В этом параграфе будет показано, каким образом кинетиче- ское уравнение задачи об электрической проводимости при низ- ких температурах (82.17) может быть приведено к диффузион- ному виду1). Интересуясь только этой задачей, мы будем рас- сматривать лишь независящую от т\ = е — \i часть функции ср и обозначать ее как <p(pf) (вместо специального обозначения a(pi?) в предыдущем параграфе). Как и в § 82, будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей. Функция дп дпо ср BтгK ~ ~^ГBтгK есть неравновесная добавка к распределению электронов по им- пульсному пространству. От него можно перейти к распределе- нию по ферми-поверхности, написав элемент объема d?p в виде dedS/v G4.19), проинтегрировав по de = dr\ и приближенно за- менив зависящие от е элемент площади изоэнергетической по- верхности dS и скорость v их значениями dSp и vp на ферми- поверхности. Функция (р, по предположению, от е не зависит, а интегрирование множителя —дщ/де дает 1. Таким образом, плотность распределения на ферми-поверхности дается выраже- нием ^H^L. (83.1) Для большей наглядности вывода напишем сначала кинети- ческое уравнение (82.17) с частной производной по времени в его левой части, как если бы распределение было нестационарным: де dt де х) В излагаемом ниже выводе мы следуем Р.Н. Гурэюи л А.И. Копелиовичу A971). § 83 ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ФЕРМИ-ПОВЕРХНОСТИ 425 Здесь уже опущен член с Lo, выдающий после интегрирования уравнения по d/ 9_^L- f Ll^)^ = -e^^. (83.2) dt vf J vf vf Первый член слева — скорость изменения плотности электронов на ферми-поверхности. Уравнение должно иметь вид уравнения непрерывности, т. е. второй член слева должен представлять собой дивергенцию от плотности потока s электронов на ферми-по- верхности; член же с электрическим полем в правой части урав- нения играет роль плотности источников и стоков. Здесь идет речь о двумерной дивергенции на искривленной поверхности; ее, однако, удобно записать в трехмерных обозначениях: — / L\{ip)—- = {Vp — n/?(ri/?Vp)}s. (83.3) J vf Здесь Vp — обычный оператор дифференцирования по де- картовым координатам в р-пространстве, а оператор в фи- гурных скобках — его проекция на плоскость, касательную к ферми-поверхности в каждой заданной ее точке (п^ — единич- ный вектор нормали к поверхности) 1). Вектор s(pi?) задан на ферми-поверхности, но в (83.3) рассматривается формально как заданный во всем пространстве (но зависящий лишь от направ- ления pf)- Кинетическое уравнение (в котором опускаем теперь производную по времени) принимает вид {Vp - nF(nFVp)}s = -eE^. (83.4) Задача состоит в нахождении потока s — его выражения через функцию (р. Введем декартову систему координат в р-пространстве с осью z по направлению нормали к ферми-поверхности в точ- ке, в которой вычисляется s(pi?), и с началом в этой же точке. По определению, компонента sx потока есть разность между чи- слом электронов, пересекающих (в 1 с) благодаря столкновени- ям полосу единичной ширины на плоскости yz слева направо (в положительном направлении оси ж), и числом электронов, пере- секающих эту полосу справа налево. г) Этот оператор фигурирует в двумерном аналоге теоремы Гаусса § es dl = J {V - n(nV)} s dS. Интеграл слева берется по замкнутому контуру, лежащему на заданной по- верхности (е — единичный вектор нормали, внешней к контуру в плоскости, касательной к поверхности в данной ее точке); интеграл справа берется по участку поверхности, ограниченному контуром. 426 МЕТАЛЛЫ Рассмотрим разность между числом актов испускания фоно- нов с квазиимпульсом к в заданном интервале d3 к электронами с квазиимпульсами в интервале d?p и числом обратных актов поглощения таких же фононов. Она дается (с обратным знаком) первым членом подынтегрального выражения в G9.9): 73 d к dNo // \г-/ / \/ \ /оог\ d p7^~^^~w(nv ~ поЖ6 ~ е ~ ^к)(?У - ^Р + Хк), (83.5) причем р = р7 + к 1). Фононная функция Хк здесь должна быть выражена через (р согласно (82.5): Хк = -— / w(riQ - поM(е - е' - о;к)(<рр/ - РР)угт^ (83.6) С Uph^e из (82.6). Если кх < 0, то в результате испускания фонона пройдут через рассматриваемую полосу (причем в направлении слева на- право) те электроны, у которых ж-компонента первоначального квазиимпульса лежит в интервале кх < рх < 0; (83.7а) для таких значений р выражение (83.5) дает положительный вклад в поток sx. Если же кх > 0, то в результате испускания фонона через полосу пройдут (причем справа налево) электроны с 0 < Рх < кх; (83.76) соответствующий вклад в sx отрицателен. Из сказанного ясно, что для нахождения sx надо: 1) проин- тегрировать выражение (83.5) по единичному интервалу ру и по всей области изменения р^; ВВИДУ быстрой сходимости, последнее интегрирование можно распространить от — оо до оо; 2) проин- тегрировать по интервалу (83.7) значений рх. Но ввиду медлен- ной