Переходя к вопросу об особенностях квантовой статисти- ки, отметим, прежде всего, что чисто механический подход к задаче об определении поведения макроскопического тела в СТАТИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА 29 квантовой механике, разумеется, столь же безнадежен, как и в классической механике. При таком подходе требовалось бы решать уравнение Шредингера для системы, состоящей из всех частиц тела, — задача, если можно так выразиться, еще более безнадежная, чем интегрирование классических уравнений дви- жения. Но даже если бы оказалось возможным в том или ином случае найти общее решение уравнения Шредингера, было бы абсолютно невозможным выбрать и записать удовлетворяющее данным конкретным условиям задачи частное решение, харак- теризующееся определенными значениями грандиозного числа различных квантовых чисел. Больше того, мы увидим ниже, что для макроскопического тела понятие о станционарных со- стояниях вообще становится в известном смысле условным, — об- стоятельство, имеющее существенное, принципиальное значение. Выясним предварительно некоторые особенности, которые характеризуют с чисто квантовомеханической точки зрения ма- кроскопические тела по сравнению с системами, состоящими из сравнительно малого числа частиц. Эти особенности сводятся к необычайной густоте распре- деления уровней в спектре собственных значений энергии ма- кроскопического тела. Причину такой густоты легко понять, если заметить, что благодаря колоссальному числу частиц в те- ле всякая энергия может быть, грубо говоря, «распределена» по различным частицам бесчисленным числом способов. Связь этого обстоятельства с густотой уровней становится в особен- ности ясной, если рассмотреть для примера макроскопическое тело, представляющее собой «газ» из N совершенно невзаимо- действующих частиц, заключенных в некотором объеме. Уровни энергии такой системы представляют собой просто суммы энер- гий отдельных частиц, причем энергия каждой частицы пробе- гает бесконечный ряд дискретных значений1). Ясно, что, вы- бирая всеми различными способами значения N членов этой суммы, мы получим во всяком сколько-нибудь заметном конеч- ном участке спектра огромное число возможных значений энер- гии системы, которые, следовательно, будут расположены очень близко друг к другу. Можно показать (см. G.18)), вообще, что число уровней в за- данном конечном интервале энергетического спектра макроско- пического тела возрастает с увеличением числа содержащихся в нем частиц по экспоненциальному закону, а расстояния между ) Интервалы между соседними уровнями энергии отдельной частицы обратно пропорциональны квадрату линейных размеров L объема, в ко- тором она заключена (~ h2 /mL2, где т— масса частицы, h— квантовая постоянная). 30 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I уровнями выражаются числами вида 10~^, где N—число по- рядка величины числа частиц в теле, безразлично, в каких еди- ницах, так как разница между различными единицами энергии совершенно не существенна для такого чудовищно малого чис- ла1). Вследствие чрезвычайной густоты уровней макроскопиче- ское тело никогда не может фактически находиться в строго стационарном состоянии. Прежде всего ясно, что значение энер- гии системы во всяком случае будет «размытым» на величину порядка энергии взаимодействия системы с окружающими те- лами. Но последняя неизмеримо велика по сравнению с рассто- яниями между уровнями, причем не только для «квазизамкну- тых» подсистем, но и для таких систем, которые мы со всякой иной точки зрения могли бы считать строго замкнутыми. В природе, разумеется, нет полностью замкнутых систем, взаи- модействие которых с любым другим телом равно в точности нулю; всякое же фактически остающееся взаимодействие, кото- рое может быть даже настолько малым, что не отражается ни на каких других свойствах системы, будет все еще чрезвычай- но велико по сравнению с исчезающе малыми интервалами ее энергетического спектра. Но и помимо этого существует другая глубокая причина, в силу которой макроскопическое тело не может фактически на- ходиться в стационарном состоянии. Как известно из квантовой механики, состояние системы, описывающееся некоторой вол- новой функцией, возникает в результате некоторого процесса взаимодействия этой