Зная средний квадрат флуктуации числа частиц в заданном объеме газа A13.1), можно написать соответствующее гауссово распределение вероятностей флуктуации этого числа: w(N)dN = —^expf-^^ )-dN. (N)dN = —^expf-^^ ) Эта формула, однако, применима лишь для малых флуктуа- ции — отклонение N — N должно быть малым по сравнению с самим числом N. Если выделенный в газе объем V достаточно мал, то число частиц в нем невелико, и представляет интерес рассмотрение также и больших флуктуации, при которых N — N становится сравнимым с N. Заметим, что этот вопрос имеет смысл лишь в применении к больцмановскому газу, так как в газах Ферми или Бозе вероятность таких флуктуации может стать заметной лишь в настолько малых объемах, что существенными стано- вятся квантовые флуктуации. Решение поставленного вопроса проще всего получить сле- дующим образом. Пусть Vq и Nq — полный объем газа и число 396 ФЛУКТУАЦИИ частиц в нем, а V—малая по сравнению с Vo часть объема. В силу однородности газа очевидно, что вероятность некото- рой определенной частице находиться в объеме V равна просто отношению VyVo, а вероятность одновременного нахождения в нем N определенных частиц равна (V/Vq)n. Аналогично веро- ятность частице не находиться в объеме V равна (Vo — V)/Vq1 a такая же вероятность одновременно для Щ — N определенных частиц есть A — V/Vq)n°~n. Поэтому вероятность wn того, что в объеме V будет находиться всего N каких-либо молекул, да- ется выражением /VJ fV\N f y\No-N wN = ^ ( —) A-—J , A14.2) 7V N\(No-N)\\VoJ V Vo) K J где введен множитель, определяющий число возможных спосо- бов выбора N из Nq частиц. В интересующем нас случае У <С Vb, а число N хотя и мо- жет значительно отличаться от своего среднего значения 7V, но, разумеется, предполагается малым по сравнению с полным чис- лом Nq частиц в газе. Тогда можно положить Nq\ и пренебречь N в показателе степени, так что получается ^v = — I N\\ Vo J \ Vo) Но iVoVyVo есть не что иное, как среднее значение N числа ча- стиц в объеме V. Поэтому имеем TV! V NoJ Наконец, имея в виду известную формулу lim (l--Y = e~x, заменяем A — N/Nq)n° с большим Щ на ехр(—N) и получаем окончательно искомое распределение вероятностей в видех) WN = Для малых флуктуации (\N — N\ <^ N, N велико) эта формула пере- ходит, естественно, в формулу A14.1). В этом легко убедиться, воспользо- вавшись асимптотической формулой Стирлинга для факториала большого числа N: N1 = л/ъШ • NN exp(-TV), и разложив In wn в ряд по степеням N — N. § 115 ФОРМУЛА ПУАССОНА 397 Это— так называемая формула Пуассона. Легко убедиться в оо том, что она удовлетворяет условию нормировки ^ wn = 1. N=0 Вычислим с помощью этого распределения средний квадрат флуктуации числа частиц: ОО ОО дг = ехр(-Ж) JUL N=0 N=1 N=2 V J N=1 V Отсюда находим для искомой флуктуации прежнее значение ((ANJ) = (TV2) - TV2 = TV. A14.4) Таким образом, средний квадрат флуктуации числа частиц ра- вен TV не только при больших, но и вообще при любых значени- ях TV. Отметим, что формула A14.3) может быть получена и не- посредственно из распределения Гиббса. Согласно последнему распределение N частиц газа, рассматриваемых одновременно, по различным квантовым состояниям определяется выражением где ^2 Sk есть сумма энергий отдельных частиц. Для получения искомой вероятности wn надо просуммировать это выражение по всем состояниям частиц, приходящимся на заданный объ- ем V. Производя суммирование по состояниям каждой части- цы независимо, мы должны одновременно разделить результат на N\ (ср. §41), так что получается к у v к Но стоящая здесь сумма есть не что иное, как среднее значе- ние N числа частиц в рассматриваемом объеме. Поэтому нахо- дим: wn = const • N /TV!, после чего из условия нормировки находим const = exp(—TV):) , приходя снова к формуле A14.3).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формула Пуассона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Для малых флуктуации (\N — N\ <^ N, N велико) эта формула пере- 