Среди различного рода внешних воздействий, испытывае- мых телом, особую группу составляют воздействия, сводящиеся к изменению внешних условий, в которых это тело находит- ся. Под внешними условиями мы понимаем в широком смысле различные внешние поля. Практически наиболее часто роль 1) Во избежание недоразумений отметим существующее исключение из этого правила: сверхтекучий жидкий гелий не может вращаться как целое. Это явление будет рассмотрено в томе IX этого курса; здесь укажем лишь, что проведенное доказательство в этом случае непригодно, так как рас- пределение скоростей подчиняется дополнительному условию (потенциаль- ности сверхтекучего движения), при котором и должен отыскиваться мак- симум энтропии. 2) Температура Т = 0 (абсолютный нуль) равна по шкале Цельсия -273,15°С. 58 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ГЛ. II внешних условий играет внешне заданный объем тела. В из- вестном смысле этот случай тоже можно рассматривать как особого рода внешнее поле, так как ограничивающие объем стенки эквивалентны по своему действию потенциальному ба- рьеру, препятствующему выходу молекул тела наружу. Если тело не подвергается никаким другим воздействиям, кроме изменения внешних условий, то говорят, что тело тепло- изолировано. Подчеркнем, что хотя теплоизолированное тело и не взаимодействует непосредственно с какими-либо другими те- лами, оно, вообще говоря, не является замкнутым, и его энергия может со временем меняться. С чисто механической точки зрения теплоизолированное те- ло отличается от замкнутого лишь тем, что благодаря наличию переменного внешнего поля его функция Гамильтона (энергия) зависит явно от времени: Е = E(p,q,t). Если бы тело взаимо- действовало также и непосредственно с другими телами, то оно само по себе вовсе не имело бы функции Гамильтона, так как взаимодействие зависело бы не только от координат молекул данного тела, но и от координат молекул других тел. Это обстоятельство приводит к тому, что закон возраста- ния энтропии оказывается справедливым не только для замкну- тых систем, но и для теплоизолированных тел. Действительно, мы рассматриваем здесь внешнее поле как полностью задан- ную функцию координат и времени, пренебрегая, в частности, обратным действием самого тела на поле. Другими словами, поле является здесь чисто механическим, а не статистическим объек- том, и в этом смысле можно сказать, что его энтропия равна нулю. Отсюда и вытекает сделанное выше утверждение. Предположим, что тело теплоизолировано и что внешние ус- ловия, в которых находится тело, меняются достаточно медлен- но. Такой процесс носит название адиабатического. Покажем, что при адиабатическом процессе энтропия тела остается неиз- менной, т. е. процесс обратим. Будем характеризовать внешние условия некоторыми пара- метрами, являющимися заданными функциями времени. Пусть, например, имеется всего один такой параметр, который обо- значим буквой А. Производная энтропии по времени dS/dt бу- дет как-то зависеть от скорости dX/dt изменения параметра А. Поскольку dX/dt мало, можно разложить dS/dt в ряд по сте- пеням dX/dt. Нулевой член этого разложения, не содержащий dX/dt, исчезает, так как при dX/dt = 0 должно быть и dS/dt = О, поскольку энтропия замкнутой системы, находящейся в термо- динамическом равновесии, при постоянных внешних условиях должна оставаться неизменной. Но и член первого порядка, § 11 АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС 59 пропорциональный dX/dt, должен обращаться в нуль. В самом деле, этот член меняет свой знак при изменении знака dX/dt, между тем как, согласно закону возрастания энтропии, dS/dt всегда положительно. Отсюда следует, что разложение dS/dt на- чинается с члена второго порядка, т. е. при малых dX/dt имеем dt \dt откуда dS _ A dX d\~ dt' Следовательно, когда dX/dt стремится к нулю, обращается в нуль и dS/dX, что доказывает обратимость адиабатического процесса. Подчеркнем, что хотя адиабатический процесс обратим, от- нюдь не всякий обратимый процесс адиабатичен. Условие обра- тимости процесса требует лишь постоянства полной энтропии всей замкнутой системы, а энтропии ее отдельных частей могут как возрастать, так и убывать. При адиабатическом же процессе выполняется более сильное