системы с другой системой, которая с до- статочной точностью подчиняется классической механике. Осо- быми свойствами обладает при этом возникновение стационар- ного состояния. Здесь необходимо различать значение энергии системы до взаимодействия Е и энергию Е' состояния, возни- кающего в результате взаимодействия. Как известно (см. III, §44), неточности АЕ и АЕ' величин Е и Е' связаны с продол- жительностью At процесса взаимодействия соотношением \АЕ' -АЕ\ ~ —. At ) Следует оговорить, что изложенные рассуждения неприменимы к са- мому начальному участку энергетического спектра; расстояния между пер- выми уровнями энергии макроскопического тела могут даже оказаться не зависящими от размеров тела. (Например, в электронном спектре диэлек- трика— см. IX.) Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно для дальнейших выводов: будучи отнесены к одной частице, расстояния между первыми уровнями для макроскопического тела ничтожно малы, и указан- ная в тексте густота уровней досгигается уже при совершенно незначитель- ных, отнесенных к одной частице, энергиях. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА 31 Обе погрешности, АЕ и АЕ', вообще говоря, одинакового порядка величины, и анализ показывает, что нельзя добиться, чтобы было АЕ' <С АЕ. Поэтому можно утверждать, что и АЕ1 ~ Н/At. Но для того чтобы состояние можно было рассма- тривать как стационарное, неточность АЕ' должна во всяком случае быть малой по сравнению с расстояниями до соседних уровней. В силу чрезвычайной малости последних мы видим, что для приведения макроскопического тела в какое-либо опре- деленное стационарное состояние потребовалось бы неизмеримо большое время At ~ H/AE'. Другими словами, мы снова прихо- дим к выводу о невозможности осуществления строго стацио- нарных состояний макроскопического тела. Вообще описание состояния макроскопического тела с по- мощью волновой функции неосуществимо, ибо фактически воз- можный запас данных о состоянии такого тела далеко не соот- ветствует полному набору данных, необходимому для построе- ния его волновой функции. Положение здесь в известном смыс- ле аналогично тому, которое имеет место в классической ста- тистике, где невозможность учета начальных условий для всех частиц тела приводит к невозможности точного механическо- го описания его поведения; аналогия, впрочем, неполная, так как невозможность полного квантовомеханического описания и отсутствие волновой функции, описывающей макроскопическое тело, могут, как мы видели, иметь гораздо более глубокие осно- вания. Квантовомеханическое описание, основанное на неполном наборе данных о системе, осуществляется, как известно, по- средством так называемой матрицы плотности (см. III, §14). Знание матрицы плотности позволяет вычислять среднее зна- чение любой величины, характеризующей систему, а также ве- роятности различных значений этих величин. Неполнота опи- сания заключается при этом в том, что результаты различ- ного рода измерений, которые можно предсказать на основа- нии знания матрицы плотности с некоторой долей вероятности, могли бы, возможно, быть предсказаны с большей или даже полной достоверностью на основании полного набора сведе- ний о системе, достаточного для построения ее волновой функ- ции. Мы не станем выписывать здесь известных из квантовой ме- ханики формул, относящихся к матрице плотности в коорди- натном представлении, так как это представление фактически не применяется в статистике. Покажем, однако, каким обра- зом можно непосредственно ввести матрицу плотности в энерге- тическом представлении, необходимом для статистических при- менений. 32 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I Рассмотрим некоторую подсистему и введем понятие о ее «стационарных состояниях» как о состояниях, получающихся при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы. Пусть фп(я) будут нормированные волновые функции этих со- стояний (без временного множителя), где q условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс п— сово- купность всех квантовых чисел, отличающих различные стацио- нарные состояния; энергии этих состояний будем обозначать че- рез Еп. Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некотором полно описанном состоянии с волно- вой функцией ф. Последнюю можно разложить по образующим полную систему функциям фп{я)- Напишем это разложение в виде пфп. E.1) Среднее значение любой величины / в данном состоянии может быть, как известно, вычислено по коэффициентам сп с помощью формулы _ „ E-2) пт где ф*п$фтAц E.3) — матричные элементы величины / (/ — соответствующий ей оператор). Переход от полного к неполному квантовомеханическому описанию подсистемы можно рассматривать в некотором смы- сле как усреднение по ее различным ^-состояниям. В резуль- тате такого усреднения произведения с*пст дадут двойной (по двум индексам) набор некоторых величин, которые мы обозна- чим через wmn и которые не могут уже быть выражены в виде произведений каких-либо величин, образующих ординарный на- бор. Среднее значение величины / выразится теперь формулой вида /=X>mn/«m. E-4) тп Совокупность величин wmn (вообще говоря, функций време- ни) и представляет собой матрицу плотности в энергетическом СТАТИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА 33 представлении; в статистике ее называют статистической матрицей1) . Если рассматривать wmn как матричные элемен- ты некоторого статистического оператора w, то сумма fnm будет диагональным матричным элементом произ- Е п ведения операторов wf, а среднее значение / напишется в виде следа (суммы диагональных элементов) этого оператора f = J2(wf)nn = Sp(wf). E.5) П Такая форма записи обладает тем преимуществом, что дает воз- можность производить вычисления с помощью произвольного полного набора взаимно ортогональных и нормированных вол- новых функций: след оператора не зависит от выбора системы функций, по отношению к которым определяются матричные элементы (см. III, §12). Аналогичным образом видоизменяются и другие квантово- механические выражения, в которые входят величины сп, — вся- кий раз произведения с^ст должны заменяться на «усредненные значения» wmn: Так, вероятность подсистеме находиться в п-м состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу wnn матри- цы плотности (вместо квадрата модуля с^сп). Очевидно, что эти элементы, которые мы будем обозначать ниже через wn, всегда положительны ™п = Wnn > 0 E.6) и удовлетворяют условию нормировки Spw = ^2wn = l E.7) п (соответствующему условию ^ \сп\2 = 1]. ) Мы говорим об энергетическом представлении, так как именно оно обычно применяется в статистике. Однако до сих пор мы еще нигде не воспользовались непосредственно тем, что фп — волновые функции стацио- нарных состояний. Ясно поэтому, что тем же самым способом можно опре- делить матрицу плотности по отношению к любой полной системе волновых функций. Укажем также, что обычная координатная матрица плотности p(g, q') (см. III, § 14) выражается через матрицу wmn формулой 2 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 34 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I Необходимо подчеркнуть, что усреднение по различным ^-состояниям, которые мы ввели с целью сделать наглядным переход от полного квантовомеханического описания к непол- ному, имеет лишь весьма условный смысл. В частности, было бы совершенно неправильным считать, что описание с помо- щью матрицы плотности соответствует тому, что подсистема может с различными вероятностями находиться в различных ^-состояниях, а производимое усреднение есть усреднение по этим вероятностям; такое утверждение вообще противоречило бы основным принципам квантовой механики. Состояния квантовой системы, описывающиеся волновыми функциями, иногда называют чистыми состояниями в отличие от смешанных состояний, описывающихся матрицей плотности. Следует, однако, предостеречь от неправильного понимания по- следних в указанном выше смысле. Усреднение с помощью статистической матрицы, определя- емое формулой E.4), имеет двоякую природу. Оно включает в себя как усреднение, связанное с вероятностным характером квантового описания — даже наиболее полного — самого по се- бе, так и статистическое усреднение, необходимость в котором возникает в результате неполноты наших сведений о рассма- триваемом объекте. В случае чистого состояния остается лишь первое усреднение, в статистических же случаях всегда присут- ствуют оба элемента усреднения. Необходимо, однако, иметь в виду, что эти элементы отнюдь не могут быть отделены друг от друга; все усреднение производится