Утверждение, что в однородной изотропной среде (газ или жидкость) все положения частиц в пространстве равновероят- ны, относится к каждой отдельной частице при условии, что все остальные частицы могут занимать произвольные положения. Это утверждение, конечно, не противоречит тому, что между взаимным положением различных частиц должна существовать в силу их взаимодействия некоторая корреляция: если рассма- тривать, скажем, одновременно две частицы, то при заданном положении одной различные положения другой будут неравно- вероятными. Обозначим через п(г) точную (флуктуирующую) плотность числа частиц; произведение ndV есть число частиц, находящихся (в данный момент времени) в элементе объема dV. Для характе- ристики корреляции между положениями частиц в двух точках пространства введем пространственную корреляционную функ- цию флуктуации плотности: (AniAn2) = nTn^" - п2, A16.1) 400 ФЛУКТУАЦИИ где An = п — п, а индексы 1 и 2 различают значения п(г) в двух точках пространства ri и г2. В однородной изотропной среде корреляционная функция зависит только от абсолютной величины расстояния г = |r2 — i*i| между обеими точками. При г —>> оо флуктуации в точках ri и Г2 становятся статистически независимыми, так что корреляционная функция стремится к нулю. Смысл введенной таким образом корреляционной функции полезно пояснить следующими рассуждениями. В силу бесконеч- ной малости объема dV в нем может находиться одновременно не более одной частицы; вероятность нахождения в нем сразу двух частиц есть бесконечно малая величина более высокого по- рядка. Поэтому среднее число частиц п dV есть в то же время вероятность частице находиться в элементе dV. Обозначим да- лее через nw\2®dV2 вероятность частице находиться в элементе объема dV2 при условии, что одна частица находится в элементе dV\ (wi2 —>> 1 при г —>> оо). Из сказанного очевидно, что среднее значение (n\dVi • П2 dV2) = n dV\ • nw\2 dV2. Отсюда: (nin2) = w^n2. В этом равенстве, справедливом при ri ф Г2, нельзя, однако, перейти к пределу Г2 —>> ri, так как при выводе не учтено, что если точки 1 и 2 совпадают, то частица, находящаяся в оП/i, тем самым находится и в dV2. Легко видеть, что соотношение, учитывающее это обстоятельство, имеет вид (тп2) = n2w12 + п6(г2 - ri). A16.2) Действительно, выделим некоторый малый объем AV и, умно- жив A16.2) на dV\dV2, проинтегрируем по этому объему. Член n2wi2 даст при этом малую величину второго порядка (пропор- циональную (AVJ)] член же с E-функцией даст величину пер- вого порядка nAF, как и должно быть, поскольку (с точностью до величин первого порядка) в малом объеме может находиться лишь 0 или 1 частица. Член с E-функцией целесообразно выделить и из корреляци- онной функции A16.1), записав ее в виде (Ani Ап2) = п5(г2 - ri) + пи (г), A16.3) где v{r) =n[w12®-l]. A16.4) Мы будем Ani называть корреляционной функцией как исход- ную величину (Дп]_Дп2), так и функцию и (г)х). Функция и (г) отличается от введенной в § 79 функции cji2® нормиров- кой: TIUJ12 = V. 116 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ 401 Проинтегрируем теперь равенство A16.3) по dV\dV2 по неко- торому конечному объему V. Введя полное число N частиц в этом объеме (так что nV = TV), получим {(ANJ) = N + п JJ u®dV1dV2, или, перейдя от интегрирования по dV\dV2 к интегрированию по координатам одной из частиц и по относительным координатам г = г2 -гь "Щ?±-1. A16.5) Таким образом, интеграл от корреляционной функции по неко- торому объему выражается через средний квадрат флуктуации полного числа частиц в этом объеме. Воспользовавшись для по- следнего термодинамической формулой A12.13), можно выра- зить этот интеграл через термодинамические величины: -1. A16.6) В обычном (классическом) идеальном газе интеграл обраща- ется в нуль, как и должно быть: в таком газе никакой корреля- ции между положениями различных частиц нет, поскольку меж- ду ними нет никакого взаимодействия — ни прямого, ни (как в квантовом идеальном газе) обменного. Напротив, в жидкости (вдали от критической точки) пер- вый член в выражении A16.6) мал по сравнению с единицей в силу малой сжимаемости жидкости, так что интеграл бли- зок к —I1). Основные силы взаимодействия между частицами жидкости имеют радиус действия порядка молекулярных раз- меров а. С учетом этих сил корреляционная функция и (г) убы- вает с расстоянием по экспоненциальному закону с показате- лем ~ (—г/аJ) . Поскольку флуктуации плотности и температуры статисти- чески независимы, то при рассмотрении флуктуации плотности температуру можно считать постоянной. Постоянен по опреде- лению также и полный объем тела. В таких условиях минималь- ная работа, требуемая для вывода тела из состояния равновесия, 1) Значение — 1 отвечает как бы взаимной непроницаемости частиц жид- кости, рассматриваемых как плотно упакованные твердые шарики. 2) Существуют, однако, также и более слабые, но дальнодействующие (ван-дер-ваальсовы) силы взаимодействия. Эти силы приводят к появлению в корреляционной функции члена, более медленно (по степенному закону) спадающего с расстоянием (см. том IX). 402 ФЛУКТУАЦИИ равна изменению AFU его полной свободной энергии. Поэтому вероятность флуктуации w со ехр I Изменение AFU1 связанное с флуктуациями плотности, может быть представлено в виде ^ = I /I\p®An1An2dVidV2. A16.8) Покажем, каким образом корреляционная функция и (г) может быть найдена по функции ср(г)х) . Рассматривая тело большого, но конечного объема V, разло- жим An в ряд Фурье: An = У An^kr, Ank = - Г Ane~ikrdV A16.9) к J (причем ввиду вещественности An: An_k = Ап^.). При подста- новке этих выражений в A16.8) и интегрировании, все члены с произведениями ДпкДпк'ег(к+к/)г, к7 ф —к обращаются в нуль, и в результате находим к где той же буквой if с указанием нового аргумента к обозначена компонента разложения функции <р(г) в интеграл Фурье: <р(к) = f\p®e-ikrdV. A16.11) Поскольку каж:дый из членов суммы A16.10) зависит только от одного из Ank, то флуктуации различных Ank статистиче- ски независимы. Каждый квадрат |Дп&|2 входит в сумму два- жды (ik), так что распределение вероятностей его флуктуации дается выражением w о Наконец, имея в виду, что |Ank|2 есть сумма квадратов двух независимых величин (Ank комплексно), найдем отсюда для среднего квадрата флуктуации A16.12) 1)По математической терминологии ср(г) — вторая вариационная произ- водная от AFn по п(г). § 117 КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ В ВЫРОЖДЕННОМ ГАЗЕ 403 С другой стороны, умножив обе части равенства A16.3) на ехр(—ikr) = exp[—ik(r2 — ri)] и снова проинтегрировав его по dVidV2, получим (|Апк|2> = |[1 + */(*)], и{к) = I v{ry*rdV. A16.13)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пространственная корреляция флуктуации плотности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Функция и (г) отличается от введенной в § 79 функции cji2® нормиров- 