Корреляция флуктуации плотности в вырожденном газе
Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, в класси- ческом идеальном газе никакой корреляции между положениями различных частиц вообще нет. В квантовой механике, однако, такая корреляция возникает ввиду косвенного взаимодействия частиц идеального газа в силу принципа симметрии волновых функцийх) . Задача об определении корреляционной функции в выро- жденном газе наиболее просто может быть решена методом вторичного квантования (который уже был применен в § 80 для вычисления энергии электронного газа). х) Корреляция флуктуации в ферми-газе была рассмотрена B.C. Фурсо- вым A937), а в бозе-газе — А. Д. Галаниным A940). 404 ФЛУКТУАЦИИ Как известно, в этом методе плотности числа частиц отвечает оператор n® =^+®^®; после подстановки ^-операторов (80.5) он выражается суммой П(Г) = а а1 рр7 где суммирование производится по всем значениям импульсов р, р7 (для свободных частиц в объеме V) и по проекциям спина а, а71). Но ввиду ортогональности спиновых волновых функций, отвечающих различным значениям <т, фактически отличны от нуля лишь члены суммы с а = а'. В произведениях фрафр'о- нор- мированные спиновые множители дают единицу, так что волно- вые функции можно писать просто в виде координатных плоских волн ^^п A17.2) Легко видеть, что диагональные члены суммы A17.1) (р = р7) дают как раз среднюю плотность п: поскольку оператор а^-Ор^ есть просто число частиц пра в данном квантовом состоянии, то сумма этих членов равна N _ ар Поэтому можно написать Ап = п(т) -п= 2_^ араар!афрфр>, A17.3) арр' где штрих у знака суммы означает, что диагональные члены в ней должны быть опущены. С помощью этого выражения не представляет труда вычислить интересующее нас среднее зна- чение (ДП1ДП2). Вычисление среднего значения производится в два этапа. Прежде всего надо произвести квантовомеханическое усредне- ние по состояниям частиц. Это усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента данной Напомним, что волновые функции частицы со спином представляют со- бой спиноры и произведение волновых функций в A17.1) является в действи- тельности «скалярным произведением» ковариантного и контрвариантного спиноров с соответствующим суммированием по спинорным индексам (с которыми не следует смешивать индексы а, а', указывающие собственные значения проекции спина в данных состояниях). § 117 КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ В ВЫРОЖДЕННОМ ГАЗЕ 405 величины. Перемножив два оператора A17.3), относящиеся к двум различным точкам ri и Г2, мы получим сумму членов, со- держащих различного рода произведения операторов аро-, а+р взятых по четыре. Но из всех этих произведений имеют диаго- нальные матричные элементы лишь те, которые содержат две пары операторов аро-, а^. с одинаковыми индексами, т.е. члены арр' Эти члены представляют собой диагональные матрицы, причем (здесь и везде ниже верхний знак относится к случаю статистики Ферми, а нижний —к статистике Бозе). Подставляя также функ- ции фр A17.2), получим арр' L Это выражение должно быть теперь усреднено в статисти- ческом смысле, т. е. по равновесному распределению частиц по различным квантовым состояниям. Поскольку частицы, находя- щиеся в различных квантовых состояниях, ведут себя независи- мо друг от друга, то усреднение чисел пра и прга производится независимо. В результате для искомого среднего значения на- ходим (AniAn2) = — V (IT npfa)npa exp ^(p - p')(r2 - ri) . V2 *Vv> L J A17.4) От суммирования по р, р7 перейдем теперь обычным обра- зом к интегрированию по Vd3pVd3pf/BтгНN (при этом ограниче- ние р ф р7 становится несущественным). Интеграл разбивается на две части, из которых первая есть Интегрирование по d3pf/BттНK дает E-функцию 5(r2 — ri), кото- рая позволяет положить г2 — ri = 0 в оставшемся подынтеграль- ном выражении; после этого остается 5(Т2 - j 406 ФЛУКТУАЦИИ Это есть как раз первый член в формуле A16.3). Поэтому для корреляционной функции (второй член в A16.3)) находим сле- дующее выражение: 2 Jpr/П— п р pa A17.5) В равновесном газе распределение частиц по квантовым со- стояниям дается формулой распределения Ферми или Бозе ± 1-1 A17.6) Эти числа не зависят от <т; поэтому суммирование по а в A17.5) дает просто множитель g = 2s + 1 (s — спин частицы). Таким образом, получаем окончательно следующую формулу для кор- реляционной функцииг) : ipr/h d3p П или после интегрирования по направлениям р оо i(pr/h)pdp л 4— 2^4 4тг nr h /sin(pr 0 ±1 A17.7) A17.8) Приведем также формулу для средних квадратов компонент Фурье флуктуации плотности, которую легко получить, подста- вляя vr из A17.7) в общую формулу A16.13) и производя инте- грирование по координатам2) : (|Ank|2) = f- A17.9) Из формулы A17.7) видно прежде всего, что для ферми-газа v® < 0, а для бозе-газа и (г) > 0. Другими словами, у бозе-газа присутствие в некоторой точке пространства частицы увели- чивает вероятность нахождения другой частицы вблизи этой точки, т. е. частицы испытывают своеобразное притяжение. В ферми-газе, напротив, частицы проявляют аналогичное оттал- кивание (ср. замечание в конце §56). 1) В случае бозе-газа эта формула относится только к температурам выше точки бозе-эйнштейновской конденсации (см. задачу 4). 2) Не смешивать фурье-компоненты флуктуации плотности газа лами заполнения квантовых состояний частиц пр\ 117 КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ В ВЫРОЖДЕННОМ ГАЗЕ 407 В соответствии со сказанным в начале этого параграфа в классическом пределе корреляционная функция обращается в нуль: при Н —> 0 частота осциллирующего множителя ехр(грг/й) в подынтегральном выражении в A17.7) неограниченно возра- стает, и интеграл стремится к нулю. При г —>> 0 функция и (г) стремится к постоянному пределу: ¦. ъ 2 пг п A17.10) Применим формулу A17.8) к ферми-газу при Т = 0. В этом случае функция распределения есть ступенчатая функция: пр = 1 при р < рр и п^ = 0 при р > рр, где рр = граничный импульс. Поэтому находим PF и (г) = -- /. рг psin- dp Рассмотрим не слишком малые расстояния— будем считать, что ppr/Н ^> 1. Соответственно этому вычисляем интеграл, сохранив лишь член с наименьшей степенью 1/г: ЗЙ 1 , 1 + cos A17.11) 2тг^г4 ~~~ П 47rzpFrz \J ' "~ % ) Косинус быстро меняется на интервалах Аг, малых по сравне- нию с рассматриваемыми расстояниями. Усреднив по такому ин- тервалу, найдем "(Г) = --#-!. A17.12)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Корреляция флуктуации плотности в вырожденном газе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Напомним, что волновые функции частицы со спином представляют со- 