Соотношения между производными термодинамических величин
Наиболее употребительны и удобны на практике пары тер- модинамических переменных Т, V и Т, Р. В связи с этим возни- кает необходимость в преобразовании различных производных термодинамических величин друг по другу к другим перемен- ным— как зависимым, так и независимым. Если в качестве независимых переменных используются V и Т, то результаты преобразования удобно выражать через дав- ление Р и теплоемкость Cv (как функции V и Т). Уравнение, связывающее давление, объем и температуру, называют урав- нением состояния данного тела. Таким образом, формулы, о которых здесь идет речь, должны дать возможность вычислять различные производные термодинамических величин по урав- нению состояния и теплоемкости Cv. Аналогично, при выборе Р и Т в качестве основных перемен- ных результаты преобразования следует выражать через V и Ср (как функции Р и Т). Следует при этом иметь в виду, что зависимость Cv от V или Ср от Р (но не от температуры) сама может быть опреде- лена по уравнению состояния. Действительно, легко видеть, что производная (dCv/'8V)t может быть преобразована к виду, в ко- тором она определится по функции P(V,T). Воспользовавшись тем, что S = — (dF/dT)v, имеем (дСЛ = т d2S _ dsF = _T^_ (д?\ \ovJt ovdT дУдт2 дт2\ду)т' и, поскольку CF/'8V)t — —Р, получим искомую формулу (Щ =Т(Ц) . A6.1) \dVJT \dT2Jv V J Аналогичным образом найдем формулу (при преобразовании надо воспользоваться формулами A5.8)). Покажем, каким образом можно преобразовать некоторые из наиболее часто встречающихся термодинамических произ- водных. Производные от энтропии по объему или давлению могут быть вычислены по уравнению состояния с помощью следующих § 16 ПРОИЗВОДНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 73 формул, являющихся непосредственным следствием выражений для дифференциалов термодинамических величин. Имеем fdS_\ д_(д?\ d_(dF_ \dVJT~ dV\dTJv~ дТ\ду или Аналогичным образом fdS\ д /<9Ф\ д (дФ^ — = — = — \дР/т дР\дТ)р дТ\дР; или Производная ( — 1 вычисляется на основании равенства dE = TdS - PdV как да =тда -р \dvJr \dvJr или, подставляя A6.3), fdE\ =тГдР\ _р /165ч \3VJt \дТ)т Аналогичным образом можно найти следующие формулы: /ЗЕ\ f dV\ f dV\ (^) =-т( —) -р(?!) , A6.6) /д\У\ _т(дР\ v(—) (—) -V-' Наконец, покажем, каким образом можно вычислить тепло- емкость Cv по теплоемкости Ср и уравнению состояния, поль- зуясь в качестве основных переменными Т и Р. Поскольку Cv = Т f — j , то речь идет о преобразовании производной — ) к другим независимым переменным. 1акого рода пре- 74 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ образование проще всего осуществляется с помощью якобиа- нов' Пишем: v~ \дт)У~ d(T,v) _ rrd(s,v)/d(T,p)rr(ds/dT)p(dv/dP)T - (ds/dP)T(dv/dT)P d(T,v)/d(T,py (dv/dPO = CP-T (dS/dP)T(dV/dT)[ (dV/dP)T Подставляя сюда A6.4), получим искомую формулу Г1 — Ту — г^у — —1 - (dV/dP)T A6.9) =тт к Аналогичным образом, преобразуя Ср = Т( — J к перемен- ным Т, V, можно получить формулу Ур — Су у — —1 (dP/dV)T' A6.10) 1) Якобианом д(х,у) называют определитель d(u,v) ди ди дх ду dv dv д(х,у) дх ду Он обладает следующими очевидными свойствам: d(v,u) _ d{u,v) д(х,у) ~~д(х,у)' д(и,у) _ (ди\ д{х,у) ~ УдхК' Далее имеют место следующие соотношения: d{u,v) d{u,v) d(t,s) д(х,У) d(t,8) du dv\ dtd{x,y) д{х,у) д{х,у) (I) (П) (III) (IV) (V) § 17 ПРОИЗВОДНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 75 Производная (дР/дУ)т всегда отрицательна— при изотер- мическом расширении тела его давление всегда падает (в § 21 это обстоятельство будет доказано строго). Из формулы A6.10) следует поэтому, что для всех тел CP>CV. A6.11) При адиабатическом расширении (или сжатии) тела оста- ется неизменной его энтропия. Поэтому связь между темпера- турой, объемом и давлением тела при адиабатическом процессе определяется различными производными, взятыми при постоян- ной энтропии. Выведем формулы, позволяющие вычислить эти производные по уравнению состояния тела и его теплоемкости. Для производной от температуры по объему имеем, переходя к независимым переменным V", Т: 'дТ\ _ д(Т, S) _ d(T,S)/d(V,T) _ (dS/dV)T _ ^ ) s d(v,s) d(Y,s)/d(y,T) (os/dT)v или, подставляя A6.3): \dv)s~ сЛдт)у- Аналогичным образом найдем формулу (дТ\ Т (d Ы Из этих формул видно, что если коэффициент теплового рас- ширения (dV/dT)p положителен (отрицателен), то при адиаба- тическом расширении температура тела падает (возрастает)х) . Далее, вычислим адиабатическую сжимаемость тела. Пишем: f&V_\ _ d(V,S) d(V,S)/d(V,T) d(V,T) _ (dS/dT)v \dPjs~ d(P,S) d(P,S)/d(P,T) д(Р,Т) ~ (dS/dT)P или Ввиду неравенства Ср > Cv отсюда следует, что адиабатическая сжимаемость по абсолютной величине всегда меньше изотерми- ческой сжимаемости. Используя формулы A6.9), A6.10), можно получить из A6.14) соотношения dV\ (dV\ Т fdV\2 , , ЫЫЧЫ A615) т 'и± 1 A6.16) В § 21 будет доказано строго, что всегда Cv > 0, а потому и Ср > 0.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Соотношения между производными термодинамических величин» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
В § 21 будет доказано строго, что всегда Cv > 0, а потому и Ср > 0.
