Одним из важнейших объектов изучения статистической фи- зики является так называемый идеальный газ. Под этим назва- нием подразумевают газ, взаимодействие между частицами (мо- лекулами) которого настолько слабо, что им можно пренебречь. Физически допустимость такого пренебрежения может быть обеспечена либо малостью взаимодействия частиц при любых расстояниях между ними, либо достаточной разреженностью газа. В последнем, наиболее важном случае, разреженность га- за приводит к тому, что его молекулы почти всегда находятся на значительных расстояниях друг от друга, на которых силы взаимодействия уже достаточно малы. Отсутствие взаимодействия между молекулами позволяет свести квантовомеханическую задачу об определении уровней энергии Еп всего газа в целом к задаче об определении уров- ней энергии отдельной молекулы. Эти уровни мы будем обозна- чать символом е/г, где индекс к представляет собой совокуп- ность квантовых чисел, определяющих состояние молекулы. Энергии Еп выразятся тогда в виде сумм энергий каждой из молекул. Надо, однако, иметь в виду, что даже при отсутствии не- посредственного силового взаимодействия в квантовой механи- ке имеет место своеобразное взаимное влияние частиц, нахо- дящихся в одинаковом квантовом состоянии (так называемые обменные эффекты). Так, если частицы подчиняются статисти- ке Ферми, то это влияние проявляется в том, что в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы1); аналогичное влияние, проявляющееся иным образом, имеет место и для частиц, подчиняющихся статистике Бозе. г) Подчеркнем, что, говоря о квантовом состоянии отдельной частицы, мы всегда будем иметь в виду состояния, полностью опредленные набором зна- чений всех квантовых чисел (в том числе направлением момента частицы, если она обладает таковым). Их не следует смешивать с квантовыми уров- нями энергии — одному и тому же уровню энергии может соответствовать ряд различных квантовых состояний (если уровень вырожден). § 37 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 139 Обозначим символом пк число частиц в газе, находящих- ся в к-м квантовом состоянии; числа пк называют числами за- полнения различных квантовых состояний. Поставим задачу о вычислении средних значений пк этих чисел, причем обратимся к подробному изучению чрезвычайно важного случая, когда все числа пк < 1. C7.1) Физически этот случай соответствует достаточно разреженно- му газу. В дальнейшем будет установлен критерий, обеспечи- вающий выполнение этого условия, но уже сейчас укажем, что фактически оно выполняется для всех обычных молекулярных или атомных газов. Это условие нарушилось бы лишь при таких больших плотностях, при которых вещество фактически уже ни в какой мере нельзя было бы рассматривать как идеальный газ. Условие uk <С 1 для средних чисел заполнения означает, что в каждый момент времени в каждом квантовом состоянии факти- чески находится не более одной частицы. В связи с этим можно пренебрегать не только непосредственным силовым взаимодей- ствием частиц, но и их косвенным квантовомеханическим вза- имным влиянием, упомянутым выше. Это обстоятельство в свою очередь позволяет применить к отдельным молекулам формулу распределения Гиббса. Действительно, распределение Гиббса было выведено нами для тел, являющихся относительно малыми, но в то же вре- мя макроскопическими частями каких-либо больших замкнутых систем. Макроскопичность тел давала возможность считать их квазизамкнутыми, т. е. в известном смысле пренебречь их взаи- модействием с другими частями системы. В рассматриваемом случае квазизамкнутыми являются отдельные молекулы газа, хотя они отнюдь не представляют собой макроскопических тел. Применив к молекулам газа формулу распределения Гиббса, мы можем утверждать, что вероятность молекуле находиться в к-м состоянии, а потому и среднее число пк молекул в этом состоянии, пропорциональны ехр(—6&/Т): пк-?к/Т, C7.2) где а —постоянная, определяющаяся условием нормировки nk = N C7.3) к (N — полное число частиц в газе). Распределение молекул иде- ального газа по различным состояниям, определяемое форму- лой C7.2), называется распределением Больцмана; оно было от- крыто Больцманом (L. Boltzmann) для классической статистики в 1877 г. 140 ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ГЛ. IV Постоянный коэффициент в C7.2) может быть выражен че- рез термодинамические величины газа. Для этого дадим еще один вывод этой формулы, основанный на применении распре- деления Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии. Мы имеем право сделать это (даже если числа п^ не малы), поскольку непосредственного си- лового взаимодействия между этими и остальными частицами (как и между всеми вообще частицами идеального газа) нет, а квантовомеханические обменные эффекты имеют место лишь для частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Полагая в общей формуле распределения Гиббса с переменным числом ча- стиц C5.2) Е = П&6&, N = rik и приписывая индекс к величине О, получим распределение вероятностей различных значений пк в виде wnk = ехР ^ • C7.4) В частности, wq = ехр(О^/Т) есть вероятность полного от- сутствия частиц в данном состоянии. В интересующем нас здесь случае, когда Щ <С 1, вероятность wq близка к единице; поэтому в выражении w\ для вероятности наличия одной частицы в к-м состоянии можно положить, опуская члены высшего порядка ма- лости, ехр(О/г/Т) = 1. Тогда wi = ехр ^— . Что же касается вероятностей значений п& > 1, то они в том же приближении должны быть положены равными нулю. Поэтому nknk = wi • 1, и мы получаем распределение Больцмана в виде nfc = exp^. C7.5) Таким образом, коэффициент в формуле C7.2) оказывается вы- раженным через химический потенциал газа.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Больцмана» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
