ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Неприводимые представления пространственных групп
Физические применения теории симметрии обычно связаны
с использованием математического аппарата так называемых
представлений групп. В этом параграфе мы остановимся на
вопросе о классификации и методе построения неприводимых
представлений пространственных групп1) .
Предварительно снова подытожим, в более математических
терминах, изложенные в предыдущих параграфах сведения о
структуре пространственных групп.
Каждая пространственная группа содержит подгруппу
трансляций, заключающую в себе бесконечное множество всех
возможных параллельных переносов, совмещающих решетку са-
му с собой; эта подгруппа и представляет собой с математи-
ческой точки зрения то, что называется решеткой Бравэ кри-
сталла. Полная пространственная группа получается из этой
подгруппы добавлением п элементов симметрии, содержащих
вращения и отражения, где п—число преобразований симме-
трии соответствующего кристаллического класса; эти элемен-
ты будем называть поворотными. Всякий элемент простран-
ственной группы можно представить как произведение одной
из трансляций на один из поворотных элементов2) .
Если пространственная группа не содержит винтовых осей
и плоскостей скольжения (симморфная группа), то в качестве
поворотных элементов можно выбрать просто п преобразований
симметрии — вращений и отражений — кристаллического класса.
В несимморфных же группах поворотные элементы представ-
ляют собой вращения и отражения с одновременным переносом
на определенную долю одного из основных периодов решетки.
Для ясной характеристики элементов пространственной
группы удобно обозначать их символами (P|t), где Р — ка-
кое-либо вращение или отражение, at — вектор одновременной
трансляции; при воздействии на радиус-вектор г какой-либо
точки: (P|t)r = Pr + t. Перемножение элементов происходит по
очевидному правилу
= {P'P\P't + t'). A34.1)
г) Предполагается знание читателем теории групп в объеме, содержащем-
ся, например, в III, гл. XII.
2) Отметим, что подгруппа трансляций— абелева (все ее элементы комму-
тативны между собой), и что она представляет собой нормальный делитель
всей пространственной группы: все элементы группы, сопряженные с транс-
ляциями, тоже являются трансляциями (напомним, что два элемента А и В
называются сопряженными, если А = С~1ВС, где С — тоже элемент груп-
пы).
§ 134 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 475
Элемент, обратный элементу (P|t), есть
(Pit) = (Р-1! - Р-Н); A34.2)
при умножении на (P|t) он дает единичный элемент группы
(Е\0) (где Е— символ тождественного поворотного преобразо-
вания) .
В частности, чистые трансляции изображаются символом
(Е\а), где а— какой-либо из периодов решетки. Поворотные
элементы в симморфных группах, выбранные указанным вы-
ше образом, являются элементами вида (Р|0). В несимморфных
же группах поворотные элементы имеют вид (Р|т), где т —
та доля периода решетки, на которую происходит перенос в
винтовой оси или плоскости скольжения. В первом случае сово-
купность поворотных преобразований (Р|0) сама образует под-
группу пространственной группы. Во втором же случае элемен-
ты (Р\т) сами по себе не образуют подгруппы, поскольку по-
вторное их применение приводит не к тождественному преобра-
зованию, а к трансляции на один из основных периодов решетки.
Вращения же и отражения Р как таковые (т. е. если не разли-
чать простые и винтовые оси, простые плоскости симметрии и
плоскости скольжения) всегда составляют группу — точечную
группу симметрии, определяющую кристаллический класс; эту
точечную группу удобно называть в данном аспекте группой
направлений решетки1) .
Обратимся к построению неприводимых представлений про-
странственных групп2) .
Всякое такое представление может быть осуществлено набо-
ром функций вида
?>ка = ^егкг, A34.3)
где к—постоянные волновые векторы, и\^а—функции, инва-
риантные относительно трансляций; индекс а = 1,2,... ну-
мерует функции с одинаковыми к. В результате параллель-
ного переноса г —>> г + а (где а—какой-либо период решет-
ки), функции A34.3) умножаются на постоянные eika. Другими
) Во всех случаях связь между пространственной группой и группой на-
правлений можно сформулировать с групповой точки зрения следующим
образом. Распределим все элементы пространственной группы по п смеж-
ным классам, каждый из которых содержит бесконечное множество произ-
ведений одного из поворотных элементов на все возможные трансляции, т. е.
