Гальваномагнитные явления в сильных полях. Общая теория
Характерным безразмерным параметром, определяющим влияние магнитного поля на электропроводность металла, яв- ляется отношение гв/h где г в — ларморовский радиус орбиты электрона, а / — длина свободного пробега. Напомним (см. IX, § 57), что движение электронов проводи- мости в магнитном поле практически всегда квазиклассично в 430 МЕТАЛЛЫ связи с очень малой величиной отношения Huob/^f (гДе ^в — ларморовская частота). Траекторией в импульсном простран- стве является при этом контур сечения изоэнергетической по- верхности е(р) = const плоскостью pz = const, причем ось z направлена вдоль поля. Поскольку энергии электронов близки к граничной энергии ер, то и изоэнергетические поверхности, о которых может здесь идти речь, близки к ферми-поверхности. Поэтому размеры траектории в импульсном пространстве сов- падают с линейными размерами рр соответствующего сечения ферми-поверхности. Размеры же траектории в обычном про- странстве Эта величина обратно пропорциональна магнитному полю. По- этому в гальваномагнитных явлениях надо считать слабыми по- ля, для которых г в 3> /, а сильными — для которых тв < L (84.1) В случае слабых магнитных полей кинетическое рассмотре- ние не приводит (при произвольном законе дисперсии электро- нов) к чему-либо новому по сравнению с результатами чисто феноменологической теории. Характер зависимости компонент тензора проводимости аар от магнитного поля в этом случае со- ответствует просто разложению по степеням В с учетом требова- ний, налагаемых принципом симметрии кинетических коэффи- циентов (см. VIII, § 21). В сильных же магнитных полях выяснение этой зависимо- сти требует кинетического рассмотрения. Условие сильного поля (84.1) фактически выполняется лишь при низких температурах, когда пробег I достаточно велик. При этом металл обычно нахо- дится в области своего остаточного сопротивления, связанного с рассеянием электронов на примесных атомах; этот случай мы и будем иметь в виду. Взаимодействие электронов проводимости с атомом примеси происходит на расстояниях порядка величины постоянной решетки d. Если г в <С /, но в то же время г в ^> d, то наличие магнитного поля не сказывается на этом взаимодей- ствии и тем самым — на интеграле столкновений. В этих усло- виях характер зависимости тензора проводимости от магнитного поля оказывается не зависящим от конкретного вида интеграла столкновений. В то же время он существенно зависит от структу- ры энергетического спектра электронов проводимости — от фор- мы ферми-поверхности1). Приступим к составлению кинетического уравнения, описы- вающего гальваномагнитные явления. г) Излагаемая ниже теория принадлежит И.М. Лифшицу, М.Я. Аз белю и М.И. Каганову A956). § 84 ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 431 Функцию распределения будет целесообразным выражать те- перь не через декартовы составляющие квазиимпульса р, а через другие переменные, связанные с траекторией электрона: энер- гию ?, компоненту квазиимпульса pz вдоль направления магнит- ного поля (ось z) и «время движения электрона по импульсной траектории» от некоторой фиксированной точки в данную. По- следняя переменная (которую мы обозначим буквой т) вводится с помощью квазиклассического уравнения движения электрона проводимости в магнитном поле — = —- vB L v = —; dr cl J' dp' х- и у-компоненты этого уравнения: dJtL = -% в, ***- = %ХВ. (84.2) dr с dr с Взяв сумму квадратов этих уравнений и введя элемент ds дли- ны импульсной траектории в плоскости ху (ds2 = dp2x + dp2), получим ^ = ~, vl = vl + vl; (84.3) интегрированием этого равенства и определяется новая перемен- ная т через старые рХ1 pyi pz. Левая часть кинетического уравнения в новых переменных принимает вид1) dn дп . . дп . . дп . (ол л\ — = т-е + ^-Pz + т-т- 84.4 dt де dpz дт Как обычно, функцию распределения будем искать в виде п = щ(е) + 5п(е,рг,т). (84.5) В конце § 74 было показано, что в постоянных электрическом и магнитном полях линеаризованное по 5п кинетическое уравне- ние для квазичастиц ферми-жидкости пишется так же, как оно писалось бы для частиц ферми-газа. При этом производные ?, pz, т надо выразить с помощью уравнения движения отдельного электрона в электромагнитном поле: p = -eE--[vB]. (84.6) с Для производной е имеем отсюда е = -^р = -evE; dp ) Использование квазиклассического кинетического уравнения означает пренебрежение эффектами, связанными с квантованием уровней энергии в магнитном поле. Эти эффекты будут обсуждены ниже, в § 90. 