В изложенной в § 78 теории предполагалось, что плазма дале- ка от вырождения, т. е. подчиняется статистике Больцмана. Рас- смотрим теперь ситуацию, когда температура плазмы настолько низка, что ее электронная компонента уже вырождена: Т < ^п2>\ (80.1) т ) Члены следующего порядка в термодинамических величинах плазмы фактически вычислены (другим методом) А. А. Веденовым и А. И. Ларки- ным (ЖЭТФ. - 1959.-Т. 36.-С. 1133). 286 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ где т — масса электрона (ср. E7.8)); при этом ионная компо- нента благодаря большой массе ионов может быть еще далека от вырождения. Напомним, что условие слабой неидеальности вырожденной плазмы состоит в требовании ^Ыг « 1 (80-2) (см. E7.9)); оно выполняется тем лучше, чем выше плотность плазмы. Для вырожденного газа удобными переменными явля- ются (помимо температуры Т и объема V) его химические по- тенциалы1) \ia вместо чисел частиц Na. Соответственно этому будем вычислять О — термодинамический потенциал по отно- шению к этим переменным. Отметим, что химические потен- циалы не являются при этом все независимыми переменными; они связаны друг с другом одним соотношением, следующим из условия электрической нейтральности плазмы: X>«f7 = °- (80-3) а Воспользуемся формулой ГШ\ =/дН\ выражающей производную от О по некоторому параметру А че- рез среднее значение такой же производной от гамильтониана системы (ср. аналогичные формулы A1.4), A5.11)). В данном случае выберем в качестве параметра А квадрат заряда е2. Га- мильтониан плазмы содержит е2 в виде общего коэффициента в операторе кулоновского взаимодействия частиц U. Поэтому (дп\ _/дН\_ 1 так что вычисление О сводится к вычислению среднего значе- ния ф). Мы увидим, что в вырожденной слабо неидеальной плазме основную роль в поправках к термодинамическим величинам идеального газа играет обменная часть электрического взаимо- действия электронов (которая в классическом случае несуще- ственна и в § 78 вовсе не учитывалась). Имея это в виду, будем 1) Определение понятия химических потенциалов компонент смеси см. в §85. § 80 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 287 писать в операторе U лишь члены, описывающие кулоновское взаимодействие электронов. Вычисление (U) наиболее просто осуществляется с помощью метода вторичного квантования. Следуя этому методу (см. III §64,65), вводим систему нормированных волновых функций V>Pcr, описывающих состояния свободных электронов, движу- щихся в объеме V с импульсами р и проекциями спина а (а = ±1/2). Импульс р пробегает бесконечный набор дискретных значений, интервалы между которыми стремятся к нулю при V —> оо. Далее вводим операторы аро- и а^. уничтожения и ро- ждения электронов в состояниях фра1 а с их помощью образуем ^-операторы Ф= ^2фР*ара, ф+ = ^Фро-а+г. (80.5) per per Кулоновское взаимодействие частиц имеет «парный» характер; оператор такого взаимодействия записывается в методе вторич- ного квантования в виде интеграла U = = \ ff ^(Yl)^(Y2)-^—^(Y2)^(Yl)dVldV2. (80.6) 2JJ |Г1-Г2 Требуемое усреднение этого оператора производится в два этапа: сначала усреднение по заданному квантовому состоянию системы, а затем усреднение по равновесному статистическому распределению по различным квантовым состояниям. В слабо неидеальной плазме U играет роль малого возмущения. Вычи- слим среднее значение этой величины в первом приближении теории возмущений, другими словами — по отношению к состоя- ниям системы невзаимодействующих частиц, т. е. идеального газа. Квантовомеханическое усреднение сводится к взятию соот- ветствующего диагонального матричного элемента. После под- становки ^-операторов (80.5), оператор (80.6) представится в виде суммы членов, содержащих различные произведения опе- раторов рождения и уничтожения, взятых по четыре: где суммировавание производится по всем импульсам и проек- циям спина, а (р^_р^ | С/121PiP2) — матричные элементы от энер- гии взаимодействия двух электронов U\2 = е2/\г± — Г21; посколь- ку кулоновское взаимодействие не зависит от спинов, то эти элементы берутся для переходов без изменения проекций спи- нов электронов, т. е. могут вычисляться по чисто орбитальным 288 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ функциям -i . .„ Из всех членов суммы (80.7) диагональные матричные эле- менты имеют лишь те, которые содержат две пары операто- ров аро-, ttpo- с одинаковыми индексами, причем произведение а^ара заменяется просто числом заполнения данного квантово- го состояния электронов г) . Положив pi = р^, р2 = р2, получим е2 2У2 г mm_ (80<8) J |Г1-Г2| а положив р^ = р2, р'2 = Pi, о\ = сг2 = а, —члены е2 ^v ^ /" (знак минус возникает здесь в результате перестановки опе- раторов ар1СГ и аР20-, нужной для приведения произведения ^P2^pi^ ' %>2CT^Picr K ВИДУ ^p2cr^P2cr^picr^Picrj напомним, что в случае фермионов эти операторы антикоммутативны). Члены (80.8) представляют собой просто энергию прямого кулоновского взаимодействия электронов, равномерно распре- деленных в пространстве. Как уже было отмечено в § 78, вви- ду электрической нейтральности плазмы эти члены в действи- тельности тождественно сокращаются с аналогичными члена- ми, выражающими энергию взаимодействия других частиц (ио- нов) друг с другом и с электронами (и в этой связи расходи- мость интеграла в (80.8) несущественна). Члены же (80.9), со- держащие недиагональные матричные элементы кулоновского потенциала, выражают собой искомый обменный эффект2) . Имея в виду, что при макроскопическом объеме V импульсы электронов пробегают практически непрерывный ряд значений, можно перейти от суммирования по pi, p2 к интегрированию по V2d3pidsp21BтгНN (при этом ограничение pi ф р2 становится 1) Что касается членов с произведениями четырех операторов с одинаковы- ми индексами, то их число неизмеримо мало по сравнению с числом членов с двумя различными парами одинаковых индексов, и их поэтому не надо учитывать (вклад в Q от этих членов содержал бы лишнюю степень 1/V). 2) Для лучшего уяснения структуры членов (80.8) и (80.9), обратим вни- мание на то, что в первых из них пары операторов арсг, пра с одинаковы- ми индексами происходят от ^-операторов, взятых в одной и той же точке пространства (ri или гг); в членах же (80.9) эти пары происходят от ^-опе- раторов, взятых в различных точках. § 80 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 289 несущественным). Интеграл в (80.9) равен1) V / е^Р1~Р2)г/^— = V- Г ' (Р1 -Р2J' В результате выражение (80.9) принимает вид npianP2a dspidsp2 Статистическое усреднение этого выражения производит- ся (в рассматриваемом приближении) по равновесному распре- делению идеального газа. Ввиду статистической независимо- сти частиц идеального газа в различных квантовых состояни- ях при этом (пР1GпР2G) = пР1GпР2G] средние же значения Пре- даются формулой распределения Ферми пра = [е(?~^/т + I] (/ie — химический потенциал электронов). Наконец, поскольку получившееся выражение просто пропорционально е2, то, со- гласно (80.4), оно непосредственно дает искомую поправку к термодинамическому потенциалу плазмы: О _ 47Ге%/ Г Г ^Pl^P2 dSp!dSp2 /QAiM (Е. Wigner, F. Seitz, 1934). В предельном случае сильного вырождения электронного га- за (Т ^С й2п2/3/т) распределение пр сводится к «ступенчатой» функции (пр = 1 при р ^ рр, пр = 0 при р ^ рр). Вычисление интеграла приводит тогда к результату2) : 1) Здесь использовано известное выражение для фурье-компоненты куло- новского потенциала: [ ikrdV_ _ 4тг Г г ~ к2 (см., ниже примеч. на с. 408). 