Введем спектральное разложение флуктуирующей величи- ны x(t) по обычным формулам разложения Фурье: оо хи= f x{t)eiutdt, A22.1) — ОО и обратно x(t) = I хше-ш1^. A22.2) Следует заметить, что интеграл A22.1) фактически расходится, поскольку x(t) не стремится к нулю при \t\ —>• оо. Это обстоя- тельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных сред- них квадратовх). Подставляя A22.2) в определение корреляционной функ- ции A18.1), получим -t) = (x(t')x(t)) = ||(ЖшЖа;,)е-И+-'*')|^. A22.3) 1) В способе введения спектрального разложения флуктуации мы следуем СМ. Рытову. 424 ФЛУКТУАЦИИ Для того чтобы интеграл в правой части равенства был функци- ей только от разности t — ?', подынтегральное выражение должно содержать S-функцию otw + oj', т.е. должно быть {хшхш.) = 2тг(х2)и6(со + о/)- A22.4) Это соотношение надо рассматривать как определение величи- ны, обозначенной здесь символом (х2)ш. Хотя величины хи ком- плексны, но (х2)и, очевидно, вещественны. Действительно, выра- жение A22.4) отлично от нуля лишь при а/ = —из и симметрично по отношению к перестановке шиш'; поэтому (х2)и = (ж2)_^, а перемена знака ио эквивалентна переходу к комплексно- сопря- женным величинам. Подставляя A22.4) в A22.3) и исключая E-функцию интегри- рованием по duo, находим оо J^ A22.5) В частности, ц>@) есть средний квадрат флуктуирующей вели- чины: оо оо / 2\ _ [, 2ч du__ f 2(х2) ^ A22 6) -оо О Мы видим, что спектральная плотность среднего квадрата флуктуации как раз совпадает с величиной (х2)ш (или 2(х2)ш, если интеграл распространен только на положительные часто- ты). Эта же величина является, согласно A22.5), и компонентой Фурье корреляционной функции. Обратно: оо (x2)w= f ip(t)eiujtdt. A22.7) — ОО В написанных формулах величина x(t) предполагалась клас- сической. В случае квантовой величины разложение A22.1), A22.2) должно относиться к зависящему от времени операто- ру ж(?), а определение спектральной плотности (х )ш записыва- ется (вместо A22.4)) в виде -(хшх i + х ixJ) = 2тг(х2)ш6(ш + ио'). A22.8) Для корреляционной функции квазистационарных флуктуа- ции одной величины в §118 было получено выражение A18.8). § 122 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ 425 Элементарное интегрирование дает следующий результат для ее спектрального разложения: \ (± + ±А ^ A22-9) /3 \Х — iuj \-\-iujJ /3(и + А ) В соответствии с физическим смыслом приближения, отвечаю- щего квазистационарным флуктуациям, это выражение приме- нимо лишь для частот, малых по сравнению с обратным време- нем установления неполного равновесия. В терминах введенной в конце § 118 случайной силы y(t) вре- менная зависимость флуктуирующей величины х описывается уравнением х = — \x-\-y. Умножив его на eiujt и проинтегрировав по dt в пределах от —оо до +оо (причем член xelujt интегрируется по частям1)), получим (А — гио)хш = уш. Отсюда ясно, что надо положить (у2)ш = (^2 + А2)Л = у. A22.10) Это выражение можно, конечно, получить и прямо из A18.10). Наличию E-функции S(t) в A18.10) отвечает в A22.10) незави- симость (у2)ы от со. Написанные формулы непосредственно обобщаются на флук- туации одновременно нескольких термодинамических величин #1, #2, • • • Соответствующие корреляционные функции (pik(t) бы- ли определены в § 119. Компоненты их спектрального разложе- ния определяются как (хгхк)ы = I <pik(t)eiuJtdt = I (xiWxkWe^dt, A22.11) — СЮ —СЮ а вместо A22.4) имеем (xiujXku') = 2n(xixk)UjS(u) + о/) A22.12) (в обозначении {xiXk)ui порядок множителей существен!). Изменение знака времени эквивалентно замене ио —>> —ио в спектральном разложении, а эта замена в свою очередь означа- ет комплексное сопряжение величин {xix^j^. Поэтому равенство (—t) (П9.2) означает, что A22.13) 1)При этом члены, содержащие ж(±оо), следует опустить; их появление связано с упомянутой выше фактической расходимостью интегралов A22.1). С формальной точки зрения эти члены все равно несущественны при вычис- лении среднего {ушуш>)^ поскольку они конечны при и/ = —ио и могут быть опущены по сравнению с ^-функционным основным членом. 426 ФЛУКТУАЦИИ Симметрия же флуктуации по отношению к обращению време- ни, выражающаяся равенствами A19.3) или A19.4), в терминах спектрального разложения записывается как , A22.14) где знаки + или — относятся соответственно к случаям, когда сами величины xi и хк ведут себя одинаково или по-разному по отношению к обращению времени; в первом случае, следователь- но, величина {xix^j^ вещественна и симметрична по индексам г, /с, а во втором —мнима и антисимметрична. В §119 была написана система уравнений A19.8), которой подчиняются корреляционные функции квазистационарных флуктуации. Эти уравнения легко решаются с помощью спек- трального разложения. Поскольку уравнения A19.8) относятся только к временам t > 0, производим над ними «одностороннее» преобразование Фурье: умножаем уравнения на elujt и интегрируем по dt в преде- лах от 0 до оо. При этом член elujt(pu(t) интегрируется по частям; учитывая, что срц(оо) = 0, получим где введено обозначение ОО = JVuity^dt. A22.15) о Значение ц>ц(О) определяется «начальным