условие — остается постоянной также и энтропия данного тела, которое само по себе составляет лишь часть замкнутой системы. Выше мы определили адиабатический процесс как достаточ- но медленный. Точнее, внешние условия должны меняться на- столько медленно, чтобы в каждый момент времени можно бы- ло считать тело находящимся в состоянии равновесия, соответ- ствующего имеющимся в этот момент внешним условиям. Дру- гими словами, процесс должен быть медленным по сравнению с процессами установления равновесия в данном теле1) . Выведем формулу, которая позволяет вычислять чисто тер- модинамическим путем различные средние значения. Для этого предположим, что тело совершает адиабатический процесс, и ) Фактически это условие может оказаться очень слабым, так что «мед- ленный» адиабатический процесс может практически быть довольно «бы- стрым». Так, например, при расширении газа (скажем, в цилиндре с выдви- гающимся поршнем) скорость поршня должна быть малой лишь по сравне- нию со скоростью звука в газе, т. е. практически может быть очень большой. В общих курсах физики адиабитическое расширение (или сжатие) часто определяется как «достаточно быстрое». При этом имеется в виду другая сторона вопроса—процесс должен произойти настолько быстро, чтобы за это время тело не успело вступить в теплообмен с окружающей средой. Та- ким образом, имеется в виду условие, которое должно практически обес- печить теплоизолированность тела, а условие медленности по сравнению с процессами установления равновесия молчаливо подразумевается выполнен- ным. 60 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ГЛ. II определим производную dE/dt от его энергии по времени. По определению термодинамическая энергия Е = E(p^q;XI где Е(р, q; A) — функция Гамильтона тела, зависящая от А как от параметра. Как известно из механики (см. I, §40), полная про- изводная по времени от функции Гамильтона равна ее частной производной по времени: ;\) = дЕ(р,д;\) = dt dt В данном случае Е(р, q; А) зависит явно от времени посредством А(?), поэтому можно написать: -\) _ dE(p,q-\)d\ dt ~ d\ dt' Поскольку операция усреднения по статистическому распреде- лению и операция дифференцирования по времени могут, оче- видно, производиться в произвольном порядке, имеем dE ^ ^ dt dt d\ dt У • ) (производная dX/dt — есть заданная функция времени и может быть вынесена из-под знака среднего). Очень существенно, что благодаря адиабатичности процесса /11 i\ ~ dE(p,q;\) стоящее в A1.1) среднее значение производной — может пониматься как среднее по статистическому распределению, со- ответствующему равновесию при данном значении параметра А, т. е. при имеющихся в данный момент времени внешних услови- ях. Производную dE/dt можно написать и в другом виде, рас- сматривая термодинамическую величину Е как функцию от эн- тропии тела S и внешних параметров А. Поскольку при адиа- батическом процессе энтропия S остается постоянной, то имеем <ш_(дЕ\ d\ где буква под скобками показывает, что производная берется при постоянном S. Сравнивая A1.1) с A1.2), находим dE\ ( , ) [ } Это и есть искомая формула. Она позволяет вычислять термо- динамическим путем средние (по равновесному статистическо- ч dE(p,q\\) „ му распределению) значения величин вида — -. С такими ил § 12 ДАВЛЕНИЕ 61 величинами сплошь и рядом приходится иметь дело при изуче- нии свойств макроскопических тел, в связи с чем формула A1.3) играет в статистике весьма важную роль. Сюда относится вы- числение различных сил, действующих на тело (причем пара- метрами А являются координаты той или иной части тела; см. в следующем параграфе о давлении), вычисление магнитного или электрического момента тел (причем параметрами А являются напряженности магнитного или электрического поля) и т. п. Все рассуждения, которые мы провели здесь для классиче- ской механики, полностью переносятся и в квантовую теорию, только вместо энергии Е(р, q; А) надо везде говорить о гамильто- ниане Н. Формула(П.З) примет при этом вид дЯ _ (дЕ\ д\ ~ \д\) s1 где черта означает полное статистическое усреднение, автомати- чески включающее в себя квантовомеханическое усреднение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Адиабатический процесс» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