2) Интеграл 7/е (Pi -Р2J заменой pi — р2 = q, (pi + Рг)/2 = s приводится к интегралу / = = JJ q~2dsqdss, берущемуся по области |s ± q/2| ^ pf- Интеграл J dss (при заданном q) есть объем, заключенный между двумя сферами радиуса pf с центрами, раздвинутыми на расстояние q: 4тг о Q —h CpF — h), h = pf • 3 2 Интегрируя затем по dsq по области 0 < q < 2pF, получим / = 4тг2рЕ- 10 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 290 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ Эта же величина, если выразить в ней химический потенциал через плотность числа электронов ne = Ne/V, согласно E7.3), дает поправку к свободной энергии: ^e2nlJ\ (80.12) В обратном же предельном случае больцмановского газа (/ie < 0, |/ie| ^> T) вычисление по формуле (80.10) дает1) fw = -^iPS>e/T (80ЛЗ) или, выразив /ie через пе согласно D6.1а), ^^- (80.14) При Т ~ \ie обменная поправка ^обм ~ Уе2п4'3, между тем как найденная в § 78 корреляционная поправка FKOp ~ ~ 1/е3п3/2/Т1/2; при этом в силу условия слабой неидеальности 2 1/3 \ 1/2 Н «1, т. е. электронная обменная поправка действительно является главной. При повышении температуры, однако, F0§M убывает быстрее, чем FKOp (при Т > /ie: Fo6m со Т, a FKOp со Т/2). Поэтому существует область, в которой обе поправки одинако- вого порядка величины. В этой области, однако, вырождение плазмы уже незначительно, и потому для корреляционной по- правки можно пользоваться классическими формулами G8.11)- G8.14J). В предыдущем изложении подразумевалось, что ионная ком- понента плазмы не только не вырождена, но и почти идеальна, т. е. что энергия взаимодействия ионов мала по сравнению с их 1) В этом случае ~ ~ е 4S2 2 = exp I -L-^ — * ' ' * " I = ехр 2 V Т 2гпТ ) Т 2тТ ) \Т 4гпТ и интегрирование по dssdsq распространяется по всему q- и s-пространству. 2) Вопрос о вычислении корреляционной поправки при произвольной сте- пени вырождения электронов представляет, тем не менее, определенный ме- тодический интерес. Эта задача будет рассмотрена в другом томе этого кур- са (том IX). § 80 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ 291 тепловой энергией: n1/^2 <C T1) . Но если плотность плазмы не слишком велика: f«n1/3«6^- (80.15) (М — масса иона), то температура Т превышает температуру вырождения ионов: ^Ц (801б) Т еп > м (причем Т <С e^M/fi2). В этих условиях ионная компонента составляет невырожденную, но существенно неидеальную си- стему. Минимальности энергии взаимодействия ионов друг с другом и с электронами отвечает тогда упорядоченное распо- ложение ядер, т. е. ядра образуют кристаллическую решетку (А. А. Абрикосов, 1960). Это приводит к тому, что энергии прямого кулоновского взаимодействия различных частиц уже не полностью взаимно компенсируются. В каждой ячейке ре- шетки поле ионов компенсируется находящимися в ней элек- тронами. Но энергия взаимодействия частиц в пределах одной ячейки (размеры которой ~ п/3) отлична от нуля. По гру- бой оценке эта энергия ~ е2?!1'3, а для всей решетки (с числом ячеек N ~ Vn) ее энергия связи составляет |?Реш| ~ Ne2n1/3 - FeV/3. (80.17) По порядку величины она совпадает с обменной энергией выро- жденной электронной компоненты плазмы. Для устойчивой ре- шетки энергия связи, разумеется, отрицательна2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Термодинамические величины вырожденной плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