условием» A19.9); по- этому (Xik - го или где вместо коэффициентов А^ введены более удобные (вви- ду их симметрии) кинетические коэффициенты Qk = /Зц\к (см. A20.13)). Решение этой алгебраической системы уравнений где —1 в показателе означает взятие обратной матрицы. С другой стороны, интересующие нас компоненты спек- трального разложения A22.11) выражаются через компоненты «одностороннего» разложения A22.15) равенствами (хгхк)и = (хгХк)М + Оад)<+)*; A22.16) § 122 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ 427 в этом легко убедиться, представив интеграл от — оо до +оо в виде суммы двух интегралов (от —оо до 0 и от 0 до +оо), заменив в первом из них t —>> — t и воспользовавшись свойством симметрии A19.2). Таким образом, окончательно находим (х{хк)ш = (С - iu$)-kl + (С + шр)-?. A22.17) В силу свойств симметрии матриц Qk и /3^, величины A22.17) автоматически обладают свойствами A22.14)х) . Полученные результаты можно представить в другом виде, введя в релаксационные уравнения «случайные силы» подобно тому, как это было сделано в конце § 118 для одной флуктуи- рующей величины. При этом корреляционные свойства этих сил формулируются в особенно простом виде, если ввести их в уравнения, записанные с помощью термодинамически взаим- ных величин —как это сделано в A20.5) или A20.13). Так, введя случайные силы У{ в уравнения A20.13), запишем их в виде Хг = -(гкхк + ?г; A22.18) величинами Y{ можно пренебречь, когда Х{ становятся больше своих средних флуктуации. Аналогично тому, как это было сде- лано при выводе A22.10), получим после простого вычисления следующую формулу для спектрального разложения корреля- ционных функций случайных сил: (УгУк)ш = dk + Ом- A22.19) Как и в A22.10), эти величины не зависят от частоты. Если же ввести случайные силы yi в уравнения A20.5): Х1 = -ЪкХк+Уь A22.20) то для их корреляционной функции получится аналогичная фор- мула {УгУк)ш=Ък+1ы- A22.21) Эта формула очевидна без новых вычислений, если снова вспо- мнить о взаимном характере соответствия между величинами Х{ и Xi (см. примеч. на с. 384). Преимущество формул A22.19) ) Матрица величин fiik всегда симметрична. Но если некоторые х% и хи ведут себя по-разному при обращении времени, то соответствующее /3{к = 0. Это следует из того, что fiik есть коэффициент при произведении Х{Хк в квадратичной форме A11.1), определяющей изменение энтропии при откло- нении от равновесия. Поскольку энтропия инвариантна относительно обра- щения времени, а произведение Х{Хк меняет знак, то энтропия не может содержать такого члена, т. е. должно быть /3ik = 0. 428 ФЛУКТУАЦИИ и A22.21) состоит в том, что в них входят компоненты самих матриц Qk и 7г/с ? а не обратных им*) . В качестве примера применения полученных формул рас- смотрим флуктуации одномерного осциллятора. Другими сло- вами, рассмотрим тело, покоящееся в равновесном положении (Q = 0), но способное совершать малые колебания по некото- рой макроскопической координате Q. Благодаря флуктуациям координата Q будет в действительности испытывать отклонения от значения Q = 0. Средний квадрат этого отклонения опреде- ляется непосредственно по коэффициенту в квазиупругой силе, действующей на тело при его отклонении. Напишем потенциальную энергию осциллятора в виде и = где т — его «масса» (т.е. коэффициент пропорциональности между обобщенным импульсом и скоростью Q : Р = raQ), a ooq — частота свободных колебаний (в отсутствие трения). Тогда средняя квадратичная флуктуация (ср. задачу 7, § 112) будет равна (Q2) = —2. A22.22) muj Спектральное разложение флуктуации координаты произве- дем для общего случая, когда колебания осциллятора сопрово- ждаются трением. Уравнения движения осциллятора с трением гласят: Q = -, A22.23) т Р = -muolQ - 7-, A22.24) т где— jP/m = — jQ есть сила трения. Как было объяснено в § 121, если рассматривать Q и как величины х\ и Ж2, то соответствующими Х\ и Х2 будут: muJ^Q/T и Р/тТ. Уравне- ния A22.23), A22.24) играют при этом роль соотношений Х{ = X так что 7п = 0, 712 = -721 = -Г, 722 = 7Т- 1) Независимость выражений A22.19) и A22.21) от частоты означает (как и в случае формулы A22.10) для одной флуктуирующей величины), что са- ми корреляционные функции A^(^I^@)) и (yi(t)yk(O)) содержат ^-функцию времени. Так, М*Ы0)> = Ы + lki)S(t). A22.21a) § 123 ОБОБЩЕННАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ 429 Чтобы применить эти уравнения к флуктуациям, переписы- ваем A22.24) в виде Р = -muolQ - ^Р + у, A22.25) т olQ - т введя в его правую часть случайную силу у. Уравнение же A22.23), являющееся определением импульса, следует оставить неизменным. Согласно формуле A22.21) непосредственно нахо- дим спектральную плотность флуктуации случайной силы: (y2h = 2722 = 27Г. A22.26) Наконец, для нахождения искомого (Q2)uj пишем, подставив P = mQB A22.25): mQ + 7<2 + muolQ = у. A22.27) Умножив это уравнение на elujt и интегрируя по времени, найдем откуда окончательно 2, 2 LM 2 т (и — ujq) + uj 7 2 2- 7 A22.28)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спектральное разложение флуктуации» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