все элементы вида (Р|т + а) с заданными Риг. Если теперь рассматривать
каждый из смежных классов целиком как элемент новой группы, то мы по-
лучим так называемую фактор-группу исходной пространственной группы.
Эта фактор-группа изоморфна группе направлений.
2) Излагаемые ниже соображения принадлежат Зейтцу (F. Seitz, 1936).
476
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII
словами, в осуществляемом функциями A34.3) представлении
матрицы трансляций диагональны. Очевидно, что два векто-
ра к, отличающиеся на какой-либо период обратной решет-
ки Ь, приводят к одинаковому закону преобразования функ-
ций <рка при трансляциях: поскольку ab —целое кратное от 2тг,
то exp(iab) = 1. Такие векторы к мы будем называть эквива-
лентными. Если представлять себе векторы к проведенными из
вершины ячейки обратной решетки в различные ее точки, то все
неэквивалентные векторы исчерпываются одной элементарной
ячейкой.
При воздействии же поворотного элемента симметрии (Р\т)
функция (рка преобразуется в линейную комбинацию функций
(fk'a c различными а и вектором к7, получающимся из к по-
средством данного вращения или отражения, произведенного в
обратной решетке: к7 = Рк1). Совокупность всех (неэквива-
лентных) векторов к, получающихся друг из друга при воздей-
ствии всех п поворотных элементов группы, называют звездой
волнового вектора к. В общем случае произвольного к его звез-
да содержит п векторов (лучей). В число функций (р\^а базиса
неприводимого представления должны во всяком случае войти
функции со всеми лучами звезды: поскольку функции с неэкви-
валентными к умножаются при трансляциях на различные мно-
жители, то никаким выбором их линейных комбинаций нельзя
добиться уменьшения числа преобразующихся друг через друга
функций.
При определенных значениях к число лучей в его звезде мо-
жет оказаться меньшим чем п, так как может оказаться, что
некоторые из поворотных элементов симметрии не меняют к или
превращают его в эквивалентный. Так, если вектор к направлен
вдоль оси симметрии, то он не меняется при поворотах вокруг
этой оси; вектор к, проведенный из вершины в центр элемен-
тарной ячейки (к = Ь^/2, где Ь^ —один из основных периодов
обратной решетки), при инверсии превращается в эквивалент-
ный ему вектор —к = — Ь^/2 = к — Ь^.
Совокупность поворотных элементов симметрии (рассма-
триваемых все как простые вращения или отражения Р), вхо-
дящих в данную пространственную группу и не меняющих век-
тора к (или превращающих его в эквивалентный), называют
группой собственной симметрии вектора к или просто груп-
пой волнового вектора; она представляет собой одну из обычных
точечных групп симметрии.
*) Для преобразования вектора к в обратной решетке, разумеется, все оси
и плоскости симметрии следует рассматривать как простые, т. е. надо рас-
сматривать лишь группу направлений.
§ 134 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 477
Рассмотрим сначала простейший случай симморфных про-
странственных групп. Функции базиса неприводимого предста-
вления такой группы могут быть представлены в виде произве-
денИЙ <Рк* = иафк, A34.4)
где функции иа инвариантны относительно трансляций, а ^к"
линейные комбинации выражений е (с эквивалентными к), ин-
вариантные относительно преобразований группы собственной
симметрии вектора к; вектор к в A34.4) пробегает все значе-
ния своей звезды. При трансляциях функции иа не меняются, а
функции фь (а с ними и <^ка) умножаются на exp(ika). При вра-
щениях и отражениях, входящих в группу к, не меняются функ-
ции ^к, а функции иа преобразуются друг через друга. Другими
словами, функции иа осуществляют какое-либо из неприводи-
мых представлений точечной группы (о которых говорят в этой
связи как о малых представлениях). Наконец, поворотные эле-
менты, не входящие в группу к, преобразуют друг через друга
наборы функций A34.4) с неэквивалентными к. Размерность
построенного таким образом представления пространственной
группы равна произведению числа лучей в звезде к на размер-
ность малого представления.
Таким образом, задача о нахождении всех неприводимых
представлений симморфных пространственных групп полно-
стью сводится к классификации векторов к по их собственной
симметрии и к известной задаче об отыскании неприводимых
представлений конечных точечных групп.
