Все физические величины, характеризующие свойства кри- сталлической решетки, обладают такой же периодичностью, как и сама решетка. Таковы, например, плотность заряда, созда- ваемая электронами атомов в решетке, вероятность нахождения атомов в том или ином месте решетки и т. п. Пусть функция U® представляет собой какую-либо из таких величин. Ее периодич- ность означает, что U(r + mai + n2a2 + n3a3) = U® A33.1) при любых целых ni, П2, n3 (ai, а2, аз —основные периоды ре- шетки) . Разложим периодическую функцию U® в тройной ряд Фурье. Это разложение можно написать в виде гЬг A33.2) где суммирование происходит по всем возможным значени- ям вектора Ь. Эти возможные значения b определяются из § 133 ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА 471 требования, чтобы функция [/, представленная в виде ряда A33.2), удовлетворяла условию периодичности A33.1). Это зна- чит, что все экспоненциальные множители не должны меняться при замене г на г + а, где а— любой из периодов решетки. Для этого необходимо, чтобы скалярное произведение ab было всегда целым кратным от 2тг. Выбирая в качестве а последова- тельно основные периоды ai, a2, аз, мы должны, следовательно, иметь = 2тф2, где р\, р2, рз — целые положительные или отрицательные числа (включая нуль). Решение этих трех уравнений имеет вид b = pibi + p2h2 + p3b3, A33.3) где векторы Ь^ определяются через а^ следующими соотноше- ниями: b2 = -^[a3ai], b3 = -^[aia2], v = ai[a2a3]. A33.4) Таким образом, мы определили возможные значения вектора Ь. Суммирование в A33.2) распространяется по всем целым значе- ниям^, р2,Рз- Геометрически произведение v = ах[а2аз] представляет со- бой объем параллелепипеда, построенного на векторах ai, а2, аз, т.е. объем элементарной ячейки; произведения же [а]_а2] и т.д. изображают площади трех граней этой ячейки. Векторы Ь^ име- ют, следовательно, размерность обратной длины, а по величине равны умноженным на 2тг обратным высотам параллелепипеда, построенного на векторах ai, a2, аз- Из A33.4) видно, что между Ь^ и а^, имеют место соотноше- J ° еСЛИ г^к MQQ^ A33.5) 2тт, если г = к. Это значит, что вектор bi перпендикулярен к векторам а2, аз и аналогично для Ь2, Ьз- Определив векторы Ь^, мы можем формально построить ре- шетку с основными периодами bi, b2, Ьз- Построенная таким образом решетка носит название обратной, а векторы bi, b2, Ьз называются периодами (основными) обратной решетки1) . Вычислим объем элементарной ячейки обратной решетки. Он равен v = bi[b2b3]. ) Определение A33.4), принятое в современной физической литературе, отличается множителями 2тг от определения, принятого в чистой кристал- лографии. 472 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII Подставляя сюда выражения A33.4), находим ^ ^-([а2а3]а1)([а3а1]а2), или окончательно: (о^ 1 ^ A33.6) V Очевидно, что ячейка обратной решетки триклинной решет- ки Бравэ тоже является произвольным параллелепипедом. Ана- логично, обратные решетки простых решеток Бравэ других си- стем тоже являются простыми решетками той же системы; на- пример, обратная решетка простой кубической решетки Бравэ тоже имеет простую кубическую ячейку. Легко, далее, убедить- ся при помощи простого построения в том, что обратная решет- ка гранецентрированных решеток Бравэ (ромбической, тетра- гональной и кубической) представляет собой объемноцентриро- ванную решетку той же системы; при этом объем параллеле- пипеда Бравэ обратной решетки v'v = 8BтгK/г>/, где ^/ — объ- ем параллелепипеда Бравэ прямой решетки. Обратно, прямой объемноцентрированной решетке отвечает гранецентрированная обратная решетка, причем снова гЛ = BttK8/vv. Наконец, для прямой решетки с центрированными основаниями обратная ре- шетка тоже имеет ячейки с центрированными основаниями, при- чем v'b = BтгK • 4/vft. Как известно, уравнение вида br = const, где b — постоян- ный вектор, описывает плоскость, перпендикулярную к векто- ру b и находящуюся на расстоянии const/6 от начала координат. Выберем начало координат в каком-нибудь из узлов решетки Бравэ, и пусть b = р\Ъ\ +p2b2 +^зЬз есть какой-нибудь вектор обратной решетки (pi, р2, р% — целые числа). Написав также г в виде а = niai + П2^2 + ^з&з, получаем уравнение плоскости вида Ьа/2тг = п\р\ + П2Р2 + ^з^з = т, A33.7) где т— заданная постоянная. Для того чтобы это уравнение представляло собой плоскость, заполненную бесконечным мно- жеством узлов решетки Бравэ (о таких плоскостях говорят, как о кристаллических), надо, чтобы оно удовлетворялось набором целых чисел ni, П2, пз- Для этого, очевидно, постоянная т то- же должна быть целой. При заданных pi, р2, рз и пробегаю- щей различные целые значения постоянной т уравнение A33.7) определяет, следовательно, бесчисленное множество кристалли- ческих плоскостей, которые все параллельны друг другу. Ка- ждому вектору обратной решетки соответствует определенное § 133 ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА 473 указанным способом семейство параллельных кристаллических плоскостей. Числа pi, р2? Рз в A33.7) можно представлять себе всегда взаимно простыми, т. е. не имеющими общего делителя, за ис- ключением единицы. Если такой делитель имелся бы, то можно было бы разделить на него обе стороны уравнения, причем полу- чилось бы уравнение того же вида. Числа pi, p2-> Рз называются индексами Миллера данного семейства кристаллических плос- костей и обозначаются как (j>iP2Ps)- Плоскость A33.7) пересекает оси координат (выбранные вдоль основных периодов ai, а2, аз) в точках ma\jp\^ Г7Ш2/.Р2, таз/рз- Отношение длин отрезков (измеренных соответствен- но в единицах ai, a2, аз), отсекаемых плоскостью от осей ко- 111 г ординат, есть — : — : —, т. е. эти длины относятся оорат- Pl P2 РЗ но пропорционально индексам Миллера. Так, индексы Милле- ра плоскостей, параллельных координатным плоскостям (т. е. отсекающих от осей отрезки, относящиеся как оо : оо : 1), равны A00), @10), @01) — соответственно для трех координат- ных плоскостей. Плоскости, параллельные диагональной плос- кости основного параллелепипеда решетки, имеют индексы A11) и т.д. Легко определить расстояние между двумя последователь- ными плоскостями одного и того же семейства. Расстояние плоскости A33.7) до начала координат есть 2тгга/&, где b есть длина данного вектора обратной решетки. Для следующей плос- кости это расстояние есть 2тг(т + 1)/Ь. Расстояние же d между двумя плоскостями есть d=—. A33.8) Заканчивая обсуждение вопроса о симметрии кристалличе- ской решетки, отметим, что строго периодические кристаллы не исчерпывают собой все возможные типы твердых тел. Су- ществуют еще так называемые несоизмеримые кристаллические фазы, функции плотности которых p(x,y,z) являются не пери- одическими, а условно-периодическими функциями координат. Ряд Фурье вида A33.2) некоторой функции С/(г), характери- зующей свойства такой фазы, содержит векторы Ь, являющие- ся линейными комбинациями (с целыми коэффициентами) более чем трех «основных периодов». Установленные выше свойства симметрии периодических кристаллов, вообще говоря, не имеют места для несоизмери- мых фаз. В частности, они могут обладать осями симметрии не только указанных в § 130 порядков.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обратная решетка» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
