Макроскопическое движение тел, погруженных во внешнюю среду, сопровождается, вообще говоря, необратимыми процес- сами трения, приводящими в конце концов к прекращению 1) Благодаря этому соотношению между изменением энтропии и Лтт определение величин Х{ можно написать также и в виде Xi = ±dRunn^ A20.2а) То dxi который иногда удобнее, чем определение A20.2) (ср. B2.7)). 14* 420 ФЛУКТУАЦИИ движения. Кинетическая энергия тел при этом переходит в теп- ло, или, как говорят, диссипирует. Чисто механическое рассмотрение такого движения, очевид- но, невозможно; поскольку энергия макроскопического движе- ния переходит в энергию теплового движения молекул тела и среды, то такое рассмотрение требовало бы составления урав- нений движения для всех этих частиц. Поэтому вопрос о воз- можности составления таких уравнений движения в среде, ко- торые бы содержали лишь макроскопические координаты тел, относится к области статистики. Эта задача, однако, не может быть решена в общем виде. По- скольку внутреннее движение атомов тела зависит не только от движения тела в данный момент времени, но и от предыдущей истории этого движения, в уравнения движения будут, вообще говоря, входить не только макроскопические координаты тел Qi, Q2-) • • •, Qs и их первые и вторые производные по времени, но и все производные высших порядков (точнее — функции Qi(t) войдут под действием некоторого интегрального оператора). Функции Лагранжа для макроскопического движения системы при этом, конечно, не существует, и уравнения движения в раз- личных случаях будут иметь совершенно различный характер. Форма уравнений движения может быть установлена в об- щем виде для случая, когда можно считать, что заданием коор- динат Qi и скоростей Qi состояние системы в данный момент времени определяется полностью, и производными высших по- рядков можно пренебречь (более точно критерий малости дол- жен устанавливаться в каждом конкретном случае). Кроме то- го, мы будем считать, что сами скорости Qi достаточно малы, так что их высшими степенями можно пренебрегать. Наконец, предположим, что движение представляет собой малые колеба- ния около некоторых положений равновесия—случай, с кото- рым в этой связи обычно и приходится иметь дело; при этом условимся считать координаты Qi выбранными таким образом, чтобы в положении равновесия было Qi = 0. Тогда кинетическая энергия системы K(Qi) будет квадратичной функцией скоро- стей Qi, не зависящей от самих координат Qi] потенциальная же энергия U{Qi), связанная с действием внешних сил, будет квадратичной функцией координат Qi. Введем обобщенные импульсы Р^, определив их, как обычно, равенствами • Рг = ^М A21.1) dQi которые определяют импульсы в виде линейных комбинаций скоростей. Выразив при помощи этих равенств скорости че- рез импульсы и подставив в кинетическую энергию, получим § 121 ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ 421 последнюю в виде квадратичной функции импульсов, причем будут иметь место равенства Qi = Щ^- A21-2) Если пренебречь процессами диссипации полностью, то уравнения движения будут обычными уравнениями механики, согласно которым производные импульсов по времени равны соответствующим обобщенным силам: Рг = -Ц- (Ш.З) Прежде всего отметим, что уравнения A21.2), A21.3) нахо- дятся в формальном соответствии с принципом симметрии ки- нетических коэффициентов, если под введенными в § 120 величи- нами #1, Х2-) • • • X2S понимать координаты Qi и импульсы Р{. Дей- ствительно, минимальная работа, необходимая для приведения тел из состояния покоя в положениях равновесия в положения Qi с импульсами Р^ есть i?min = К (Pi) + U(Qi). Поэтому роль вели- чин Х\,Х2, • • • ,X2S будут играть производные (см. примеч. на с. 419): х _ 1 dRmin _ 1 dU х _ 1 dRmin _ 1 дК Qi ~ T dQi ~ T dQi' Pi ~ T dPi ~ T дР{' а уравнения A21.2), A21.3) будут соответствовать соотношени- ям A20.5), причем 1ЯгРг = -Т = -7PtQt в соответствии с правилом A20.12) (мы имеем здесь дело со случаем, когда одна из величин (Qi) остается неизменной при изменении знака времени, а другая (Pi) — меняет знак). В соответствии с общими соотношениями A20.5) мы можем теперь написать уравнения движения с учетом процессов дисси- пации, прибавив к правым частям равенств A21.2), A21.3) неко- торые дополнительные линейные комбинации величин Xq1 , Хр{, причем таким образом, чтобы была соблюдена требуемая сим- метрия кинетических коэффициентов. Легко, однако, видеть, что равенства A21.2) следует оставить неизменными; действи- тельно, эти равенства представляют собой просто следствие определения импульсов A21.1), не имеющего отношения к нали- чию или отсутствию процессов диссипации. Тем самым устана- вливается, что к равенствам A21.3) можно добавить линейные комбинации лишь величин Хр{ (т.е. производных dK/dPi); в противном случае нарушится симметрия кинетических коэф- фициентов. 422 ФЛУКТУАЦИИ Таким образом, получаем систему равенств вида • _ _dU_ ^ дК_ ^~ dQt 27ik> где постоянные коэффициенты 7г/с связаны соотношениями 7гк=7ы- A21.4) Заменив = Q/c, напишем окончательно: A21.5) бцг к=1 Это и есть искомая система уравнений движения. Мы видим, что наличие процессов диссипации приводит в рассматривае- мом приближении к появлению дополнительных сил трения, ли- нейно зависящих от скоростей движения. Вследствие соотноше- ния A21.4) эти силы можно написать в виде производных по соответствующим скоростям от квадратичной функции A21.6) называемой диссипативной функцией. Тогда р &и__о^я dQi 0Ql Введя функцию Лагранжа L = К — U, можно написать эти уравнения движения в форме d dL _д? = __д?_ dtdQi dQi dQi' которая отличается от обычной формы уравнений Лагранжа, стоящей в правой части производной от диссипативной функ- ции. Наличие трения приводит к уменьшению полной механиче- ской энергии (К + U) движущихся тел. В соответствии с общи- ми результатами § 120 скорость этого уменьшения определяется диссипативной функцией. Ввиду некоторого различия в обозна- чениях здесь и в § 120, покажем это заново. Имеем г=1 § 122 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ 423 или, подставив A21.7) и имея в виду квадратичность диссипа- тивной функции, — (К + U) = — У^ Qi—^~ = —2/ A21.9) dt ^—/ dQi г как и должно было быть. Укажем в заключение, что при наличии внешнего магнитного поля уравнения движения по-прежнему имеют вид A21.5), с той лишь разницей, что вместо A21.4) будет 7i*(H)=7*t(-H). Благодаря этому, однако, не будет существовать диссипативной функции, производные от которой определяли бы силы трения; поэтому уравнения движения не смогут быть написаны в ви- де A21.7).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диссипативная функция» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
