Физические применения теории симметрии обычно связаны с использованием математического аппарата так называемых представлений групп. В этом параграфе мы остановимся на вопросе о классификации и методе построения неприводимых представлений пространственных групп1) . Предварительно снова подытожим, в более математических терминах, изложенные в предыдущих параграфах сведения о структуре пространственных групп. Каждая пространственная группа содержит подгруппу трансляций, заключающую в себе бесконечное множество всех возможных параллельных переносов, совмещающих решетку са- му с собой; эта подгруппа и представляет собой с математи- ческой точки зрения то, что называется решеткой Бравэ кри- сталла. Полная пространственная группа получается из этой подгруппы добавлением п элементов симметрии, содержащих вращения и отражения, где п—число преобразований симме- трии соответствующего кристаллического класса; эти элемен- ты будем называть поворотными. Всякий элемент простран- ственной группы можно представить как произведение одной из трансляций на один из поворотных элементов2) . Если пространственная группа не содержит винтовых осей и плоскостей скольжения (симморфная группа), то в качестве поворотных элементов можно выбрать просто п преобразований симметрии — вращений и отражений — кристаллического класса. В несимморфных же группах поворотные элементы представ- ляют собой вращения и отражения с одновременным переносом на определенную долю одного из основных периодов решетки. Для ясной характеристики элементов пространственной группы удобно обозначать их символами (P|t), где Р — ка- кое-либо вращение или отражение, at — вектор одновременной трансляции; при воздействии на радиус-вектор г какой-либо точки: (P|t)r = Pr + t. Перемножение элементов происходит по очевидному правилу = {P'P\P't + t'). A34.1) г) Предполагается знание читателем теории групп в объеме, содержащем- ся, например, в III, гл. XII. 2) Отметим, что подгруппа трансляций— абелева (все ее элементы комму- тативны между собой), и что она представляет собой нормальный делитель всей пространственной группы: все элементы группы, сопряженные с транс- ляциями, тоже являются трансляциями (напомним, что два элемента А и В называются сопряженными, если А = С~1ВС, где С — тоже элемент груп- пы). § 134 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 475 Элемент, обратный элементу (P|t), есть (Pit) = (Р-1! - Р-Н); A34.2) при умножении на (P|t) он дает единичный элемент группы (Е\0) (где Е— символ тождественного поворотного преобразо- вания) . В частности, чистые трансляции изображаются символом (Е\а), где а— какой-либо из периодов решетки. Поворотные элементы в симморфных группах, выбранные указанным вы- ше образом, являются элементами вида (Р|0). В несимморфных же группах поворотные элементы имеют вид (Р|т), где т — та доля периода решетки, на которую происходит перенос в винтовой оси или плоскости скольжения. В первом случае сово- купность поворотных преобразований (Р|0) сама образует под- группу пространственной группы. Во втором же случае элемен- ты (Р\т) сами по себе не образуют подгруппы, поскольку по- вторное их применение приводит не к тождественному преобра- зованию, а к трансляции на один из основных периодов решетки. Вращения же и отражения Р как таковые (т. е. если не разли- чать простые и винтовые оси, простые плоскости симметрии и плоскости скольжения) всегда составляют группу — точечную группу симметрии, определяющую кристаллический класс; эту точечную группу удобно называть в данном аспекте группой направлений решетки1) . Обратимся к построению неприводимых представлений про- странственных групп2) . Всякое такое представление может быть осуществлено набо- ром функций вида ?