Как и всякая «разумная» диаграммная техника, техника Келдыша позволяет проводить суммирования диаграмм «блока- ми». Важнейшими такими блоками являются так называемые собственно-энергетические функции. Напомним (см. IX, § 14), что это понятие возникает при рас- смотрении диаграмм для гриновской функции, которые нельзя разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной ли- нией. Выделив множители iG^\ отвечающие двум концевым ли- ниям такой диаграммы, представим ее (в координатном пред- ставлении, как функцию двух аргументов Х\, Х2) в виде Функцию —гЕз4, представляющую всю внутреннюю часть диаграммы, называют собственно-энергетической. Точная же собственно-энергетическая функция (которую и обозначают сим- волом —iS) определяется суммой всех возможных диаграмм ука- занного типа. В соответствии с тем, что в излагаемой технике каждой вершине диаграммы должен еще быть приписан знак + 486 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X или — , существуют четыре точные собственно-энергетические функции, в соответствии со знаками их «выходной» и «входной» вершин; обозначим их как S , S++, S h, SH . Точные Gr-функции выражаются через точные S-функции то- ждествами, которые можно записать в графическом виде: для функции G (94.1) и аналогично для остальных функций (жирные линии — точные G-функции, кружки — S-функции; ср. IX, A4.4)). В аналитиче- ском виде: I /Vr)—v—г— -l r^(°)-v 12 + / 1^14 ^43 ^32 + ^14 ^43 / ^ ^ A (94.2) и еще три уравнения для остальных G-функций. Для компактной записи таких уравнений целесообразно вве- сти матрицы _ (G— G~+\ G ~ [g+- G++) Тогда четыре уравнения вида (94.2) запишутся совместно как одно матричное уравнение G12 = G{ J GSJS43G32 d4X3 d4X4; (94.4) множители под знаком интеграла перемножаются по правилу матричного умножения. Аналогичным образом записываются совместно уравнения (92.14)—(92.18), которым удовлетворяют G-функции идеального газа: GoM? =az5(X1-X2), (94.5) где1) 1 О Вернемся к уравнению (94.4) и подействуем на обе его части оператором G^ . Учитывая (94.5), получим в результате систе- му четырех интегродифференциальных уравнений, записанных Обозначение az, заимствованное из стандартных обозначений матриц Паули, не имеет здесь, конечно, никакого отношения к спину. § 94 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 487 в виде одного матричного уравнения: у — 1 /^i X ( V V \ I тт Ь-19 — СГгО[Л1 — Ло -\- f ^S13G32 ^4X3. (94.6) Отметим, что это уравнение можно представить и в другом, эквивалентном виде, если заметить, что в диаграммной записи (94.1) можно с тем же успехом изображать жирные линии слева (а не справа, как в (94.1)). Другими словами, в (94.2) можно пи- сать множители в каждом члене подынтегрального выражения в порядке G14S43G32 . Подействовав на представленные в таком виде равенства оператором G^ * (см- примеч. на с. 477), получим GofGu = aJiXi - Х2) + Г G13Z32az d4X3. (94.7) Собственно-энергетические функции сами могут быть пред- ставлены в виде ряда скелетных диаграмм, графическим элемен- там которых — жирным сплошным линиям — отвечают точные Gr-функции. Так, для системы частиц с парным взаимодействи- ем: и аналогично для S++ и S^ ; дальнейшие члены ряда со- -9 (94.8) -г2"+= ! ! + _^ ^ * у +¦" (94.9) держат диаграммы с большим числом штриховых линий1). Та- ким образом, уравнения (94.4) или (94.7) представляют собой полную, хотя и очень сложную систему уравнений для точных G-функций. Уравнения (94.6) не содержат вовсе функций G^\ зависящих от выбора «нулевого» состояния системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, всякая зависимость от этого выбора ис- чезает. Но наличие в уравнениях дифференциальных операций Ср. IX, A4.9), A4.10); все перечисленные там диаграммы первого и второго порядков входят в скелетные диаграммы (94.8). 488 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X приводит к неоднозначности их решений. Эта неоднозначность проявляется присутствием функций G^ в интегральных урав- нениях (94.4). Система уравнений (94.6) имеет, однако, тот недостаток, что в ней не учтена еще в явном виде линейная зависимость G- функций, выражаемая равенством (92.7). Для устранения этого недостатка надо произвести линейное преобразование матрицы G таким образом, чтобы, используя (92.7), обратить один из ее элементов в нуль. Такое преобразование осуществляется форму- лой G' = R~lGR, (94.10) где J R - 71 v i i )• R-^\ -1 1 J' R - 71 Легко убедиться, что преобразованная матрица где F = G++ + G— = G+- + G"+. (94.12) Преобразовав таким же образом матрицы G^ и S, мы оставим уравнение (94.4) инвариантным. Преобразованная матрица S: ^ Q) (94.13) где обозначено О = S~ + S++, Ея = S~ + S"+, SA = S~ + S+-. (94.14) В этом можно убедиться прямым вычислением с учетом ра- венства S++ + S~ = -(S+- + S"+), (94.15) являющегося следствием равенства (92.7) (его легко получить, приравняв нулю выражение составленное с помощью уравнений (94.6)). Раскрыв теперь преобразованное матричное уравнение (94.4), получим три уравнения. Одно из них: &Gf2 d4X3 d4X4. (94.16) § 95 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 489 Такое же уравнение для GR не дает ничего нового, так как оно является просто «эрмитово-сопряженным» по отношению к уравнению (94.16). Подчеркнем, что это уравнение, хотя в нем и фигурирует относящаяся к идеальному газу функция G^ , не зависит от «нулевого» состояния, поскольку функция G^ от этого состояния не зависит (как это было отмечено в § 92). Наконец, получающееся из (94.4) третье уравнение для функ- ции F содержит члены с функцией F^°\ зависящей от «нулево- го» состояния. Эти члены, однако, исчезают при воздействии на них дифференциального оператора G^1, поскольку G^F^ = 0. В результате получим уравнение G^F12 = f{U13G& + Sf3F32} d4X3. (94.17) Уравнения (94.16), (94.17) составляют полную систему, опи- сывающую в принципе поведение неравновесной системы. Вто- рое из них — интегро-дифференциальное и представляет со- бой обобщение кинетического уравнения Больцмана; напомним в этой связи, что согласно (92.5), (92.6) функции G h и GH , а с ними и F, непосредственно связаны с функцией распреде- ления частиц в системе. Решение уравнения (94.17) содержит произвол, соответствующий произволу в решении кинетическо- го уравнения. Уравнение же (94.16) — чисто интегральное и не вносит поэтому никакого дополнительного произвола в решение системы. Отметим, однако, принципиальную особенность уравнений (94.16), (94.17), отличающую их в общем случае от обычного ки- нетического уравнения: они содержат две, вместо одной, времен- ных переменных t\ и ?2. В следующем параграфе будет показано, каким образом это различие устраняется в квазиклассическом случае.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственно-энергетические функции» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Обозначение az, заимствованное из стандартных обозначений матриц 