432 МЕТАЛЛЫ магнитное поле выпадает в соответствии с тем, что оно не произ- водит работы над зарядом. Далее, при поле В, направленном по оси z, имеем pz = —eEz. Наконец, из сравнения уравнений (84.2) и (84.6) видно, что производная dr/dt отличается от 1 только за счет поля Е (учет этого отличия не понадобится). Поскольку равновесная функция распределения щ зависит только от ?, а ?, pz, т — независимые переменные, то дщ/dpz = = 0, дщ/дт = 0. Электрическое поле рассматривается как сколь угодно малое; при линеаризации кинетического уравнения чле- ны, содержащие одновременно малые величины йиЕ, следует опустить. Тогда выражение (84.4) сводится к dn дпо -гл , ддп — « - —evE+—. at де от Представим 5п в виде 8п = |^eEg, g = g(e,Pz,T) (84.7) (ср. G8.6)). Тогда окончательно левая часть кинетического урав- нения примет вид ^ = ^eEf-v + ^V (84.8) dt де \ дт) v } Интеграл же столкновений в правой части кинетического уравнения после линеаризации запишем в виде Stn= ^eEJ(g) (84.9) (напомним, что в интеграле столкновений, описывающем упру- гое рассеяние на примесных атомах, любой множитель в 8п, за- висящий только от ?, может быть вынесен из-под знака интегра- ла); конкретный вид линейного интегрального оператора /(g) нам не понадобится. Приравняв друг другу выражения (84.8) и (84.9), полу- чим окончательно кинетическое уравнение, определяющее функ- цию g: g_/(g)=v. (84.10) Тензор проводимости дается интегралом G8.9): 2 f дпо = ~е J —vak § 84 ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 433 Переход в этом интеграле к новым переменным осуществляется заменой d3p —>> \J\ dedpz dr, где — якобиан преобразования. Его легко найти прямо из уравнений (84.2), определяющих переменную т. Записав обе части, скажем, первого из этих уравнений, в виде якобианов, еВ_ с < и умножив обе части равенства на \PyiPx,Pz) ^ надцем \j\ — еВ/с. d(s,px,pz) Пренебрегая температурным размытием распределения по, по- лагаем, как обычно, дщ/де = —8(е — ?f)? после чего получим окончательное выражение о 3 ту Г °аC = /27rfi43 / vagCdTdpz, (84.11) где интегрирование производится по ферми-поверхности. Согласно определению (84.3), переменная т пропорциональ- на 1/В. Поэтому член dg/дт в линейном уравнении (84.10) про- порционален В и тем самым велик по сравнению с остальными членами. Это дает возможность решать уравнение последова- тельными приближениями, в виде ряда по степеням 1/В: g = g@)+gA) + ---, (84.12) где g(n) coB~n г). Для членов этого ряда имеем уравнения ... (84.13) Решение этих уравнений: g(o) = О где С(°), С^1), ... — функции только от е и pz. *) Подобно тому, как это делалось в § 59 при вычислении кинетических коэффициентов плазмы в сильном магнитном поле. 434 МЕТАЛЛЫ Функция g должна удовлетворять определенным условиям. Если импульсные траектории электронов (т. е. контуры сече- ний ферми-поверхности плоскостями pz = const) замкнуты, то движение электронов периодично; соответственно должна быть периодична по переменной т (с периодом Т, зависящим от pz) также и функция s(s,pz,r). Если же траектория открыта, то движение в импульсном пространстве инфинитно и функция g должна удовлетворять лишь условию конечности. Усредним уравнения (84.13) по т. Если функции g периодич- ны, то среднее по периоду значение т Ш = I Г ^dr= g(T) ~ S(O) дт Т J дт Т о равно нулю, так как g(T) = g@). Если функции g не периодич- ны, то усреднение производится по бесконечному интервалу т и среднее значение обращается в нуль ввиду конечности g. Таким образом, во всех случаях усреднение уравнений дает J(g«») = /(СО») = -v, J(g(D) = 0, ... ; (84.15) эти соотношения определяют в принципе функции Сл°), Переходя к вычислению тензора проводимости, напомним предварительно некоторые общие его свойства, известные из фе- номенологической теории (см. VIII, § 21). Согласно принципу симметрии кинетических коэффициен- тов, _ /тэч\ ^- ( тэ\ /о/1 1 а\ <7а{3[1Э) = <7{За[ — 1Э). ^o4.±0j Тензор аар можно разделить на симметричную и антисиммет- ричную части: аа/3 = а^1 + сг^). (84.17) Для них имеем, с учетом (85.16): OLU ^ ' UOL ^ ' OLU ^ ' ' / (-) л -< о\ (п\ (п\ (п\ (84.18) Таким образом, компоненты а^1 являются четными, а а^1 — нечетными функциями В. Вместо антисимметричного тензора аав можно ввести дуальный ему аксиальный вектор а по опре- делению § 85 ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 435 Тогда компоненты вектора плотности тока представятся в виде За = °арЕр = а^рЕр + [Еа]а. (84.19) Диссипация энергии при протекании тока определяется лишь симметричной частью тензора проводимости: jE = а^1ЕаЕр. Та- ким же образом можно разложить и обратный тензор рар = а~1 на симметричную часть и антисимметричную часть, дуальную аксиальному вектору Ь. Тогда Е выразится через j формулой Еа = P%jp + LJb]Q. (84.20) Член [Еа] в токе, или член [jb] в электрическом поле, описывает эффект Холла.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гальваномагнитные явления в сильных полях. Общая теория» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
