Намагниченность электронного газа в слабых магнитных по- лях складывается из двух независимых частей: из парамагнит- ной намагниченности, связанной с собственным (спиновым) маг- нитным моментом электронов (парамагнетизм Паули, W. Pauli, 1927) и из диамагнитной намагниченности, связан- ной с квантованием орбитального движения электронов в маг- нитном поле (диамагнетизм Ландау', 1930). Вычислим соответ- ствующие магнитные восприимчивости, предполагая газ вы- рожденным: температура Т ^ ер. Условие слабости магнит- ного поля означает, что должно быть (см. ниже) /ЗН <С Т, где /3 = \е\Н/Bтпс) — магнетон Бора1). Для вырожденного газа термодинамические вычисления удобнее производить в независимых переменных Т', V", \i (вмес- то переменных Т, V, N). Соответственно этому вместо форму- лы E2.1), использованной при вычислении магнитного момента больцмановского газа, здесь мы будем вычислять его как про- изводную fXJl=-(—) E9.1) от термодинамического потенциала О. Определим сначала парамагнитную часть восприимчивости. Дополнительная (спиновая) энергия электрона в магнитном по- ле равна ±/ЗН, где два знака отвечают двум значениям (±1/2) проекции спина на направление поля. Статистическое распреде- ление электронов в магнитном поле отличается, следовательно, от распределения в отсутствие поля заменой энергии е = р2 /2т на е = р2 /2т =Ь (ЗН. Но поскольку е входит в распределение в комбинации е — /i с химическим потенциалом, то эта замена экви- валентна замене \i на /i=F/3i?. Поэтому потенциал О электронного газа в магнитном поле может быть представлен в виде ОД = ifio(M + РН) + ^0(м - /ЗН), E9.2) где Oo(/i)— потенциал в отсутствие поля (аргументы Т, V для краткости не выписываем); два члена в этой сумме отвечают совокупностям электронов с различными проекциями спина, а множители 1/2 учитывают уменьшение вдвое числа квантовых :)В обратном случае высоких температур (Т ^> sf) электроны образуют больцмановский газ, и парамагнитная часть его восприимчивости, отнесен- ная к единице объема: %Пара = N/32/VT (формула E2.8) с g = 2, J = 1/2). § 59 МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. СЛАБЫЕ ПОЛЯ 205 состояний электрона при фиксировании значения проекции его спина. Произведя в E9.2) разложение по степеням (ЗН, получим вд «по(/л) + ^"^7, E9-3) откуда магнитный момент SPT = — Н/32—^. Но производная dfl/d/j, = —TV, так что парамагнитная восприимчивость, кото- рую в этом параграфе относим к единице объема газа: Xn^ = -^^ = ^(^)TV- E9.4) Пренебрегая малым (при Т <^ ц) температурным эффектом, т. е. считая газ полностью вырожденным, имеем из E7.3) N = V (зЛ3) ' и дифференцирование дает Хпара = B7Г2П3 = S^P' E9.5) Обратимся к вычислению диамагнитной восприимчивости. Уровни энергии орбитального движения электрона в магнитном поле даются выражением е = ?- + BП + 1)/3#, E9.6) где п = 0,1, 2,... , a pz — импульс в направлении поля— пробе- гает непрерывный ряд значений от —оо до оо (см. III, §112). При этом число состояний в интервале dpz при каждом заданном значении п есть Л V\eH 1 7trtp> E9'7) BтгЛ) с где множ:итель 2 учитывает два направления спина. Выраже- ние E3.4) для потенциала О принимает вид (X) П = 2/ЗЯ Y^ fb* ~ Bn + l)f3H], E9.8) n=0 + OO 206 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Сумму E9.8) можно вычислить с требуемой точностью с по- мощью формулы*) °° {\) « F(x)dx + ±Ff@). E9.10) п=0 Й Условие применимости этой формулы состоит в малости отно- сительного изменения функции F на одном шаге (п—^п + 1). В применении к функции E9.9) оно сводится к требованию /ЗЖТ2). Применив E9.10) к сумме E9.8), получим оо 2/ЗН df(fi - 2п/ЗН) f(iA-2l3Hx)dx+ oA = / f(x)dx - B/ШJ 24 д/i — оо Первый член не содержит Д", т. е. представляет собой потенци- ал Oo(/i) газа в отсутствие поля. Таким образом, и отсюда восприимчивость Хдиа — 7 ,) _ ±^я2^^, E9.11) у ^ 2 х) Согласно известной формуле суммирования Эйлера-Маклорена 1 d F'() 7 / F(a). E9.10а) Формула E9.10) получится отсюда, если положить а = 1/2 и представить функцию F(x) в интервале 0 ^ х ^ 1/2 в виде F(x) и i^@) + ж^'@). ) В противном случае условие нарушается в «опасной» области значе- ний п, для которых разность /и, — Bп + 1)/ЗН близка к нулю. Эта область приводит (см. следующий параграф) к появлению в Q быстро осцилли- рующих (как функция от Н) членов. Эти члены исчезнут, если произвести усреднение ряда E9.8) по некоторому интервалу /\Н такому, что изменение аргумента /и, — 2/ЗпН (вблизи точки, где /и, — 2/ЗпН и 0) будет существенно больше, чем разность его двух соседних значений: /ЗН ^С п/ЗАН ~ /iAH/H или АН/Н ^> /ЗН/fi. После этого формула E9.10) станет вновь приме- нима, и получающийся с ее помощью результат будет ограничен лишь условием /ЗН <^ /л. 3) Отметим, что это соотношение справедливо при любой степени выро- ждения газа. § 60 МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. СИЛЬНЫЕ ПОЛЯ 207 В целом газ парамагнитен с восприимчивостью х — 2хпара/3. Мы произвели здесь вычисление обеих ее частей по отдельности с целью уяснения их происхождения. Разумеется, можно было бы вычислять также и сразу суммарную восприимчивость \. Для этого надо было бы писать уровни энергии электронов в виде е = pl/2m-\- Bn + l)/3i7=L/3i7, получающемся прибавлением к E9.6) спиновой магнитной энергии ±/ЗН. Эту совокупность значений е можно представить и как е = ^- + 2п/ЗЯ, п = 0,1, 2,..., E9.13) 2т причем каждое значение с п ф 0 встречается дважды, а с п = 0—один раз; другими словами, плотность числа состоя- ний с п ф 0 дается той же формулой E9.7), а для п = 0 она вдвое меньше. Потенциал О определится тогда суммой E9.14) а для ее вычисления надо воспользоваться формулойх) = / F{x)dx _ ±F/(o). E9.15)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнетизм электронного газа. Слабые поля» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