единым образом, и его невозможно представить как результат последовательно произ- водимых чисто квантовомеханического и чисто статистического усреднений. Статистическая матрица заменяет в квантовой статистике функцию распределения классической статистики. Все сказан- ное в предыдущих параграфах применительно к классической статистике по поводу практически определенного характера де- лаемых ею предсказаний полностью относится и к квантовой статистике. Изложенное в § 2 доказательство стремления к ну- лю (при увеличении числа частиц) относительных флуктуации аддитивных физических величин вообще не использовало каких- либо особенностей, специфических для классической механики, и потому полностью относится и к квантовому случаю. Мы мо- жем, следовательно, по-прежнему утверждать, что макроскопи- ческие величины остаются практически равными своим сред- ним значениям. В классической статистике функция распределения р(р, q) непосредственно дает распределение вероятностей различных значений координат и импульсов частиц тела. В квантовой же СТАТИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА 35 статистике это не так: величины wn дают лишь вероятности найти тело в том или ином квантовом состоянии, без всякого непосредственного указания на значения координат или импуль- сов частиц. В силу самой природы квантовой механики, в основанной на ней статистике речь может идти лишь о нахождении распреде- ления вероятностей для координат или импульсов в отдельно- сти, а не тех и других вместе, поскольку координаты и импуль- сы частицы вообще не могут одновременно иметь определенных значений. Искомые распределения вероятностей должны учиты- вать как статистическую неопределенность, так и неопределен- ность, присущую квантовомеханическому описанию самому по себе. Для нахождения этих распределений снова воспользуемся примененным выше способом рассуждений. Предположим сна- чала, что тело находится в чистом квантовом состоянии с волно- вой функцией E.1). Распределение вероятностей для координат определяется при этом квадратом модуля: |7| \\ГГ 7/;7Л п т так что вероятность координатам иметь значения в данном ин- тервале dq = dq\dq2 ... dqs равна dwq = \i/j\2dq. Переход к сме- шанному состоянию производится путем замены произведений с*пст элементами wmn статистической матрицы, в результате чего \ф\2 переходит в сумму п т Но по определению матричных элементов можно написать: Поэтому п т п Таким образом, находим следующую формулу для распреде- ления вероятностей по координатам: dwq = ^2 Ф1™Фп ' dq. E.8) п В написанном в такой форме выражении можно пользоваться в качестве функций фп любой полной системой нормированных волновых функций. 36 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I Далее, определим распределение вероятностей для импуль- сов. Квантовые состояния, в которых все импульсы имеют опре- деленные значения, соответствуют свободному движению всех частиц. Обозначим волновые функции этих состояний через ipp(q), где индекс р условно обозначает совокупность значений всех им- пульсов. Как мы знаем, диагональные элементы матрицы плот- ности представляют собой вероятности нахождения системы в соответствующих квантовых состояниях. Поэтому, определив матрицу плотности по отношению к системе функций фр, мы получим искомое распределение вероятностей для импульсов по формулег) dwp = wpp dp = dp- фръофр dq, E.9) где dp = Ф1Ф2 • • • dps. Любопытно, что оба распределения—по координатам и по импульсам — могут быть получены интегрированием одной и той же функции ) = ФрЧя)$Фр(ч)- E-Ю) Проинтегрировав ее по dq, мы получим распределение по им- пульсам E.9). Интегрирование же по dp дает dwq = dq- ipp(q)wipp(q) dp E.11) в согласии с общим определением E.8). Отметим также, что функция E.10) может быть выражена через координатную мат- рицу плотности p(q, q') согласно J ) = Ф*Р{я) J рЫ)Фр{</)<ь/. E.12) Подчеркнем, однако, что сказанное отнюдь не означает, что функцию I{q1p) можно рассматривать как распределение вероят- ностей для координат и импульсов одновременно; не говоря уже о том, что такая точка зрения вообще противоречила бы основным принципам квантовой механики, выражение
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистическая матрица» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