>ка = ^егкг, A34.3) где к—постоянные волновые векторы, и\^а—функции, инва- риантные относительно трансляций; индекс а = 1,2,... ну- мерует функции с одинаковыми к. В результате параллель- ного переноса г —>> г + а (где а—какой-либо период решет- ки), функции A34.3) умножаются на постоянные eika. Другими ) Во всех случаях связь между пространственной группой и группой на- правлений можно сформулировать с групповой точки зрения следующим образом. Распределим все элементы пространственной группы по п смеж- ным классам, каждый из которых содержит бесконечное множество произ- ведений одного из поворотных элементов на все возможные трансляции, т. е. все элементы вида (Р|т + а) с заданными Риг. Если теперь рассматривать каждый из смежных классов целиком как элемент новой группы, то мы по- лучим так называемую фактор-группу исходной пространственной группы. Эта фактор-группа изоморфна группе направлений. 2) Излагаемые ниже соображения принадлежат Зейтцу (F. Seitz, 1936). 476 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII словами, в осуществляемом функциями A34.3) представлении матрицы трансляций диагональны. Очевидно, что два векто- ра к, отличающиеся на какой-либо период обратной решет- ки Ь, приводят к одинаковому закону преобразования функ- ций <рка при трансляциях: поскольку ab —целое кратное от 2тг, то exp(iab) = 1. Такие векторы к мы будем называть эквива- лентными. Если представлять себе векторы к проведенными из вершины ячейки обратной решетки в различные ее точки, то все неэквивалентные векторы исчерпываются одной элементарной ячейкой. При воздействии же поворотного элемента симметрии (Р\т) функция (рка преобразуется в линейную комбинацию функций (fk'a c различными а и вектором к7, получающимся из к по- средством данного вращения или отражения, произведенного в обратной решетке: к7 = Рк1). Совокупность всех (неэквива- лентных) векторов к, получающихся друг из друга при воздей- ствии всех п поворотных элементов группы, называют звездой волнового вектора к. В общем случае произвольного к его звез- да содержит п векторов (лучей). В число функций (р\^а базиса неприводимого представления должны во всяком случае войти функции со всеми лучами звезды: поскольку функции с неэкви- валентными к умножаются при трансляциях на различные мно- жители, то никаким выбором их линейных комбинаций нельзя добиться уменьшения числа преобразующихся друг через друга функций. При определенных значениях к число лучей в его звезде мо- жет оказаться меньшим чем п, так как может оказаться, что некоторые из поворотных элементов симметрии не меняют к или превращают его в эквивалентный. Так, если вектор к направлен вдоль оси симметрии, то он не меняется при поворотах вокруг этой оси; вектор к, проведенный из вершины в центр элемен- тарной ячейки (к = Ь^/2, где Ь^ —один из основных периодов обратной решетки), при инверсии превращается в эквивалент- ный ему вектор —к = — Ь^/2 = к — Ь^. Совокупность поворотных элементов симметрии (рассма- триваемых все как простые вращения или отражения Р), вхо- дящих в данную пространственную группу и не меняющих век- тора к (или превращающих его в эквивалентный), называют группой собственной симметрии вектора к или просто груп- пой волнового вектора; она представляет собой одну из обычных точечных групп симметрии. *) Для преобразования вектора к в обратной решетке, разумеется, все оси и плоскости симметрии следует рассматривать как простые, т. е. надо рас- сматривать лишь группу направлений. § 134 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 477 Рассмотрим сначала простейший случай симморфных про- странственных групп. Функции базиса неприводимого предста- вления такой группы могут быть представлены в виде произве- денИЙ <Рк* = иафк, A34.4) где функции иа инвариантны относительно трансляций, а ^к" линейные комбинации выражений е (с эквивалентными к), ин- вариантные относительно преобразований группы собственной симметрии вектора к; вектор к в A34.4) пробегает все значе- ния своей звезды. При трансляциях функции иа не меняются, а функции фь (а с ними и <^ка) умножаются на exp(ika). При вра- щениях и отражениях, входящих в группу к, не меняются функ- ции ^к, а функции иа преобразуются друг через друга. Другими словами, функции иа осуществляют какое-либо из неприводи- мых представлений точечной группы (о которых говорят в этой связи как о малых представлениях). Наконец, поворотные эле- менты, не входящие в группу к, преобразуют друг через друга наборы функций A34.4) с неэквивалентными к. Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде к на размер- ность малого представления. Таким образом, задача о нахождении всех неприводимых представлений симморфных пространственных групп полно- стью сводится к классификации векторов к по их собственной симметрии и к известной задаче об отыскании неприводимых представлений конечных точечных групп. Обратимся теперь к пространственным группам с вин- товыми осями или плоскостями скольжения. Наличие таких элементов симметрии все еще остается несущественным, ес- ли волновой вектор к при всех преобразованиях из его группы вообще не меняется (т.е. не переходит в эквивалентныйI). В таких случаях соответствующие неприводимые представления по-прежнему осуществляются функциями вида A34.4), в кото- рых иа образуют базис представления точечной группы век- тора к. Единственное отличие от случая симморфных групп будет состоять в том, что при поворотных преобразованиях функции ^k = ехр(гкг) в A34.4) не остаются неизменными, а умножаются на ехр(гкт). Функции вида A34.4) становятся, однако, непригодными, ес- ли существует несколько эквивалентных векторов к, переходя- щих друг в друга при преобразованиях группы их собственной ) К этой категории всегда относятся, в частности, вектор к = 0 и век- тор, занимающий общее положение, в котором единственым элементом его группы является тождественное преобразование. 478 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII симметрии. При поворотном преобразовании, связанном с одно- временным переносом т, функции exp(ikr) с эквивалентными, но все же различными значениями к умножаются на различные множители (поскольку Ьт/2тг — не целое число); поэтому их ли- нейные комбинации фь не будут преобразовываться через самих себя. В таких случаях раздельное рассмотрение поворотных эле- ментов и трансляций уже невозможно. Однако из бесконечного множества трансляций достаточно рассмотреть лишь конеч- ное их число, причем лишь для векторов к, проведенных из вершины элементарной ячейки обратной решетки в некоторые выделенные точки внутри ячейки; координаты (все три, или некоторые из них) этих точек выражаются простыми рацио- нальными частями1) основных периодов b>i, 1>2, Ьз- Назовем расширенной группой волнового вектора группу, составлен- ную из поворотных элементов (вместе со связанными с ни- ми трансляциями на доли периодов т) и из всех тех транс- ляций, для которых ка/2тг — рациональная дробь (меньшая 1); остальные же трансляции рассматриваются по-прежнему как тождественные преобразования. Функции <рка, осуществляю- щие неприводимые представления составленной таким обра- зом конечной группы (малые представления), вместе с такими же функциями (fk'a других лучей из данной звезды к, осуще- ствляют неприводимое представление пространственной груп- пы. Отметим, что размерность малых представлений в этих группах достигает шести (в группах кристаллического клас- h) Фактически эти части бывают равными лишь 1/2, 1/3, 2/3 (последние два значения — в группах ромбоэдрической и гексагональной систем). 2) Если рассматривать представления расширенной группы волнового век- тора как представления нерасширенной группы (одна из точечных групп), то соотношения между матрицами G, представляющими элементы G груп- пы, будут отличаться от соотношений между самими этими элементами: если G1G2 = ??з, то соответствующие матрицы представления будут, вооб- ще говоря, связаны между собой не таким же равенством G1G2 = G?> (как в обычных представлениях), а равенством вида G1G2 = CJ1263, где CJ12 — некоторый фазовый множитель, равный единице лишь по модулю: |cji2| = 1. Такие представления называют проективными. Все существенно различные проективные представления могут быть раз и навсегда перечислены для каждой из точечных групп, и затем использованы в качестве малых пред- ставлений при построении неприводимых представлений пространственных групп. Изложение теории проективных представлений и таблицы проектив- ных представлений кристаллографических точечных групп можно найти в книге: Вир Г. Л., ПикусГ.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках.— М.: Наука, 1972. 