зависимости всех величин от рх вдоль ферми-поверхности, это интегрирование сводится просто к умножению на длину ин- тервала; с учетом знака, с которым результат интегрирования должен войти в sXl это означает просто умножение на — кх\ 3) наконец, надо проинтегрировать по d3к. *) В проведенных выше рассуждениях мы опускали множитель Bтг) 3 в определении поверхностной плотности (83.1). В соответствии с этим опуска- ем один такой множитель ив (83.5). Напомним также, что мы условились в случае открытых ферми- поверхностей допускать значения квазиимпульса электронов во всей обрат- ной решетке (см. § 81); поэтому закон сохранения квазиимпульса пишется без слагаемого Ь. § 83 ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ФЕРМИ-ПОВЕРХНОСТИ 427 Компонента sy потока отличается от sx лишь заменой в подынтегральном выражении кх на ку. Поэтому поток можно записать в векторном виде: s(pf) = - J l/T z, (83. где У€ — проекция к на касательную плоскость в точке рр. Прежде всего пишем d?k = dkz d? к и проводим интегриро- вание по kz. Ввиду малости к можно преобразовать аргумент E-функции в (83.8): 5(ер - ?р-к -^к) ~ S(kvF -ш) = —S (kz - — (направление лгр совпадает с нормалью к ферми-поверхности). Интегрирование по kz устраняет E-функцию, одновременно за- меняя везде kz на uo/vp. Но поскольку ш/vp ~ ku/vp <C к, то мож:но полож:ить просто kz =0, т. е. заменить к -+ я. (83.9) Можно провести в общем виде также и интегрирование по dpz = de/vZi поскольку быстро меняющейся функцией е в подын- тегральном выражении является только разность - ш) - интегрирование по е превращает этот множитель в ио. После этих операций выражение (83.8) принимает вид s(pf) = -г—^ / xwx—z^-wiVp' - ^Р + Хх)тр^- 83-10 Для дальнейшего преобразования интеграла пишем в нем, снова используя малость к: ср(р - к) - <р(р) w k-^ w *-?- = xt^^ ар ар ар где t = ycjyc — единичный вектор касательной к ферми- поверхности в направлении ус. Поскольку такая же разность со- держится и в интеграле (83.6), то можно представить функцию Х(к) в виде X(k)=xa(t). (83.11) 428 металлы Наконец, ввиду G9.4) представим w в виде w = nM(pF,t). (83.12) С этими обозначениями имеем s = -^_ tx^^M ta-t^ ^^, (83.13) где if — полярный угол направления >с в касательной плоскости. Интегрирование похв (83.13) сводится к вычислению инте- грала оо J = J о ввиду быстрой сходимости интегрирование можно распростра- нить до оо. Энергия фонона с малым квазиимпульсом к = xt: Wx — u(i)>c. Поэтому оо j= I и5 О = I. f^9Nidco = -^- [ и5 J duo и5 J оо и5 J ех - 1 S V и5 О (значение ("-функции: (E) = 1,037). Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности потока электронов вдоль ферми-поверхности: 7Г2У% \U5(t) \ Эр где угловые скобки означают усреднение по направлениям t в касательной плоскости в данной точке рр ферми-поверхности. Остается получить максимально упрощенное выражение для а. Согласно определению (83.11) из (83.6) имеем _ jM(nfo-no)S(s-sf-uj)(dip/dp)dsp а~ fM(nfo-noN(e-e'-u>)d3p (сокращены общие множители в числителе и знаменателе). Ин- тегрирование по d3p заменяем (ср. начало этого параграфа) ин- тегрированием по dSp dejvp. От е зависит только множитель по (е — ио) — по (е), одинаковый в обоих интегралах; результаты интегрирования в числителе и знаменателе сокращаются. После 84 ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 429 этого аргумент E-функции пишем в виде kv^? — ио ~ >rvp (прене- брегая величинами относительного порядка u/vp). Окончатель- но находим 2 а" Jv-/MS(nt)dSF [*6ЛЬ) (М — функция точки р^ на ферми-поверхности и направления t; п — единичный вектор нормали). В силу наличия E-функций, интегралы фактически берутся лишь вдоль линии на ферми-по- верхности, на которой нормаль перпендикулярна направлению t квазиимпульса фонона. Формулы (83.4) и (83.14), (83.15) решают задачу о приведе- нии кинетического уравнения к диффузионному виду. Это урав- нение — интегродифференциальное. Плотность потока (83.14) можно записать в виде (jg) (83.16) где п _T5 3QCE)/M(t) 7T2Vp \U5(t) (а, /3 — двумерные векторные индексы). Первый член имеет обычный дифференциальный вид с тензором коэффициентов диффузии Dap; этот член связан с рассеянием электронов равно- весными фононами. Второй же член — интегральный; он связан с эффектом увлечения электронов неравновесными фононами. Плотность тока вычисляется по функциям ср как интеграл Из уравнения (83.4) с s из (83.16), (83.17) ясно, что функция ср (а с нею и проводимость металла) зависит от температуры как Т — в согласии с результатом предыдущего параграфа. Обра- тим внимание на то, что увлечение электронов фононами не меняет этого закона, хотя и отражается на виде кинетического уравнения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диффузия электронов по ферми-поверхности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
