Подсистемы, о которых шла речь в § 1, не являются сами по себе замкнутыми. Напротив, они подвергаются непрерывно- му воздействию со стороны прочих частей системы. Но благо- даря тому, что эти части, малые по сравнению со всей боль- шой системой, являются сами по себе тоже макроскопическими телами, мы можем все же считать, что в течение не слишком больших промежутков времени они ведут себя приблизительно как замкнутые системы. В самом деле, во взаимодействии под- системы с окружающими частями участвуют преимущественно те частицы, которые находятся вблизи ее поверхности. Но от- носительное число этих частиц по сравнению с полным числом частиц в подсистеме быстро падает при увеличении размеров последней, и при достаточной величине подсистемы энергия ее 20 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I взаимодействия с окружающими частями будет мала по сравне- нию с ее внутренней энергией. Таким образом, можно сказать, что подсистемы являются квазизамкнутыми. Подчеркнем лиш- ний раз, что квазизамкнутость подсистем имеет место лишь на протяжении не слишком длительных промежутков времени. В течение же достаточно большого промежутка времени влияние взаимодействия подсистем — сколь бы оно ни было слабым — все равно проявится. Больше того, именно это сравнительно слабое взаимодействие и приводит в конце концов к установлению ста- тистического равновесия. Тот факт, что различные подсистемы можно считать слабо взаимодействующими друг с другом, приводит к тому, что их можно считать независимыми также и в статистическом смы- сле. Статистическая независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем. Рассмотрим какие-либо две подсистемы, и пусть dp^dq^ и dp^'dqW — элементы объема их фазовых пространств. Если рассматривать совокупность обеих подсистем как одну состав- ную подсистему, то с математической точки зрения статисти- ческая независимость подсистем означает, что вероятность со- ставной подсистеме находиться в элементе ее фазового объема dpA2^dqA2^ = dp^dq^ • dp^dq^ разбивается на произведение вероятностей нахождения каждой из подсистем соответственно в dp^dq^ и dpB^dqB\ причем каждая из этих вероятностей зависит только от координат и импульсов данной подсистемы. Таким образом, можно написать: ИЛИ Pl2 = Plp2, B.1) гДе Pi2 — статистическое распределение составной подсистемы, а Ръ р2~ функции распределения отдельных подсистем; ана- логичное соотношение можно написать и для совокупности не- скольких подсистемг) . Можно, очевидно, утверждать и обратное: если распределе- ние вероятностей для некоторой сложной системы распадает- ся на произведение множителей, каждый из которых зависит только от величин, описывающих одну из частей системы, то это значит, что эти части статистически независимы, причем 1)При условии, конечно, чтобы совокупность этих подсистем все еще со- ставляла малую часть всей замкнутой системы. СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ 21 каждый из множителей пропорционален вероятности состояний соответствующей части. Если /i и /2 —две физические величины, относящиеся к двум различным подсистемам, то из B.1) и определения средних зна- чений согласно A.5) непосредственно следует, что среднее зна- чение произведения /1/2 равно произведению средних значений каждой из величин /i и /2 в отдельности: Л/2 = /1/2. B.2) Рассмотрим какую-либо величину /, относящуюся к некото- рому макроскопическому телу или его отдельной части. С тече- нием времени эта величина меняется, колеблясь вокруг своего среднего значения. Введем величину, характеризующую в сред- нем ширину интервала этого изменения. В качестве такой харак- теристики нельзя взять среднее значение разности А/ = / — /, так как величина / отклоняется от своего среднего значения как в ту, так и в другую сторону, и среднее значение разно- сти / — /, попеременно то положительной, то отрицательной, окажется равным нулю независимо от того, насколько часто / испытывала значительные отклонения от среднего значения. В качестве искомой характеристики удобно взять среднее значе- ние квадрата этой разности. Так как величина (А/J всегда положительна, то ее среднее значение стремится к нулю лишь если она сама стремится к нулю; другими словами, оно окажет- ся малым только тогда, когда значительные отклонения / от / обладают малой вероятностью. Величину ((А/JI/2 называют средней квадратичной флуктуацией величины /. Раскрыв квад- рат (/ — /J, найдем, что ((А/J) = Я-/2, B.3) т. е. средняя квадратичная флуктуация определяется разностью между средним квадратом величины и квадратом ее среднего значения. Отношение ((А/JI/2// называют относительной флукту- ацией величины /. Чем это отношение меньше, тем более ни- чтожную часть времени тело проводит в таких состояниях, в которых отклонение величины / от ее среднего значения соста- вляет заметную часть этого последнего. Покажем, что относительная флуктуация физических вели- чин быстро уменьшается при увеличении размеров (числа ча- стиц) тел, к которым они относятся. Для этого заметим пред- варительно, что большинство величин, представляющих физи- ческий интерес, являются аддитивными; это обстоятельство — следствие квазизамкнутости отдельных частей тела и состоит в 22 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I том, что значение такой величины для всего тела равно сум- ме значений этой величины для отдельных его (макроскопиче- ских) частей. Действительно, поскольку, например, внутренние энергии этих частей, согласно сказанному выше, велики по срав- нению с энергиями их взаимодействия, то энергию всего тела можно с достаточной точностью считать равной сумме энергий его частей. Пусть / — такая аддитивная величина. Разобьем мысленно рассматриваемое тело на большое число N примерно одинаковых малых частей. Тогда N = ?/*, г=1 где величины fi относятся к отдельным частям тела. Ясно, что с увеличением размеров тела / растет примерно пропорционально N. Далее, определим среднюю квадратичную флуктуацию величины /. Имеем N Но в силу статистической независимости различных частей тела средние значения произведений (поскольку каждое Afi = 0). Следовательно, N ((А/J) = ?<(Д/гJ>. B.4) г=1 Отсюда следует, что при увеличении N средний квадрат ((А/J) тоже будет расти пропорционально N. Относительная же флук- туация будет, таким образом, обратно пропорциональна л/TV: -1/а со 1 B.5) f Vn v j С другой стороны, если условиться разделять однородное те- ло на участки определенной малой величины, то ясно, что чис- ло таких частей будет пропорционально полному числу частиц (молекул) в теле. Поэтому полученный результат можно сфор- мулировать также, сказав, что относительная флуктуация вся- кой аддитивной величины / убывает обратно пропорционально ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 23 квадратному корню из числа частиц макроскопического тела, а потому при достаточно большом их числе самая величина / может считаться практически постоянной во времени и равной своему среднему значению. Этот вывод был уже использован в предыдущем параграфе.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Статистическая независимость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