134 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 479 Продемонстрируем этот способ на конкретном примере. Рассмотрим пространственную группу D\^ относящуюся к простой ромбической решетке Бравэ и содержащую следующие поворотные элементых) : (Я|0), (Cf|O), (С||0), (С||0), (/|т), Ыт), (ау\т), (<тг\т), где оси х, у, z направлены вдоль трех основных периодов ре- шетки, а т = (ai + &2 + аз)/2 (оси симметрии С2 простые, а перпендикулярные им плоскости а — плоскости скольжения). Выберем, например, вектор к =A/2,0,0), A34.5) где числа в скобках дают значения составляющих вектора по осям обратной решетки, измеренные в единицах длин ребер {pi = 2тг/а^) ее ячейки. Собственная симметрия этого волново- го вектора содержит все оси и плоскости точечной группы 1?2/и так что этот вектор сам по себе составляет звезду. Расши- ренная группа получается добавлением трансляции (JE|ai), для которой ка/2тг = 1/2. В результате получим группу из 16 эле- ментов, распределенных по 10 классам, как показано в верхнем ряду табл. 2. В сопряженности (т. е. принадлежности к одному Таблица 2 г2 О ^—у 2 2 -2 -2 о «см о. 2 -2 -2 2
о4 еб 0 0 ^_^ 0 0 0 0 S ^ + 0 0 S ^ + 0 0 S ^ + II 0 0 классу), например, элементов {С\|0) и {С\\ъ.\) можно убедиться следующим образом. Имеем = A\ -т)(СЦ0)(/|т) = С\т). Существуют также полные таблицы неприводимых представлений про- странственных групп, которые можно найти в книгах: Ковалев О. В. Непри- водимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп.— М.: Наука, 1986; Bradley С. J., Cracknell A. P. The mathematical the- ory of symmetry in solids.— Oxford: Clarendon Press, 1972. ) Пространственные группы принято обозначать символом кристалличе- ского класса, дополненным верхним индексом — условным номером группы в данном классе. 480 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII Но С\т = -(-ai + а2 - а3), С\т - т = -ai - а3 = ai - Bai + а3), а поскольку трансляции на а3 и на 2ai должны рассматриваться как тождественное преобразование, то По числу элементов и числу классов в группе находим, что она имеет 8 одномерных и 2 двумерных неприводимых предста- влений (8-12+2-22 = 16). Все одномерные представления получа- ются из представлений точечной группы 1?2/и причем трансля- ции (E\a.i) приписывается характер 1. Эти представления, одна- ко, возникают здесь как «паразитные» и должны быть отброше- ны. Они не соответствуют поставленному вопросу: функции их базиса инвариантны по отношению ко всем трансляциям, между тем как функция exp(ikr) с данным к заведомо не инвариант- на по отношению к трансляции (E\a.i). Таким образом, остают- ся всего два неприводимых представления, характеры которых указаны в табл. 2. Функции базиса этих представлений могут быть выбраны в виде Fi : costhe, sinTnr; Г2 : cos7nEsin27ry, sin тгж sin 2тгу (координаты x,y,z измеряются в единицах длин соответствую- щих периодов ai, а2, а3). Рассмотрим еще представления, отвечающие звезде двух век- торов к=A/2,0,х), A/2,0,-х) A34.6) с собственной симметрией C2v (ось С2— вдоль оси z)\ здесь к—произвольное число между 0 и 1 (кроме 1/2). Расширенная группа к содержит восемь элементов, распределенных по пяти Таблица 3 (Я|0) 2 -2 (<?S|0) (Cf|ai) 0 (сгх т) (ах\т + ai) 0 Ыт) (ау r + ai) 0 классам (табл. 3). (Зависимость от z функций базиса представ- лений этой группы сводится к общему множителю ехрBтггх^) или ехр(—2ni>czI инвариантному относительно всех преобразо- ваний группы; поэтому расширять группу трансляциями вдоль оси z не надо). Имеется четыре одномерных и одно двумерное § 135 СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ 481 неприводимые представления этой группы. Одномерные пред- ставления должны быть отброшены по той же причине, что и в предыдущем случае, так что остается всего одно представление, характеры которого даны в табл. 3. Функции его базиса могут быть выбраны в виде е±2жЫг cos тгж, е±2жЫг sin тпг со знаком плюс или минус в показателе, соответственно для пер- вого и второго из векторов A34.6); полное неприводимое пред- ставление всей пространственной группы четырехмерно и осу- ществляется набором всех этих четырех функций.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неприводимые представления пространственных групп» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Фактически эти части бывают равными лишь 1/2, 1/3, 2/3 (последние 