Перейдем теперь к поставленной в гл. I задаче о нахожде- нии функции распределения для любого макроскопического те- ла, являющегося малой частью какой-либо большой замкнутой системы (подсистемой). Наиболее удобный и общий способ под- хода к решению этой задачи основан на применении ко всей системе микроканонического распределения. Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: из данного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой». Микроканоническое распределение F.6) напишется в виде duo = const • 6(Е + Е' - E^)dV dT1, B8.1) где Е, dT и Е1', dT' относятся соответственно к телу и среде, а Е^ — заданное значение энергии замкнутой системы; этому значению должна быть равна сумма Е+Е' энергий тела и среды. Нашей целью является нахождение вероятности иоп такого состояния всей системы, при котором данное тело находится в некотором определенном квантовом состоянии (с энергией Еп), т.е. в состоянии, описанном микроскопическим образом. Ми- кроскопическим же состоянием среды мы при этом не инте- ресуемся, т. е. будем считать, что она находится в некотором макроскопически описанном состоянии. Пусть АГ7 есть стати- стический вес макроскопического состояния среды; обозначим также через АЕ' интервал значений энергии среды, соответ- ствующий интервалу АГ7 квантовых состояний в указанном в § 7 смысле. Искомую вероятность wn мы найдем, заменив в B8.1) dT еди- ницей, положив Е = Еп и проинтегрировав по dTf: wn = const • Г S(En + E' - Ew)dTf. Пусть Г7 (?/)— полное число квантовых состояний среды с энер- гией, меньшей или равной Е1. Поскольку подынтегральное 104 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III выражение зависит только от Е\ можно перейти к интегри- рованию по dE1', написав: , dT'{E') , dY = -j^-dE . Производную dY' /dE' заменяем (ср. § 7) отношением dE' AE' ' где Sf(Ef) — энтропия среды как функция ее энергии (функци- ей Е' является, конечно, также и АЕ'). Таким образом, Г es' Wn = const • / :S(E + En — [ ^ J ^E Благодаря наличию E-функции интегрирование сводится к за- мене Е1 на Е^ — ЕП1 и получаем wn = const • (-?—) . B8.2) \АЕ'/Е'=Е(°)-Еп Учтем теперь, что вследствие малости тела его энергия Еп мала по сравнению с Е^. Величина AEf относительно очень мало меняется при незначительном изменении Е'] поэтому в ней можно просто положить Е' = Е^\ после чего она превратит- ся в не зависящую от Еп постоянную. В экспоненциальном же множителе es' надо разложить S'(E^ — Еп) по степеням ЕП1 сохранив также и линейный член: Но производная от энтропии S' по энергии есть не что иное, как 1/Т, где Т — температура системы (температура тела и сре- ды одинакова, так как система предполагается находящейся в равновесии). Таким образом, получаем окончательно для wn следующее выражение: х (^) B8.3) где А — не зависящая от Еп нормировочная постоянная. Это — одна из важнейших формул статистики; она определяет ста- тистическое распределение любого макроскопического тела, являющегося сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой системы. Распределение B8.3) называется 'распреде- лением Гиббса или каноническим распределением] оно было § 28 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА 105 открыто Гиббсом (J.W. Gibbs) для классической статистики в 1901 г. Нормировочная постоянная А определяется условием ^ wn = = 1, откуда л Среднее значение любой физической величины /, характеризую- щей данное тело, может быть вычислено с помощью распреде- ления Гиббса по формуле I = Е wnfnn = %Г-*п/т • B8.5) В классической статистике выражение, в точности соответ- ствующее формуле B8.3), получается для функции распределе- ния в фазовом пространстве: B8.6) где Е(р, q) — энергия тела как функция его координат и импуль- сов г) . Нормировочная постоянная А определяется условием f pdpdq = A f e~E^lTdp dq = 1. B8.7) На практике часто приходится иметь дело со случаями, ко- гда квазиклассическим является не все микроскопическое дви- жение частиц, а лишь движение, соответствующее части сте- пеней свободы, в то время как по остальным степеням свобо- ды движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при кван- товом характере внутримолекулярного движения атомов). В та- ком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: Еп = En(p,q), где п обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих «квантовую часть» движения, для которого значения р и q игра- ют роль параметров. Формула распределения Гиббса напишется тогда в виде dwn(p, q) = Ae-E^'^TdpKJ1dqKJl, B8.8) 1)Во избежание недоразумений лишний раз напомним, что wn (или р) являются монотонными функциями энергии и отнюдь не должны иметь максимума при Е = Е. Острый максимум при Е = Е имеет функция рас- пределения по энергии, получающаяся умножением wn на dT(E)/dE. 106 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА ГЛ. III где dpKJ1dqKJ1 — произведение дифференциалов «квазиклассиче- ских» координат и импульсов. Наконец, необходимо сделать следующее замечание по по- воду круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел. Действительно, такие свойства тела, как значения его термо- динамических величин или распределения вероятностей для ко- ординат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не за- висят от того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат (§7). В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой», и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Рас- пределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела—совер- шенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует. Возможность применения (в указанном смысле) распреде- ления Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканоническо- го (и в то же время несравненно удобнее для проведения кон- кретных расчетов). Действительно, микроканоническое распре- деление эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероят- ными всех микросостояний тела, отвечающих заданному значе- нию его энергии. Каноническое же распределение «размазано» по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии),
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Гиббса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
