Вопрос о термодинамических соотношениях для вращаю- щихся тел рассматривался уже в §26. Выясним теперь, каким образом должно быть сформулировано для вращающихся тел распределение Гиббса; этим будет полностью исчерпан вопрос об их статистических свойствах. Что касается равномерного поступательного движения, то в силу принципа относительно- сти Галилея оно, как уже указывалось в § 26, влияет на ста- тистические свойства лишь тривиальным образом и потому не нуждается в особом рассмотрении. В системе координат, вращающейся вместе с телом, справед- ливо обычное распределение Гиббса; в классической статистике F'-E'{p'q) , C4.1) § 34 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ДЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ 131 где E'(p,q)— энергия тела в этой системе как функция коорди- нат и импульсов его частиц, af- свободная энергия в этой же системе (отнюдь не совпадающая, однако, со свободной энергией покоящегося тела!). Энергия Ef(p,q) связана с энергией E(p,q) в неподвижной системе соотношением ЕЧр, q) = Е(р, д) - ПМ(р, q), C4.2) где fi — угловая скорость вращения, а М(р, q) —момент импульса тела (см. §26). Подставляя C4.2) в C4.1), найдем распределение Гиббса для вращающегося тела в видех) +ПМ()] C4.3) В классической статистике распределение Гиббса для вра- щающегося тела можно представить и в другом виде. Для это- го воспользуемся следующим выражением для энергии тела во вращающейся системе координат: ?1[Пг]2 + ц C4.4) где v7 — скорости частиц относительно вращающейся системы, а г —их радиусы-векторы (см. I, §39). Обозначив символом f + U C4.5) не зависящую от Г2 часть энергии, получим распределение Гибб- са в виде р = Bnh)- Функция р определяет вероятность, отнесенную к элементу фазового пространства dx\dy\dz\ ... dp'lxdp'x dp'lz ..., где р7 = = mv' + m[fir] — импульсы частиц тела (см. I, §39). Поскольку при нахождении дифференциалов импульсов координаты долж- ны считаться постоянными, то dp' = mdv7, и мы можем напи- сать распределение вероятностей, выраженное через координаты и скорости частиц: х dx\dy\dz\ ... dv[xdv[ydv/lz ..., C4.6) Распределение C4.3), как и обычное распределение Гиббса, находится в полном соответствии с результатом, полученным еще в § 4 с помощью теоре- мы Лиувилля (формула D.2)): логарифм функции распределения является линейной функцией энергии и момента тела. 132 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III где буквой С мы обозначили для краткости множитель B7rH)~s вместе с произведением масс частиц, возникающим при пере- ходе от дифференциалов импульсов к дифференциалам ско- ростей. Для неподвижного тела мы имели бы dw = Сехр ' dxidyidzi ... dv\xdv\ydv\z ... C4.7) с тем же самым выражением C4.5) для i?o(v, г)— теперь как функции от скоростей в неподвижной системе координат. Таким образом, мы видим, что распределение Гиббса по координатам и скоростям для вращающегося тела отличается от распределения для неподвижного тела только дополнительной потенциальной энергией, равной Другими словами, для статистических свойств тела вращение оказывается эквивалентным появлению некоторого внешнего поля, соответствующего центробежным силам. Кориолисовы же силы не влияют на эти свойства. Необходимо, однако, подчеркнуть, что последний результат относится только к классической статистике. В квантовом случае для вращающегося тела справедливо выражение w = ехр C4.8) для статистического оператора, аналогичное выражению C4.3). Формально можно привести этот оператор к виду, соответствую- щему C4.6), причем скорости v7 заменятся операторами v7 = = р7/га — [Or]. Однако компоненты этого векторного оператора уже не будут коммутировать друг с другом, как это имеет место для оператора v скорости в неподвижной системе; поэтому ста- тистические операторы, соответствующие выражениям C4.6) и C4.7), будут, вообще говоря, существенно отличаться друг от друга, даже помимо присутствия в одном из них центробежной энергии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Гиббса для вращающихся тел» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Распределение C4.3), как и обычное распределение Гиббса, находится в 