, для которых, следовательно, имеют место слу- чаи (а) и (в) — снова в соответствии с уже найденными резуль- татами.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия относительно обращения времени» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
