Важное принципиальное значение имеет изучение свойств ферми-газа при достаточно низких температурах. Как мы уви- дим ниже, температуры, о которых при этом идет речь, факти- чески могут еще быть, с других точек зрения, весьма высокими. Имея в виду наиболее важные применения статистики Фер- ми, будем говорить ниже об электронном газе; соответственно этому полагаем g = 2 (спин s = 1/2). 198 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный ферми-газ). В та- ком газе электроны будут распределены по различным кванто- вым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа име- ла наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом кван- товом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергиями от наимень- шей (равной нулю) до некоторой наибольшей, величина которой определяется числом электронов в газе. С учетом двукратного (g = 2) спинового вырождения уров- ней, число квантовых состояний электрона движущегося в объ- еме V с абсолютной величиной импульса в интервале между р и р + ф, равно 2 2 Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения р = рр] об этом значении говорят как о радиусе ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях PF V о откуда для граничного импульса имеем ^yH E7.2) и для граничной энергии Эта энергия имеет простой термодинамический смысл. В со- гласии со сказанным выше функция распределения Ферми по квантовым состояниям (с определен- ными значениями импульса р и про- екции спина) eF —Н в пределе Т —>> 0 обращается в «сту- Рис б пенчатую» функцию: единица при е < \i и нуль при е > \i (на рис. 6 эта функция изображена сплошной линией). Отсюда видно, что § 57 ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ 199 химический потенциал газа при Т = 0 совпадает с граничной энергией электронов: 11 = eF. E7.5) Полная энергия газа получится умножением числа состоя- ний E7.1) на р2/2m и интегрированием по всем импульсам: PF v V f 4j VPf Е = 2~з / Р dP = 2Т^ о или, подставив E7.2): 10 г По общему соотношению E6.8) находим, наконец, уравнение со- стояния газа р = ±JLA—i Таким образом, давление ферми-газа при абсолютном нуле тем- пературы пропорционально его плотности в степени 5/3. Полученные формулы E7.6), E7.7) применимы приближен- но также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Условие их применимо- сти (условие «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости Т по сравнению с граничной энергией ер: Л2/3 Это условие, как и следовало ожидать, противоположно усло- вию D5.6) применимости статистики Больцмана. Температу- ру Тр « ер называют температурой вырождения. Вырожденный электронный газ обладает своеобразной осо- бенностью— он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедиться следующим образом. Рассмотрим плазму — газ, состоящий из электронов и соот- ветствующего количества положительно заряженных ядер, ком- пенсирующих заряд электронов (газ из одних только электронов был бы, очевидно, вообще неустойчивым; выше мы не говорили о ядрах, поскольку вследствие предполагающейся идеальности наличие ядер не сказывается на термодинамических величинах электронного газа). Энергия кулонового взаимодействия элек- тронов с ядрами (отнесенная к одному электрону) порядка ве- личины Ze2/a, где Ze — заряд ядра, а а ~ (ZV/NI/3 — среднее 200 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ расстояние между электронами и ядрами. Условие идеальности газа заключается в требовании малости этой энергии по срав- нению со средней кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией ер. Нера- венство — <?F а после подстановки а ~ (ZV/NI/3 и выражения E7.3) для ер дает условие Е » (^)V E7.9) Мы видим, что это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа N/V1) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вырожденный электронный газ» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