Обратимся теперь к пространственным группам с вин-
товыми осями или плоскостями скольжения. Наличие таких
элементов симметрии все еще остается несущественным, ес-
ли волновой вектор к при всех преобразованиях из его группы
вообще не меняется (т.е. не переходит в эквивалентныйI). В
таких случаях соответствующие неприводимые представления
по-прежнему осуществляются функциями вида A34.4), в кото-
рых иа образуют базис представления точечной группы век-
тора к. Единственное отличие от случая симморфных групп
будет состоять в том, что при поворотных преобразованиях
функции ^k = ехр(гкг) в A34.4) не остаются неизменными, а
умножаются на ехр(гкт).
Функции вида A34.4) становятся, однако, непригодными, ес-
ли существует несколько эквивалентных векторов к, переходя-
щих друг в друга при преобразованиях группы их собственной
) К этой категории всегда относятся, в частности, вектор к = 0 и век-
тор, занимающий общее положение, в котором единственым элементом его
группы является тождественное преобразование.
478
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII
симметрии. При поворотном преобразовании, связанном с одно-
временным переносом т, функции exp(ikr) с эквивалентными,
но все же различными значениями к умножаются на различные
множители (поскольку Ьт/2тг — не целое число); поэтому их ли-
нейные комбинации фь не будут преобразовываться через самих
себя.
В таких случаях раздельное рассмотрение поворотных эле-
ментов и трансляций уже невозможно. Однако из бесконечного
множества трансляций достаточно рассмотреть лишь конеч-
ное их число, причем лишь для векторов к, проведенных из
вершины элементарной ячейки обратной решетки в некоторые
выделенные точки внутри ячейки; координаты (все три, или
некоторые из них) этих точек выражаются простыми рацио-
нальными частями1) основных периодов b>i, 1>2, Ьз- Назовем
расширенной группой волнового вектора группу, составлен-
ную из поворотных элементов (вместе со связанными с ни-
ми трансляциями на доли периодов т) и из всех тех транс-
ляций, для которых ка/2тг — рациональная дробь (меньшая 1);
остальные же трансляции рассматриваются по-прежнему как
тождественные преобразования. Функции <рка, осуществляю-
щие неприводимые представления составленной таким обра-
зом конечной группы (малые представления), вместе с такими
же функциями (fk'a других лучей из данной звезды к, осуще-
ствляют неприводимое представление пространственной груп-
пы. Отметим, что размерность малых представлений в этих
группах достигает шести (в группах кристаллического клас-
h)
:) Фактически эти части бывают равными лишь 1/2, 1/3, 2/3 (последние
два значения — в группах ромбоэдрической и гексагональной систем).
2) Если рассматривать представления расширенной группы волнового век-
тора как представления нерасширенной группы (одна из точечных групп),
то соотношения между матрицами G, представляющими элементы G груп-
пы, будут отличаться от соотношений между самими этими элементами:
если G1G2 = ??з, то соответствующие матрицы представления будут, вооб-
ще говоря, связаны между собой не таким же равенством G1G2 = G?> (как
в обычных представлениях), а равенством вида G1G2 = CJ1263, где CJ12 —
некоторый фазовый множитель, равный единице лишь по модулю: |cji2| = 1.
Такие представления называют проективными. Все существенно различные
проективные представления могут быть раз и навсегда перечислены для
каждой из точечных групп, и затем использованы в качестве малых пред-
ставлений при построении неприводимых представлений пространственных
групп.
Изложение теории проективных представлений и таблицы проектив-
ных представлений кристаллографических точечных групп можно найти
в книге: Вир Г. Л., ПикусГ.Е. Симметрия и деформационные эффекты в
полупроводниках.— М.: Наука, 1972.
134 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
479
Продемонстрируем этот способ на конкретном примере.
Рассмотрим пространственную группу D\^ относящуюся к
простой ромбической решетке Бравэ и содержащую следующие
поворотные элементых) :
(Я|0), (Cf|O), (С||0), (С||0), (/|т), Ыт), (ау\т), (<тг\т),
где оси х, у, z направлены вдоль трех основных периодов ре-
шетки, а т = (ai + &2 + аз)/2 (оси симметрии С2 простые, а
перпендикулярные им плоскости а — плоскости скольжения).
