Вернемся к дальнейшему изучению свойств функции стати- стического распределения. Предположим, что мы наблюдаем в течение весьма длитель- ного промежутка времени некоторую подсистему. Разделим этот промежуток времени на очень большое (в пределе — бес- конечное) количество одинаковых малых интервалов, разделен- ных моментами времени t\, ?2,... В каждый из этих момен- тов рассматриваемая подсистема изобразится в ее фазовом про- странстве точкой (назовем эти точки А\, А2, А%у...). Совокуп- ность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью, в пределе пропорциональной в каждом данном ме- сте значению функции распределения p(p,q), по самому смыслу последней, как определяющей вероятности различных состоя- ний подсистемы. Вместо того чтобы рассматривать точки, изображающие со- стояния одной подсистемы в различные моменты времени ^1,^2,..., можно формальным образом ввести в рассмотрение одновременно очень большое (в пределе — бесконечное) число совершенно одинаковым образом устроенных подсистемг) , на- ходящихся в некоторый момент времени (скажем, t = 0) в со- стояниях, изображающихся точками А\, А^,... Будем теперь следить за дальнейшим передвижением фазо- вых точек, изображающих состояния этих подсистем, в тече- ние не слишком большого промежутка времени —такого, чтобы квазизамкнутую подсистему можно было с достаточной точно- стью рассматривать как замкнутую. Передвижение фазовых то- чек будет происходить тогда согласно уравнениям механики, со- держащим координаты и импульсы только частиц подсистемы. Ясно, что в каждый момент времени t с тем же правом, что и в момент t = 0, все эти точки будут распределены в фазовом пространстве согласно той же функции распределе- ния p(p,q). Другими словами, передвигаясь с течением време- ни, фазовые точки остаются распределенными с неизменной в 1) Такую воображаемую совокупность одинаковых систем обычно называ- ют статистическим ансамблем. 24 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I каждом данном месте плотностью, пропорциональной соответ- ствующему значению р. Чисто формальным образом это передвижение фазовых то- чек можно рассматривать как стационарное течение «газа» в 25-мерном фазовом пространстве и применить к нему извест- ное уравнение непрерывности, выражающее собой неизменность общего числа «частиц» (в данном случае — фазовых точек) газа. Обычное уравнение непрерывности имеет вид | + div(pv)=0 (р — плотность, V —скорость газа), а для стационарного течения div(pv) = 0. Обобщение последнего соотношения на случай 25-мерного про- странства г=1 В данном случае «координатами» Х{ являются координаты q и импульсы р, а «скоростями» Vi = ii — производные по времени q и^, определяемые уравнениями механики. Таким образом, имеем Раскрывая производные, пишем г=1 г=1 Написав уравнения механики в форме Гамильтона дН . дН Яг = ^—, Рг = -Т-, dpi dqi где Н = H(p,q) — функция Гамильтона рассматриваемой подси- стемы, мы видим, что % _ 02Н _ _др1 dqi dqi dpi dpi Поэтому второй член в C.1) тождественно обращается в нуль. Первый же член есть не что иное, как полная производная от функции распределения по времени. Таким образом, имеем г=1 РОЛЬ ЭНЕРГИИ 25 Мы приходим, следовательно, к существенному выводу, что функция распределения постоянна вдоль фазовых траекторий подсистемы (так называемая теорема Лиувилля); напомним, что поскольку мы говорим о квазизамкнутых подсистемах, то полученный результат справедлив лишь для не слишком боль- ших промежутков времени, в течение которых подсистема с достаточной точностью ведет себя как замкнутая.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теорема Лиувилля» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