Выберем, например, вектор
к =A/2,0,0), A34.5)
где числа в скобках дают значения составляющих вектора по
осям обратной решетки, измеренные в единицах длин ребер
{pi = 2тг/а^) ее ячейки. Собственная симметрия этого волново-
го вектора содержит все оси и плоскости точечной группы 1?2/и
так что этот вектор сам по себе составляет звезду. Расши-
ренная группа получается добавлением трансляции (JE|ai), для
которой ка/2тг = 1/2. В результате получим группу из 16 эле-
ментов, распределенных по 10 классам, как показано в верхнем
ряду табл. 2. В сопряженности (т. е. принадлежности к одному
Таблица 2
г2
О
^—у
2
2
-2
-2
о
«см
о.
2
-2
-2
2

о4 еб
0
0
^_^
0
0
0
0
S
^ +
0
0
S
^ +
0
0
S
^ +
II
0
0
классу), например, элементов {С\|0) и {С\\ъ.\) можно убедиться
следующим образом. Имеем
= A\ -т)(СЦ0)(/|т) =
С\т).
Существуют также полные таблицы неприводимых представлений про-
странственных групп, которые можно найти в книгах: Ковалев О. В. Непри-
водимые и индуцированные представления и копредставления федоровских
групп.— М.: Наука, 1986; Bradley С. J., Cracknell A. P. The mathematical the-
ory of symmetry in solids.— Oxford: Clarendon Press, 1972.
) Пространственные группы принято обозначать символом кристалличе-
ского класса, дополненным верхним индексом — условным номером группы
в данном классе.
480
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
ГЛ. XIII
Но
С\т = -(-ai + а2 - а3), С\т - т = -ai - а3 = ai - Bai + а3),
а поскольку трансляции на а3 и на 2ai должны рассматриваться
как тождественное преобразование, то
По числу элементов и числу классов в группе находим, что
она имеет 8 одномерных и 2 двумерных неприводимых предста-
влений (8-12+2-22 = 16). Все одномерные представления получа-
ются из представлений точечной группы 1?2/и причем трансля-
ции (E\a.i) приписывается характер 1. Эти представления, одна-
ко, возникают здесь как «паразитные» и должны быть отброше-
ны. Они не соответствуют поставленному вопросу: функции их
базиса инвариантны по отношению ко всем трансляциям, между
тем как функция exp(ikr) с данным к заведомо не инвариант-
на по отношению к трансляции (E\a.i). Таким образом, остают-
ся всего два неприводимых представления, характеры которых
указаны в табл. 2. Функции базиса этих представлений могут
быть выбраны в виде
Fi : costhe, sinTnr; Г2 : cos7nEsin27ry, sin тгж sin 2тгу
(координаты x,y,z измеряются в единицах длин соответствую-
щих периодов ai, а2, а3).
Рассмотрим еще представления, отвечающие звезде двух век-
торов
к=A/2,0,х), A/2,0,-х) A34.6)
с собственной симметрией C2v (ось С2— вдоль оси z)\ здесь
к—произвольное число между 0 и 1 (кроме 1/2). Расширенная
группа к содержит восемь элементов, распределенных по пяти
Таблица 3
(Я|0)
2
-2
(<?S|0)
(Cf|ai)
0
(сгх т)
(ах\т + ai)
0
Ыт)
(ау r + ai)
0
классам (табл. 3). (Зависимость от z функций базиса представ-
лений этой группы сводится к общему множителю ехрBтггх^)
или ехр(—2ni>czI инвариантному относительно всех преобразо-
ваний группы; поэтому расширять группу трансляциями вдоль
оси z не надо). Имеется четыре одномерных и одно двумерное
§ 135 СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ 481
неприводимые представления этой группы. Одномерные пред-
ставления должны быть отброшены по той же причине, что и в
предыдущем случае, так что остается всего одно представление,
характеры которого даны в табл. 3. Функции его базиса могут
быть выбраны в виде
е±2жЫг cos тгж, е±2жЫг sin тпг
со знаком плюс или минус в показателе, соответственно для пер-
вого и второго из векторов A34.6); полное неприводимое пред-
ставление всей пространственной группы четырехмерно и осу-
ществляется набором всех этих четырех функций.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неприводимые представления пространственных групп» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Путешествие на деревянном коне
Дохідність залученого капіталу
СУТНІСТЬ ТА ВИДИ ГРОШОВИХ РЕФОРМ
Аудит обслуговуючих підприємств агропромислового комплексу
ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ ТА ЕТАПИ ФУНКЦІОНАЛЬНО-ВАРТІСНОГО АНАЛІЗУ


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (01.12.2013)
Переглядів: 784 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП